1、第 1 页，共 2 页 2020-2021 学年下学期 4 月月考高二年级理科数学试卷（本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。出题人：乔波 审题人：王勇）一、单项选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.若(1+)=1 ，则=()A.1 B.1+C.D.i 2.命题“0 0,0+0 1 0，0+0 1 0 B.0 0，0+0 1 0 C.0 0，0+0 1 0，0+0 1 0 3.在极坐标系中，圆=2的圆心的极坐标是()A.(1,2)B.(1,2)C.(1,0)D.(1,)4.如图是函数=()的导函数=()的图象，给出下列命题：3是函数=()的极值点；1是函数=()的最小值点
2、；=()在=0处切线的斜率小于零；=()在区间(3,1)上单调递增 则正确命题的序号是()A.B.C.D.5.与椭圆 C：216+212=1共焦点且过点(1,3)的双曲线的标准方程为()A.2 23=1 B.2 22=1 C.22 22=1 D.23 2=1 6.函数在单调递增的一个必要不充分条件是()A.2 B.1 C.1 D.0 7.方程2+(+3)2+2+(3)2=10，化简的结果是()A.225+29=1 B.225+216=1 C.216+225=1 D.216+29=1 8.如图，平行六面体 ，其中=4，=3，=3，=90，=60，=60，则的长为()A.55 B.65 C.85
3、D.95 9.设函数()是定义在(0,)上的函数()的导函数，有()()0，若=12(3)，=0,=32(56)，则 a，b，c 的大小关系是()A.B.C.D.0,0)的左、右焦点分别为1，2，离心率为5.是 C 上一点，且1 2.若 12的面积为 4，则=()A.1 B.2 C.4 D.8 11.已知函数()=13 3+12 2 2+1，若函数()在(2,2+3)上存在最小值，则 a 的取值范围是()A.(1,12)B.1,12 C.(1,3)D.(,2)12.过抛物线:2=2(0)的焦点 F的直线交该抛物线于、两点，若3|=|，O为坐标原点，则|=()A.43 B.34 C.4 D.54
4、 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.在以 O 为极点的极坐标系中，曲线=2和直线=相交于 A，B 两点若 是等边三角形，则 a 的值为_ 14.若=sin20，则函数()=+1的图象在=1处的切线方程为_ 15.已知双曲线 C：22 22=1(0,0)的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为半径作圆 A，圆 A 与双曲线C 的一条渐近线交于 M、N 两点若=60，则 C 的离心率为_ 16.已知函数()=2+有零点，则实数 a 的取值范围是_ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17.在数列中，1=1,+1=22+()()分别求出2,3,4，并根据上述结果猜想
5、这个数列的通项公式；()请用数学归纳法证明()中的猜想 第 2 页，共 2 页 18.已知曲线 C：=2(0)，直线 l 为曲线 C 在点(1,1)处的切线()求直线 l 的方程；()求直线 l 与曲线 C 以及 x 轴所围成的图形的面积 19.如图，三棱锥 中，平面,=3,=2.、E 分别为线段 AB，BC 上的点，且=2,=2=2 (1)证明：平面 PCD；(2)求二面角 的余弦值 20.在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1的极坐标方程为=4()为曲线1上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足|=16，求点 P 的轨迹2的直角坐标方程;()设
6、点 A 的极坐标为(2,3)，点 B 在曲线2上，求 面积的最大值 21.已知抛物线:2=2过点(1,1)(1)求抛物线 C 的方程；(2)过点(3,1)的直线与抛物线 C 交于 M，N 两个不同的点(均与点 A 不重合)，设直线 AM，AN 的斜率分别为1，2，求证：1 2为定值 22.已知函数()=，()当=0时，求函数()的单调区间；()对任意的 (1,+)，()恒成立，求 a 的取值范围 第 1 页，共 2 页 理科数学 4 月月考答案 1.D 2.D 3.B 4.B 5.C 6.D 7.C 8.A 9.A 10.A 11.A 12.A 13.32 14.2 =0 15.233 16.
7、(,22 2 17.()解：2=23,3=12,4=25，猜测=2+1().()证明：(1)当=1时，1=1,21+1=1，1=1,=1时等式成立；(2)假设当=时，等式成立，即=2+1，则+1=22+=2 2+12+2+1=42+4=2+2=2(+1)+1，=+1时等式成立，综合(1)和(2)可知，对于任意的 ,=2+1均成立 18.解：()由=2，则切线 l 的斜率=|=1=2 1=2，切线 l 的方程为 1=2(1)即2 1=0；()当=0时，=12，即直线 l 与 x 轴交于点(12,0)，如图，所求的图形的面积=2120+112 2 (2 1)=112 19.(1)证明：平面 ABC
8、，平面 ABC，=2,=2=2，则2+2=2，故 为等腰直角三角形，=，PC、平面 PCD，平面 PCD；(2)解：由(1)知，为等腰直角三角形，=4 如图，过 D 作 DF 垂直 CE 于 F，则=1，又已知=1，故 FB=2 由=2，得/，=23，故 AC=32 =32 由题意，AC，BC，PC 两两垂直，如图，以 C 为坐标原点，分别以,的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则(0,0，0)，(0,0，3)，(32,0，0)，(0,2，0)，(1,1，0)，=(1,1,0)，=(1,1,3)，=(12,1,0)设平面 PAD 的法向量为=(1,1,1)，由 =0，=
9、0，得1 1+31=012 1 1=0，取1=2，得=(2,1，1)由(1)可知 平面 PCD，故平面 PCD 的法向量=(1,1,0)，第 2 页，共 2 页 cos=|=36，由图可知二面角 的平面角为锐角，故所求二面角 的余弦值为36 20.解：()设 P 的极坐标为(,)(0)，M 的极坐标为(1,)(1 0)，由题设知|=，由|=16，得2的极坐标方程=4(0)，因此2的直角坐标方程为(2)2+2=4(0)；()设点 B 的极坐标为(,)(0)，由题设知|=2，=4，于是 面积=12|sin=4|sin(3)|=2|sin(2 3)32|2+3 当=12时，S 取得最大值2+3所以
10、面积的最大值为2+3 21.(1)解：由题意抛物线2=2过点(1,1)，所以=12，所以抛物线的方程为2=；(2)证明：设过点(3,1)的直线方程为 3=(+1)，即=+3，代入2=得2 3=0，设(1,1)，(2,2)，则1+2=，12=3，所以1 2=1111 2121=11121 21221=1(1+1)(2+1)=112+(1+2)+1=1+(3)+1=12，所以1 2为定值 22.解：()因为=0，所以()=，(0,1)(1,+)，所以()=1()2，令()=0，解得=，令()0，解得 ，令()0，解得 1，所以 0 所以任意的 (1,+)，()恒成立，即 恒成立 等价于 0在(1,+)恒成立，所以()在(1,+)上单调递增所以()(1)=0，所以当 1时，()0，所以()在(1,+)上单调递增 所以()(1)=1，所以 1