1、2014年湖南省郴州市高考数学三模试卷（文科）一、选择题1已知i是虚数单位，则复数z=i（2i）所对应的点落在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2命题“xR，x22x=0”的否定是（）A xR，x22x=0B xR，x22x0C xR，x22x0DxR，x22x03在某次测量中得到的A样本数据如下：52，54，54，56，56，56，55，55，55，55若B样本数据恰好是A样本数据都加6后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A众数B平均数C中位数D标准差4用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是（）5 ，为非零向量，“函数f（x）=（x
2、+）2为偶函数”是“”的（）A充分但不必要条件B必要但不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6阅读如下程序，若输出的结果为，则在程序中横线？处应填入语句为（）A i6Bi7Ci7Di87已知函数，则其图象的下列结论中，正确的是（）A关于点中心对称B关于直线轴对称C向左平移后得到奇函数D向左平移后得到偶函数8已知点P（x，y）满足，则点Q（x+y，y）构成的图形的面积为（）A 1B2C3D49在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=xlnxx的图象上的动点，该曲线在点P处的切线l交y轴于点M（0，yM），过点P作l的垂线交y轴于点N（0，yN）则的范围是（）A（，13，+）B（，31
3、，+）C 3，+）D（，310在整数集z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为k，则k=5n+k，k=0，1，2，3，4，则下列结论错误的是（）A20133BZ=01234C“整数a，b属于同一类”的充要条件是“ab0”D命题“整数a，b满足a1，b3，则a+b4”的原命题与逆命题都为真命题二、填空题11）在极坐标系中，直线l的方程为sin（+）=，则点A（2，）到直线l的距离为_12已知双曲线的离心率为2若抛物线（p0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为_13（5分）（2014郴州三模）甲、乙两位同学约定晚饭6点到7点之间在食堂见面，先到之人等后到之人十
4、五分钟，则甲、乙两人能见面的概率为_14已知0，由不等式tan+2，tan+=+3，tan+=+4，启发我们得到推广结论：tan+n+1，则a=_15将集合M=1，2，12的元素分成不相交的三个子集：M=ABC，其中A=a1，a2，a3，a4B=b1，b2，b3，b4C=c1，c2，c3，c4，c1c2c3c4，且ak+bk=ck，k=1，2，3，4，则集合C为：_三、解答题16（12分）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知sin（AB）=cosC（）求B；（）若a=3，b=，求c17（12分）为了解某市民众对政府出台楼市限购令的情况，在该市随机抽取了 50名市民进行调查，他
5、们月收入（单位：百元）的频数分布及对楼市限购令赞成的人数如下表：月收入15，25）25，35）35，45）45，55）55，65）65，75）频数510151055赞成人数4812521将月收入不低于55的人群称为“高收入族”，月收入低于55的人群称为“非高收入族”（）根据已知条件完成下面的22列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为非高收入族赞成楼市限购令？非高收入族高收入族总计赞成不赞成总计（）现从月收入在15，25）的人群中随机抽取两人，求所抽取的两人都赞成楼市限购令的概率附：K2=P（k2k0）0.050.0250.0100.005k03.8415.0246.6357.8
6、7918（12分）如图，边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将AED、DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点A，连接EF，AB（1）求证：ADEF；（2）求二面角AEFD的余弦值19（13分）甲、乙两个钢铁厂2010年的年产量均为100万吨，两厂通过革新炼钢技术、改善生产条件等措施，预计从2011年起，在今后10年内，甲厂的年产量每年都比上一年增加10万吨；以2010年为第一年，乙厂第n（nN*，n2）年的年产量每年都比上一年增加2n1万吨（）“十二五”期间（即2011年至2015年），甲、乙两个钢铁厂的累计钢产量共多少万吨？（）若某钢厂的年产量首次超过另
7、一钢厂年产量的2倍，则该钢厂于当年底将另一钢厂兼并，问：在今后10年内，其中一个钢厂能否被另一个钢厂兼并？若能，请推算出哪个钢厂在哪一年底被兼并；若不能，请说明理由20（13分）如图，已知椭圆C：，A、B是四条直线x=2，y=1所围成的两个顶点（1）设P是椭圆C上任意一点，若，求证：动点Q（m，n）在定圆上运动，并求出定圆的方程；（2）若M、N是椭圆C上两个动点，且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求OMN的面积是否为定值，说明理由21（13分）设aR，函数f（x）=ax2（2a+1）x+lnx（）当a=1时，求f（x）的极值；（）设g（x）=exx1，若对于任意的x1
8、（0，+），x2R，不等式f（x1）g（x2）恒成立，求实数a的取值范围参考答案一、选择题1A2C3D4B5C6B7C8B9A10D二、填空题1112 x2=16y1314nn158，9，10，12，7，9，11，12，6，10，11，12三、解答题16解：（）由sin（AB）=cosC，得sin（AB）=sin（C），ABC是锐角三角形，AB=C，即AB+C=，又A+B+C=，由，得B=；（）由余弦定理b2=c2+a22cacosB，得（）2=c2+（3）22c3cos，即c26c+8=0，解得c=2，或c=4，当c=2时，b2+c2a2=（）2+22（3）2=40，b2+c2a2，此时A为
9、钝角，与已知矛盾，c2则c=417解：（）由题意，可得2x2列联表，非高收入族高收入族总计赞成29332不赞成11718总计401050假设非高收入族与赞成楼市限购令没有关系，则K2=6.2726.635不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为非高收入族赞成楼市限购令；（）由题意，月收入在15，25）中，有4人赞成楼市限购令，1人不赞成的，赞成的分别是A1，A2，A3，A4，不赞成的是B，从中选出两人的所有结果有：（A1A2），（A1A3），（A1A4），（A1B），（A2A3），（A2A4），（A2B），（A3A4），（A3B），（A4B），共10个基本事件，其中所抽取的两人都赞成楼市限
10、购令的有：（A1A2），（A1A3），（A1A4），（A2A3），（A2A4），（A3A4），有6个基本事件，所以选所抽取的两人都赞成楼市限购令的概率是P=0.618（1）证明：在正方形ABCD中，有ADAE，CDCF则ADAE，ADAF又AEAF=AAD平面AEF而EF平面AEF，ADEF（2）方法一：连接BD交EF于点G，连接AG在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，BE=BF，DE=DF，点G为EF的中点，且BDEF正方形ABCD的边长为2，AE=AF=1，AGEFAGD为二面角AEFD的平面角由（1）可得ADAG，ADG为直角三角形正方形ABCD的边长为2，又AD=2
11、二面角AEFD的余弦值为方法二：正方形ABCD的边长为2，点E是AB的中点，点F是BC的中点，BE=BF=AE=AF=1，AE2+AF2=EF2，AEAF由（1）得AD平面AEF，分别以AE，AF，AD为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），E（1，0，0），F（0，1，0），D（0，0，2），设平面DEF的一个法向量为，则由，可取又平面AEF的一个法向量可取二面角AEFD的余弦值为19解：（）由题得，甲工厂第n年的年产量是一个等差数列的项，其首项为100，公差是10，an=10n+90，乙工厂的第n年的年产量是一个累加和为bn=100+2+22+23+2n1=
12、2n+98，“十二五”期间（即2011年至2015年），甲、乙两个钢铁厂的累计钢产量共5100+10+490=1002万吨（）各年的产量如下表 n 1 2 3 4 5 6 7 8 an 100 110 120 130 140 150 160 170 bn 100 102 106 114 130162 226 3542018年底甲工厂将被乙工厂兼并20解：（1）易求A（2，1），B（2，1）（2分）设P（x0，y0），则由，得，所以，即故点Q（m，n）在定圆上（8分）（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则平方得，即（10分）因为直线MN的方程为（x2x1）y（y2y1）x+x1y2x2y
13、1=0，所以O到直线MN的距离为，（12分）所以OMN的面积S=MNl=|x1y2x2y1|=故OMN的面积为定值1（16分）21解：（）当a=1时，函数f（x）=x23x+lnx，令f（x）=0得：当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：x1（1，+）f（x）+00+f（x）单调递增极大单调递减极小单调递增因此，当时，f（x）有极大值，且；当x=1时，f（x）有极小值，且f（x）极小值=2（）由g（x）=exx1，则g（x）=ex1，令g（x）0，解得x0；令g（x）0，解得x0g（x）在（，0）是减函数，在（0，+）是增函数，即g（x）最小值=g（0）=0对于任意的x1（0，+），
14、x2R，不等式f（x1）g（x2）恒成立，则有f（x1）g（0）即可即不等式f（x）0对于任意的x（0，+）恒成立（1）当a=0时，令f（x）0，解得0x1；令f（x）0，解得x1f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+）是减函数，f（x）最大值=f（1）=10，a=0符合题意（2）当a0时，令f（x）0，解得0x1；令f（x）0，解得x1f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+）是减函数，f（x）最大值=f（1）=a10，得1a0，1a0符合题意（3）当a0时，f（x）=0得，时，0x11，令f（x）0，解得或x1；令f（x）0，解得f（x）在（1，+）是增函数，而当x+时，f（x）+，这与对于任意的x（0，+）时f（x）0矛盾同理时也不成立综上所述：a的取值范围为1，0