1、江西省南昌市八一中学2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题 文（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设复数z满足=i，则|z|=（ ）A. 1B. C. D. 2【答案】A【解析】试题分析：由题意得，所以，故选A.考点：复数的运算与复数的模.2.为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同)，用回归直线近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是()A. 线性相关关系较强，b的值为1.25B. 线性相关关系较强，b的值为0.83C. 线性相关关系较强，b的值为0.87D. 线性相关关系太弱，无
2、研究价值【答案】B【解析】【分析】根据散点图呈现的特点可以看出，二者具有相关关系，且斜率小于1.【详解】散点图里变量对应点分布在一条直线附近，且比较密集，故可判断语文成绩和英语成绩之间具有较强的线性相关关系，且直线斜率小于1，故选B.【点睛】本题主要考查散点图的理解，侧重考查读图识图能力和逻辑推理的核心素养.3.若m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）A 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】【分析】根据线面、面面相关判定定理及性质定理一一分析可得；【详解】解：错误，由，得不出内的直线垂直于；正确，根据线面平行的性质定理知，内存在直线，；错
3、误，若两个平面同时和一个平面垂直，这两个平面可以平行、相交，不一定得到；错误，则与可能平行、相交故选：B【点睛】考查空间想象能力，以及线面平行、线面垂直、面面垂直、面面平行的概念，属于中档题4.在正方体中，如图，、分别是正方形、的中心.则过点、的截面是（ ）A. 正三角形B. 正方形C. 梯形D. 直角三角形【答案】A【解析】【分析】连接、，可知过点、三点的截面为，判断该三角形的形状即可得出结论.【详解】如下图所示，连接、，由于、分别为正方形、的中心，则、分别为、的中点，所以，过点、三点的截面为，易知为正三角形.因此，过点、三点的截面为正三角形.故选：A.【点睛】本题考查正方体截面形状的判断，
4、作出截面图形是解题的关键，考查空间想象能力，属于中等题.5.九章算术是中国古代张苍，耿寿昌所撰写的一部数学专著，成书于公元一世纪左右，内容十分丰富书中有如下问题：“今有圆堢瑽，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二尺术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”这里所说的圆堢瑽就是圆柱体，它的体积（底面的圆周长的平方高），则该问题中的体积为估算值，其实际体积（单位：立方尺）应为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出底面半径，由圆柱体积公式计算，【详解】设为底面半径，则，又，故选：B【点睛】本题考查圆柱的体积，解题关键是求出底面半径，得底面面积，再由体积公式可得6.从
5、11，12，13，14，15中任取2个不同的数，事件“取到的2个数之和为偶数”，事件“取到的2个数均为偶数”，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意求出所有基本事件数，A发生的基本事件数，AB发生的基本事件数，由古典概型概率公式可得P(A),P(AB)，再利用条件概率的公式即可求解.【详解】解：从11，12，13，14，15中任取2个不同的数有：（11，12），（11，13），（11，14），（11，15），（12，13），（12，14），（12，15），（13，14），（13，15），（14，15）共10种，其中取到两个数之和为偶数的有（11，13），（11，1
6、5），（12，14），（13，15）有4种，所以，其中取到的两个数均为偶数且和为偶数的有：（12，14），所以，所以，故选：B【点睛】此题考查了条件概率的求解，考查了古典概型概率公式的应用，属于基础题.7.函数的图象大致为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先判定奇偶性，然后在时，利用导数，结合三角函数和指数函数的性质分和，分别研究函数的单调性，从而做出判定.【详解】由于函数满足，故函数为偶函数，函数图象关于轴对称，排除B，当 时， ，若时， ，当时， ，而 ，显然 ，从而可知，函数在上为增函数，选 .【点睛】本题考查函数图像的识别，涉及函数的奇偶性，利用导数研究函数的单调性，属
7、中档题.关键是判定奇偶性，然后在轴右侧，利用导数分段研究函数的单调性.8.如图，在正方体中，P，Q，M，N，H，R是各条棱的中点.直线平面；P，Q，H，R四点共面；平面.其中正确的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】由平面平面，易证平面，正确；假设，易证平面，易证，与矛盾，故错误；因为，故P，Q，H，R四点共面，正确；欲证平面，只需证明垂直于平面内的两条相交直线的即可，根据正方体易证.详解】解：对于，通过观察，平面平面，所以平面，正确；对于，假设，显然，平面平面，所以平面，又平面，所以，与矛盾，故错误.对于，因为，故P，Q，H，R四点共面，正确；对于，显然，平
8、面，平面，所以平面，平面，所以，同理可证，又，所以平面，故正确所有正确的是，故选：C【点睛】在正方体内已知棱的中点，考查证明线面平行与垂直、线线垂直以及点共面等基础知识，一些常见结论应该让学生熟记，同时考查空间想象能力以及逻辑推理能力，基础题.9.已知正三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且球心在三棱锥的内部.若该三棱锥的侧面积为，则球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由条件作出如图辅助线，并根据正三棱锥的性质确定球心的位置，中，利用勾股定理求半径，最后求球的表面积.【详解】作平面，连结并延长交于点，连结，正三棱锥外接球的球心在高上，连结，解得：,正三角形中， ，设
9、，中，解得：,则球的表面积.故选：D【点睛】本题考查几何体与球的综合问题，意在考查空间想象能力，和推理计算，属于基础题型.10.如图，四棱锥中，与是正三角形，平面平面，则下列结论不一定成立的是（ ）A. B. 平面C. D. 平面平面【答案】B【解析】过 中点 连接 ,易得 面 选项A正确；又面平面平面,故选项C、D 正确，故选B.11.如图，四棱锥中，底面为直角梯形，E为PC上靠近点C的三等分点，则三棱锥与四棱锥的体积比为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设四棱锥的高为，则三棱锥的高为，则，由此能求出三棱锥与四棱锥的体积比【详解】解：设四棱锥的高为，则三棱锥的高为，则，
10、三棱锥与四棱锥的体积比为：故选：【点睛】本题考查三棱锥与四棱锥的体积比的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力， 属于中档题12.已知为双曲线：（，）左支上一点，分别为的左、右焦点，为虚轴的一个端点，若的最小值为，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的定义可得，又即可得到关于的方程，解得.【详解】解：，即，化简得，即，解得或，所以.故选：【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查化归与转化的数学思想.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，取值如表：画散点图分析可知：与线性相关，且求得回归方程为，则_【答案】【
11、解析】分析：计算，根据线性回归方程过样本中心点，代入方程求出m的值详解：计算=（0+1+3+5+6）=3，=（1+m+3m+5.6+7.4）=，这组数据的样本中心点是（3，），又y与x的线性回归方程=x+1过样本中心点，=13+1，解得m=.故填.点睛：本题考查了回归直线方程过样本中心点的应用问题，属于基础题14.若一个圆台的母线长为l，上、下底面半径，满足，且圆台的侧面积为，则_.【答案】2【解析】【分析】根据圆台的侧面积公式计算【详解】由题意，解得故答案：2【点睛】本题考查圆台的侧面积公式，属于基础题15.甲乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率是_
12、.【答案】【解析】【分析】计算出两人都没击中的概率，再利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】甲、乙两人各射击一次，都没击中的概率为，因此，甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率是.故答案为：.【点睛】本题考查利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式求事件的概率，考查计算能力，属于基础题.16.在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下一个直角三角形，由勾股定理有：设想将正方形换成正方体，把截线换成截面。这时从正方体上截下一个角，那么截下一个三棱锥如果该三棱锥的三个侧面面积分别为1，2，4，则该三棱锥的底面的面积是_【答案】【解析】【分析】用平面图形的结论，类比
13、到空间几何体，同时模型不变.【详解】建立从平面图形到空间图形的类比，作出猜想：，则该三棱锥的底面的面积.故答案为：.【点睛】本题主要考查学生的类比推理的能力，属于基础题.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数)，曲线.（1）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求 ，的极坐标方程；（2）若射线(与的异于极点的交点为，与的交点为，求.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由曲线：(为参数)化为普通方程，再结合极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得 ，的极坐标方程；（2）分别求得点对应的的极径，根据极经的几何意义，即可求解.【详解】（
14、1）曲线：(为参数)可化为普通方程：，由可得曲线的极坐标方程为， 曲线的极坐标方程为.（2）射线与曲线的交点的极径为，射线与曲线的交点的极径满足，解得，所以.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标方程的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18.在直三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，AA1AB，D是AB的中点(1)求证：BC1平面A1CD; (2)若点P在线段BB1上，且BPBB1，求证：AP平面A1CD.【答案】详见解析【解析】【分析】（1）连接，与交于点，连结，可以证明 ，根据线面平行的判定可以可证明平面（2）中易证，只要证明就
15、可以证明平面，它可以由得到【详解】(1)连接，与交于点，连结，四边形是矩形，是的中点在中，分别是的中点， ，又平面，平面，平面(2)，是的中点，又在直三棱柱中，底面侧面，交线为，平面，平面平面，.，而 ，从而，.又，平面，平面，平面19.BMI指数（身体质量指数，英文为BodyMassIndex，简称BMI）是衡量人体胖瘦程度的一个标准，BMI=体重（kg）/身高（m）的平方.根据中国肥胖问题工作组标准，当BMI28时为肥胖.某地区随机调查了1200名35岁以上成人的身体健康状况，其中有200名高血压患者，被调查者的频率分布直方图如下：（1）求被调查者中肥胖人群的BMI平均值；（2）填写下面列
16、联表，并判断是否有99.9%的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关.0.0500.0100.001k3.8416.63510.828肥胖不肥胖合计高血压非高血压合计附：，【答案】（1）（2）填表见解析；有99.9%的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关【解析】【分析】（1）分别计算高血压和非高血压人群中各BMI值段的人数，然后用各BMI值段的人数乘以频率分布直方图每个对应表格的中点再求和，最后除以总人数则可得到平均值. （2）根据频率分布直方图，分别计算高血压人群、非高血压人群中肥胖和不肥胖的人数，填表，然后计算观测值，对应给出的表格，得出结论.【详解】解：（1）根据频率分布直方图，2
17、00名高血压患者中，BMI值在的人数为，在的人数为，在的人数为1000名非高血压患者中，BMI值在的人数为，在的人数为，在的人数为被调查者中肥胖人群的BMI平均值（2）由（1）知，200名高血压患者中，有人肥胖，人不肥胖1000名非高血压患者中，有人肥胖，人不肥胖肥胖不肥胖合计高血压70130200非高血压2307701000合计3009001200有99.9%的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关.【点睛】本题考查频率分布直方图均值的计算，考查列联表以及的计算，考查了学生的计算能力，属于中档题.20.四棱锥如图所示，其中四边形ABCD是直角梯形，平面ABCD，AC与BD交于点G，点M线段
18、SA上.（1）若直线平面MBD，求的值；（2）若，求点A到平面SCD的距离.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）连接MG，直线平面MBD，可推出，从而得，而由已知条件可得，进而可得的值；（2）在平面SAD内作于点N，可得平面SCD，于是求出的值就是点A到平面SCD的距离，结合已知条件在利用面积法可求解.【详解】解：（1）连接MG.，且AB，CD在同一平面内，设，得，平面MBD，平面平面，平面SAC，故；（2）在平面SAD内作于点N平面ABCD ，又，得平面SAD.平面SAD，.又，平面SCD.，又，则，而，求得，即点A到平面SCD的距离为.【点睛】此题考查线面平行的性质和线面垂直的判
19、定，考查了点到面的距离，考查了推理和计算能力，属于中档题.21.如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，且，平面平面.（1）求证：平面平面；（2）若，求几何体的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）首先取的中点，连接，利用面面垂直的性质得到平面，从而得到，易证，从而得到平面，又因为得到平面，再利用面面垂直的判定得到平面平面.（2）分别计算直三棱柱的体积和四棱锥的体积，再相加即可得到答案.【详解】（1）取的中点，连接，四边形是正方形，又平面平面，平面平面.平面，平面ABC，中，又，平面.四边形是梯形，且，四边形是平行四边形，又，四边形是平行四边形.，平面.又平面
20、，平面平面.（2）由（1）可得：三棱柱是直三棱柱，所以.直三棱柱的体积，四边形是矩形，底面.四棱锥的体积.几何体的体积.【点睛】本题第一问考查面面垂直的证明，第二问考查组合体的体积，属于中档题.22.已知函数，（）.（1）若，恒成立，求实数的取值范围；（2）设函数，若在上有零点，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1），恒成立，即求在上恒成立（2）函数在上有零点，等价于方程在上有解.化简，得. 设，研究单调性，画出图像即得解.试题解析：（1）由题意，得的定义域为，. ，、随的变化情况如下表：0单调递减极小值单调递增所以. 在上恒成立，.（2）函数在上有零点，等价于方程在上有解.化简，得. 设. 则，、随的变化情况如下表:13单调递增单调递减单调递增且，. 作出在上的大致图象（如图所示）.所以，当时，在上有解.故实数的取值范围是.点睛：函数有零点的问题可以转化为方程有交点的问题，进而可以把方程进行变量分离，研究新函数的图像即得解.
