1、题型练8大题专项(六)函数与导数综合问题题型练第72页一、解答题1.设函数f(x)=ax2-(4a+1)x+4a+3ex.(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与x轴平行,求a;(2)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.解：(1)因为f(x)=ax2-(4a+1)x+4a+3ex,所以f(x)=2ax-(4a+1)ex+ax2-(4a+1)x+4a+3ex=ax2-(2a+1)x+2ex(xR).f(1)=(1-a)e.由题设知f(1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1.此时f(1)=3e0,所以a的值为1.(2)由(1)得f(x)=ax2-(2a+1)x+2ex=(
2、ax-1)(x-2)ex.若a12,则当x1a,2时,f(x)0.所以f(x)在x=2处取得极小值.若a12,则当x(0,2)时,x-20,ax-112x-10.所以2不是f(x)的极小值点.综上可知,a的取值范围是12,+.2.已知a3,函数F(x)=min2|x-1|,x2-2ax+4a-2,其中minp,q=p,pq,q,pq.(1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围.(2)求F(x)的最小值m(a);求F(x)在区间0,6上的最大值M(a).解：(1)由于a3,故当x1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)0,当x1时,(x
3、2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).所以,使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围为2,2a.(2)设函数f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2,则f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2,所以,由F(x)的定义知m(a)=minf(1),g(a),即m(a)=0,3a2+2,-a2+4a-2,a2+2.当0x2时,F(x)f(x)maxf(0),f(2)=2=F(2),当2x6时,F(x)g(x)maxg(2),g(6)=max2,34-8a=maxF(2),F(6).所以,M(a)=34-8a,3
4、a4,2,a4.3.(2020全国,理21)已知函数f(x)=ex+ax2-x.(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)当x0时,f(x)12x3+1,求a的取值范围.解：(1)当a=1时,f(x)=ex+x2-x,f(x)=ex+2x-1.故当x(-,0)时,f(x)0.所以f(x)在(-,0)单调递减,在(0,+)单调递增.(2)f(x)12x3+1等价于12x3-ax2+x+1e-x1.设函数g(x)=12x3-ax2+x+1e-x(x0),则g(x)=-12x3-ax2+x+1-32x2+2ax-1e-x=-12xx2-(2a+3)x+4a+2e-x=-12x(x-2a-1)(x
5、-2)e-x.若2a+10,即a-12,则当x(0,2)时,g(x)0.所以g(x)在(0,2)单调递增,而g(0)=1,故当x(0,2)时,g(x)1,不合题意.若02a+12,即-12a12,则当x(0,2a+1)(2,+)时,g(x)0.所以g(x)在(0,2a+1),(2,+)单调递减,在(2a+1,2)单调递增.因为g(0)=1,所以g(x)1当且仅当g(2)=(7-4a)e-21,即a7-e24.所以当7-e24a12时,g(x)1.若2a+12,即a12,则g(x)12x3+x+1e-x.由于07-e24,12,故由可得12x3+x+1e-x1.故当a12时,g(x)1.综上,a
6、的取值范围是7-e24,+.4.已知函数f(x)=12ax-a+1-lnxx.(1)若函数f(x)为减函数,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)有两个不同的零点,求实数a的取值范围.解：(1)f(x)=12ax-a+1-lnxx,f(x)=12a-1-lnxx2.函数f(x)为减函数,f(x)0,即12a1-lnxx2对x(0,+)恒成立.设m(x)=1-lnxx2,则m(x)=2lnx-3x3.m(x)在区间0,e32内单调递减,在区间(e32,+)内单调递增.m(x)min=m(e32)=-12e3.12a-12e3,即a-e-3,故实数a的取值范围是(-,-e-3.(2)易知函数f(
7、x)的定义域为(0,+),f(x)=12ax2-(a-1)x-lnxx.设h(x)=12ax2-(a-1)x-lnx,则原命题等价于函数h(x)有两个不同的零点,求实数a的取值范围,可知h(x)=ax-(a-1)-1x=ax2-(a-1)x-1x=(ax+1)(x-1)x,当a0时,函数h(x)在区间(0,1)内单调递减,在区间(1,+)内单调递增.若函数h(x)有两个不同的零点,则必有h(1)=-12a+12.此时,在x(1,+)内,有h(2)=2a-2(a-1)-ln2=2-ln20;在x(0,1)内,h(x)=12a(x2-2x)+x-lnx,-1x2-2x-12a+x-lnx,h(e-
8、12a)-12a+e-12a-ln(e-12a)=e-12a0,h(x)在区间(0,1),(1,+)内各有一个零点,故a2符合题意;当a=-1时,可知函数h(x)在区间(0,+)内单调递减,函数h(x)至多有一个零点,不符合题意;当-1a0,函数h(x)至多有一个零点,不符合题意;当a0,函数h(x)至多有一个零点,不符合题意.综上所述,实数a的取值范围是(2,+).5.设函数f(x)=ablnxx,g(x)=-12x+(a+b)(其中e为自然对数的底数,a,bR,且a0),曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y=ae(x-1).(1)求b的值;(2)若对任意x1e,+,f(x)与
9、g(x)有且只有两个交点,求a的取值范围.解：(1)由f(x)=ablnxx,得f(x)=ab(1-lnx)x2,由题意得f(1)=ab=ae.a0,b=e.(2)令h(x)=xf(x)-g(x)=12x2-(a+e)x+aelnx,则任意x1e,+,f(x)与g(x)有且只有两个交点,等价于函数h(x)在区间1e,+有且只有两个零点.由h(x)=12x2-(a+e)x+aelnx,得h(x)=(x-a)(x-e)x,当a1e时,由h(x)0得xe;由h(x)0得1exe.此时h(x)在区间1e,e内单调递减,在区间(e,+)内单调递增.因为h(e)=12e2-(a+e)e+aelne=-12
10、e20(或当x+时,h(x)0亦可),所以要使得h(x)在区间1e,+内有且只有两个零点,则只需h1e=12e2-a+ee+aeln1e=(1-2e2)-2e(1+e2)a2e20,即a1-2e22e(1+e2).当1ea0得1exe;由h(x)0得axe.此时h(x)在区间(a,e)内单调递减,在区间1e,a和(e,+)内单调递增.此时h(a)=-12a2-ae-aelna-12a2-ae+aelne=-12a2e时,由h(x)0得1exa,由h(x)0得exa,此时h(x)在区间1e,e和(a,+)内单调递增,在区间(e,a)上单调递减,且h(e)=-12e20;当x3,23时,f(x)0.所以f(x)在区间0,3,23,单调递增,在区间3,23单调递减.(2)证明因为f(0)=f()=0,由(1)知,f(x)在区间0,的最大值为f3=338,最小值为f23=-338.而f(x)是周期为的周期函数,故|f(x)|338.(3)证明由于(sin2xsin22xsin22nx)32=|sin3xsin32xsin32nx|=|sinx|sin2xsin32xsin32n-1xsin2nx|sin22nx|=|sinx|f(x)f(2x)f(2n-1x)|sin22nx|f(x)f(2x)f(2n-1x)|,所以sin2xsin22xsin22nx3382n3=3n4n.
