1、第四讲平面向量的综合应用A组基础巩固一、单选题1若O为ABC内一点，|，则O是ABC的(B)A内心B外心C垂心D重心解析由向量模的定义知O到ABC的三顶点距离相等，故O是ABC的外心，故选B.2已知点A(2，0)，B(3，0)，动点P(x，y)满足x26，则点P的轨迹是(D)A圆B椭圆C双曲线D抛物线解析因为(2x，y)，(3x，y)，所以(2x)(3x)y2x26，所以y2x，即点P的轨迹是抛物线故选D.3已知A，B是圆心为C半径为的圆上两点，且|，则等于(A)ABC0D解析由于弦长|AB|与半径相等，则ACB60|cos ACBcos 60.4已知向量a(1，sin )，b(1，cos )
2、，则|ab|的最大值为(B)A1BCD2解析a(1，sin )，b(1，cos )，ab(0，sin cos )|ab|.|ab|最大值为.故选B.5(2021银川调研)若平面四边形ABCD满足0，()0，则该四边形一定是(C)A直角梯形B矩形C菱形D正方形解析由0得平面四边形ABCD是平行四边形，由()0得0，故平行四边形的对角线垂直，所以该四边形一定是菱形，故选C.6(2021安徽省黄山市高三第一次质量检测)如图，在ABC中，BAC，2，P为CD上一点，且满足m，若ABC的面积为2，则|的最小值为(B)ABC3D解析mm，由于P、C、D共线，所以m，设ACb，ABc，SABCbcsin A
3、bc2，bc8，|22(b24c22bc)6bc3，|，故选B.二、多选题7设a，b是非零向量，若函数f(x)(xab)(axb)的图象是一条直线，则必有(AD)AabBabC|a|b|D|ab|ab|解析f(x)(ab)x2(a2b2)xab.依题意知f(x)的图象是一条直线，所以ab0，即ab.故选A、D.8(2020山东高考预测卷)已知向量a(1，2)，b(m，1)(m0)，且向量b满足b(ab)3，则(AC)A|b|B(2ab)(a2b)C向量2ab与a2b的夹角为D向量a在b方向上的投影为解析将a(1，2)，b(m，1)代入b(ab)3，得(m，1)(1m，3)3，得m2m0，解得m
4、1或m0(舍去)，所以b(1，1)，所以|b|，故A正确；因为2ab(1，5)，a2b(1，4)，14(1)590，所以2ab与a2b不平行，故B错误；设向量2ab与a2b的夹角为，因为2ab(3，3)，a2b(3，0)，所以cos ，所以，故C正确；向量a在b方向上的投影为，故D错误三、填空题9在ABC中，若2，则边AB的长等于 2 解析由题意知4，即()4，即4，所以|2.10已知|a|2|b|，|b|0，且关于x的方程x2|a|xab0有两相等实根，则向量a与b的夹角是 解析由已知可得|a|24ab0，即4|b|242|b|2cos 0，所以cos ，又因为0，所以.11已知向量m，n.
5、若mn1，则cos 解析mnsin cos cos2sin sin，因为mn1，所以sin.因为cos12sin2，所以coscos.故填.12(2021蚌埠模拟)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点.的最大值为 1 解析(1)解法一：如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，设E(t，0)，0t1，则D(0，1)，C(1，1)，(t，1)，(1，0)，t1.解法二：选取，作为基底，设t，0t1，则(t)t1.解法三：设t，则|1cos AED|t|t|1.四、解答题13在平面直角坐标系xOy中，已知向量m，n(sin x，cos x)，x.(1)若mn，求t
6、an x的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值解析(1)因为m，n(sin x，cos x)，mn，所以mn0，即sin xcos x0，所以sin xcos x，所以tan x1.(2)由已知得|m|n|1，所以mn|m|n|cos ，即sin xcos x，所以sin.因为0x，所以x，所以x，即x.14(2020甘肃会宁一中高三上第二次月考)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(2sin B，)，n，且mn.(1)求锐角B的大小；(2)如果b2，求ABC的面积SABC的最大值解析(1)mn，2sin Bcos 2B，sin 2Bcos 2B，即tan 2B.又B为锐角
7、，2B(0，)，2B，B.(2)B，b2，由余弦定理cos B，得a2c2ac40.又a2c22ac，ac4(当且仅当ac2时等号成立)，SABCacsin Bac(当且仅当ac2时等号成立)ABC的面积的最大值为.B组能力提升1已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m(a，b)与n(cos A，sin B)平行，则A(B)ABCD解析因为mn，所以asin Bbcos A0，由正弦定理，得sin Asin Bsin Bcos A0，又sin B0，从而tan A，由于0A0)的部分图象如图所示，A，B分别是这部分图象上的最高点、最低点，O为坐标原点，若0，则函数f(x1)是
8、(AD)A周期为4的函数B周期为2的函数C奇函数D偶函数解析由题图可得A，B，由0得30，又0，所以，所以f(x)sin x，所以f(x1)sin cos x，它是周期4的偶函数故选A、D.5(2021湖南五市十校联考)已知向量m(cos x，sin x)，n(cos x，cos x)，xR，设函数f(x)mn.(1)求函数f(x)的解析式及单调递增区间；(2)设a，b，c分别为ABC的内角A，B，C的对边，若f(A)2，bc2，ABC的面积为，求a的值解析(1)由题意知f(x)cos2xsin xcos xsin1，令2x，kZ，解得x，kZ，函数f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)f(A)sin(2A)12，sin(2A)1.0A，2A，2A，即A.由ABC的面积Sbcsin A，得bc2.又bc2，a2b2c22bccos A(bc)22bc(1cos A)，解得a1.
