1、专题能力训练 20 坐标系与参数方程(选修 44)一、能力突破训练1.(2020 全国,文 22)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为=cos,=sin(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 4cos-16sin+3=0.(1)当 k=1 时,C1是什么曲线?(2)当 k=4 时,求 C1与 C2的公共点的直角坐标.2.如图,在极坐标系 Ox 中,A(2,0),B(2,4),C(2,34),D(2,),弧,所在圆的圆心分别是(1,0),(1,2),(1,),曲线 M1是弧,曲线 M2是弧,曲线 M3是弧.(1)分别写出 M1,M2
2、,M3的极坐标方程;(2)曲线 M 由 M1,M2,M3构成,若点 P 在 M 上,且|OP|=3,求 P 的极坐标.3.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为3x+y+a=0,曲线 C 的参数方程为=3cos,=1+3sin(为参数).以坐标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线 l 和曲线 C 的极坐标方程;(2)若直线=6(R)与直线 l 的交点为 M,与曲线 C 的交点为 A,B,且点 M 恰好为线段 AB 的中点,求a.4.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的方程为 y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极
3、坐标方程为 2+2cos-3=0.(1)求 C2的直角坐标方程;(2)若 C1与 C2有且仅有三个公共点,求 C1的方程.5.在极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 sin2-cos=0,点 M(1,2).以极点 O 为原点,以极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系.斜率为-1 的直线 l 过点 M,且与曲线 C 交于 A,B 两点.(1)求出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程;(2)求点 M 到 A,B 两点的距离之积.二、思维提升训练6.在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 C:=-22,=1+22(t 为参数),圆 M:x2+y2-4x=0.以原点 O 为极点,x轴的非负半轴为
4、极轴建立极坐标系.(1)写出直线 C 与圆 M 的极坐标方程;(2)在极坐标系中,已知射线 l:=(0)分别与直线 C 及圆 M 相交于 A,B 两点,当(0,2)时,求的最大值.7.已知直线 l 的参数方程为=1+2,=2(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程是=sin1-sin2.(1)写出直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的直角坐标方程;(2)若点 P 是曲线 C 上的动点,求点 P 到直线 l 的距离的最小值,并求出点 P 的坐标.8.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 经过点 P(0,3),且倾斜角为,以原点 O 为极点,x 轴的
5、非负半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 2-4cos(-3)-1=0.(1)求直线 l 的参数方程和圆 C 的直角坐标方程;(2)设直线 l 与圆 C 交于 M,N 两点,若|PM|-|PN|=2,求直线 l 的倾斜角的 值.专题能力训练 20 坐标系与参数方程(选修 44)一、能力突破训练1.解(1)当 k=1 时,C1:=cos,=sin,消去参数 t 得 x2+y2=1,故曲线 C1是圆心为坐标原点,半径为 1 的圆.(2)当 k=4 时,C1:=cos4,=sin4,消去参数 t 得 C1的直角坐标方程为+=1.C2的直角坐标方程为 4x-16y+3=0.由+=1,4-16
6、+3=0解得=14,=14.故 C1与 C2的公共点的直角坐标为(14,14).2.解(1)由题设可得,弧,所在圆的极坐标方程分别为=2cos,=2sin,=-2cos.所以 M1的极坐标方程为=2cos 04,M2的极坐标方程为=2sin434,M3的极坐标方程为=-2cos34 .(2)设 P(,),由题设及(1)知若 04,则 2cos=3,解得=6;若434,则 2sin=3,解得=3或=23;若34,则-2cos=3,解得=56.综上,P 的极坐标为(3,6)或(3,3)或(3,23)或(3,56).3.解(1)将 x=cos,y=sin 代入3x+y+a=0 中,得直线 l 的极坐
7、标方程3cos+sin+a=0.在曲线 C 的参数方程中,消去,可得 x2+(y-1)2=9,即 x2+y2-2y-8=0.将 x=cos,y=sin 代入 x2+y2-2y-8=0 中,得曲线 C 的极坐标方程为 2-2sin-8=0.(2)在极坐标系中,由已知可设 M(1,6),A 2,6,B(3,6),联立=6,2-2sin-8=0,可得 2-8=0,所以 2+3=1.因为点 M 恰好为 AB 的中点,所以 1=12,即 M(12,6).把 M(12,6)代入3cos+sin+a=0,得34+14+a=0,所以 a=-1.4.解(1)由 x=cos,y=sin 得 C2的直角坐标方程为(
8、x+1)2+y2=4.(2)由(1)知 C2是圆心为 A(-1,0),半径为 2 的圆.由题设知,C1是过点 B(0,2)且关于 y 轴对称的两条射线.记 y 轴右边的射线为 l1,y 轴左边的射线为 l2,由于 B 在圆 C2的外面,故 C1与 C2有且仅有三个公共点等价于 l1与 C2只有一个公共点且 l2与 C2有两个公共点,或 l2与 C2只有一个公共点且 l1与 C2有两个公共点.当 l1与 C2只有一个公共点时,A 到 l1所在直线的距离为 2,所以|-+2|2+1=2,故 k=-43或 k=0.经检验,当 k=0 时,l1与 C2没有公共点;当 k=-43时,l1与 C2只有一个
9、公共点,l2与 C2有两个公共点.当 l2与 C2只有一个公共点时,A 到 l2所在直线的距离为 2,所以|+2|2+1=2,故 k=0 或 k=43,经检验,当 k=0时,l1与 C2没有公共点;当 k=43时,l2与 C2没有公共点.综上,所求 C1的方程为 y=-43|x|+2.5.解(1)x=cos,y=sin,由 sin2-cos=0,得 2sin2=cos.所以 y2=x 即为曲线 C 的直角坐标方程.点 M 的直角坐标为(0,1),直线 l 的倾斜角为34,故直线 l 的参数方程为=cos34,=1+sin34(t 为参数),即=-22,=1+22(t 为参数).(2)把直线 l
10、 的参数方程=-22,=1+22(t 为参数)代入曲线 C 的方程得(1+22)2=-22 t,即 t2+32t+2=0,=(32)2-42=100.设 A,B 对应的参数分别为 t1,t2,则1+2=-32,12=2.又直线 l 经过点 M,故由 t 的几何意义得点 M 到 A,B 两点的距离之积|MA|MB|=|t1|t2|=|t1t2|=2.二、思维提升训练6.解(1)直线 C 的普通方程为 x+y=1,由普通方程与极坐标方程的互化公式可得 C 的极坐标方程为(cos+sin)=1,即 sin(+4)=22.圆 M 的极坐标方程为=4cos.(2)因为OBM 与OAM 都是以点 M 为顶点,所以底边 OB 与 OA 上的高相同,即=|.由(1)知,|OA|=A=1sin+cos,|OB|=B=4cos,所以|=4cos(sin+cos)=2sin2+4cos2=2(1+sin2+cos2)=2+22sin(2+4).由 02,得42+4 0 恒成立,且 t1+t2=2cos,t1t2=-40.所以|PM|-|PN|=|t1+t2|=|2cos|=2.所以 cos=22.因为 0,所以=4或=34.