1、第六节双曲线A组基础题组1.(2016安徽安庆二模)双曲线C:-=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=2x,则双曲线C的离心率是()A.B.C.2D.2.若实数k满足0k0,b0)的离心率为,则C的渐近线方程为()A.y=xB.y=xC.y=xD.y=x4.(2016天津,4,5分)已知双曲线-=1(a0,b0)的焦距为2,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为()A.-y2=1B.x2-=1C.-=1D.-=15.(2016课标全国,11,5分)已知F1,F2是双曲线E:-=1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sinMF2F1=,则E的离心率为()A.B.C
2、.D.26.设双曲线-=1(a0,b0)的右焦点是F,左,右顶点分别是A1,A2,过F作A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点.若A1BA2C,则该双曲线的渐近线的斜率为()A.B.C.1D.7.(2016北京,12,5分)已知双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),则a=;b=.8.设F1、F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点,A是双曲线上在第一象限内的点,若|AF2|=2且F1AF2=45,延长AF2交双曲线右支于点B,则F1AB的面积等于.9.中心在原点,焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|=2,椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长
3、之差为4,离心率之比为37.(1)求椭圆和双曲线的方程;(2)若P为该椭圆与双曲线的一个交点,求cosF1PF2的值.10.已知双曲线的中心在原点,左、右焦点F1、F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-).(1)求双曲线的方程;(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:=0;(3)在(2)的条件下,求F1MF2的面积.B组提升题组11.(2016课标全国,5,5分)已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(-1,3)B.(-1,)C.(0,3)D.(0,)12.(2016江南十校联考(一)已知l是双曲线C:-=1的一条渐近线,P是l上的一点,F1,F2分
4、别是C的左,右焦点,若=0,则点P到x轴的距离为()A.B.C.2D.13.已知双曲线-=1与直线y=2x有交点,则双曲线离心率的取值范围为()A.(1,)B.(1,C.(,+)D.,+)14.(2015课标,16,5分)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,6).当APF周长最小时,该三角形的面积为.15.(2016浙江,13,4分)设双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1、F2.若点P在双曲线上,且F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.16.设A,B分别为双曲线-=1(a0,b0)的左,右顶点,双曲线的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为.(
5、1)求双曲线的方程;(2)已知直线y=x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使+=t,求t的值及点D的坐标.答案全解全析A组基础题组1.A由双曲线C:-=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=2x,可得=2,e=.故选A.2.D若0k0,16-k0,故方程-=1表示焦点在x轴上的双曲线,且实半轴的长为4,虚半轴的长为,焦距2c=2,离心率e=;方程-=1表示焦点在x轴上的双曲线,实半轴的长为,虚半轴的长为,焦距2c=2,离心率e=.可知两曲线的焦距相等.故选D.3.C由双曲线的离心率e=可知=,而双曲线-=1(a0,b0)的渐近线方程为y=x,故选C.4.A由题意可得
6、解得a=2,b=1,所以双曲线的方程为-y2=1,故选A.5.A解法一:由MF1x轴,可得M或M,|MF1|=.由sinMF2F1=,可得cosMF2F1=,又tanMF2F1=,=,b2=ac,c2=a2+b2b2=c2-a2,c2-a2-ac=0e2-e-1=0,e=(舍负).故选A.解法二:由MF1x轴,得M或M,|MF1|=,由双曲线的定义可得|MF2|=2a+|MF1|=2a+,又sinMF2F1=a2=b2a=b,e=.故选A.6.C不妨令B在x轴上方,因为BC过右焦点F(c,0),且垂直于A1A2,即x轴,所以可求得B,C两点的坐标分别为,又A1,A2的坐标分别为(-a,0),(
7、a,0),所以=,=,因为A1BA2C,所以=0,即(c+a)(c-a)-=0,即c2-a2-=0,所以b2-=0,故=1,即=1,又双曲线的渐近线的斜率为,故该双曲线的渐近线的斜率为1.故选C.7.答案1;2解析由题可知双曲线焦点在x轴上,故渐近线方程为y=x,又一条渐近线为2x+y=0,即y=-2x,=2,即b=2a.又该双曲线的一个焦点为(,0),c=.由a2+b2=c2可得a2+(2a)2=5,解得a=1,b=2.8.答案4解析由题意可得|AF2|=2,|AF1|=4,则|AB|=|AF2|+|BF2|=2+|BF2|=|BF1|.又F1AF2=45,所以ABF1是以AF1为斜边的等腰
8、直角三角形,所以其面积为42=4.9.解析(1)设椭圆的方程为+=1,双曲线的方程为-=1,则解得a=7,m=3,b=6,n=2.椭圆的方程为+=1,双曲线的方程为-=1.(2)不妨令F1、F2分别为左、右焦点,P是第一象限的一个交点,则|PF1|+|PF2|=14,|PF1|-|PF2|=6,所以|PF1|=10,|PF2|=4,又|F1F2|=2,cosF1PF2=.10.解析(1)e=,可设双曲线的方程为x2-y2=(0).双曲线过点(4,-),16-10=,即=6,双曲线的方程为x2-y2=6.(2)证法一:由(1)可知,双曲线中a=b=,c=2,F1(-2,0),F2(2,0),=,
9、=,=-.点M(3,m)在双曲线上,9-m2=6,m2=3,故=-1,MF1MF2,即=0.证法二:由证法一知=(-3-2,-m),=(2-3,-m),=(3+2)(3-2)+m2=-3+m2,点M在双曲线上,9-m2=6,即m2-3=0,=0.(3)F1MF2的底|F1F2|=4,由(2)知m=.F1MF2的高h=|m|=,=6.B组提升题组11.A原方程表示双曲线,且焦距为4,或由得m2=1,n(-1,3).无解.故选A.12.C由题意知F1(-,0),F2(,0),不妨取l的方程为y=x,设点P(x0,x0),由=(-x0,-x0)(-x0,-x0)=3-6=0,得x0=,故点P到x轴的
10、距离为|x0|=2,故选C.13.C双曲线的一条渐近线方程为y=x,由题意得2,e=.14.答案12解析由已知得双曲线的右焦点F(3,0).设双曲线的左焦点为F,则F(-3,0).由双曲线的定义及已知得|PF|=2a+|PF|=2+|PF|.APF的周长最小,即|PA|+|PF|最小.|PA|+|PF|=|PA|+2+|PF|AF|+2=17,即当A、P、F三点共线时,APF的周长最小.设P点坐标为(x0,y0),y00,由得+6y0-96=0,所以y0=2或y0=-8(舍去).所以当APF的周长最小时,该三角形的面积S=66-62=12.15.答案(2,8)解析PF1F2为锐角三角形,不妨设
11、P在第一象限,P点在P1与P2之间运动(如图).当P在P1点处时,F1P1F2=90,=|F1F2|=|P1F1|P1F2|.由|P1F1|2+|P1F2|2=|F1F2|2,|P1F1|-|P1F2|=2,得|P1F1|P1F2|=6,此时|PF1|+|PF2|=2.当P在P2点处时,P2F2F1=90,=2,易知=3,此时|PF1|+|PF2|=2|PF2|+2=8,当PF1F2为锐角三角形时,|PF1|+|PF2|(2,8).16.解析(1)由题意知a=2,一条渐近线方程为y=x,即bx-2y=0,=,b2=3,双曲线的方程为-=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),+=t,x1+x2=tx0,y1+y2=ty0,将直线方程代入双曲线方程得x2-16x+84=0,则x1+x2=16,所以y1+y2=12,点D在双曲线的右支上,解得t=4,点D的坐标为(4,3).