1、1.2.4平面与平面的位置关系第1课时两平面平行学习目标1.了解平面与平面的位置关系，掌握面面平行的判定定理、性质定理.2.会进行“线线平行”、“线面平行”及“面面平行”相互之间的转化，来证明“线线平行”、“线面平行”及“面面平行”等问题.3.了解两个平面间的距离的概念知识点一两个平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点平面与平面平行没有公共点平面与平面相交l有一条公共直线知识点二平面与平面平行的判定定理思考1三角板的一条边所在的直线与平面平行，这个三角板所在的平面与平面平行吗？答案不一定思考2三角板的两条边所在的直线分别与平面平行，这个三角板所在的平面与平面平行吗？答案平行梳理表示定理图
2、形文字符号两个平面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行知识点三平面与平面平行的性质定理观察长方体ABCDA1B1C1D1中的两个平面：平面ABCD及平面A1B1C1D1.思考1平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗？答案是的思考2若m平面ABCD，n平面A1B1C1D1，则mn吗？答案不一定，也可能异面思考3过BC的平面交平面A1B1C1D1于B1C1，B1C1与BC是什么关系？答案平行梳理表示定理图形文字符号两个平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行，a，bab类型一两平面平行的判定例1已知在
3、四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PMMABNNDPQQD.求证：平面MNQ平面PBC.证明PMMABNNDPQQD，MQAD，NQBP.BP平面PBC，NQ平面PBC，NQ平面PBC.又底面ABCD为平行四边形，BCAD，MQBC.BC平面PBC，MQ平面PBC，MQ平面PBC.又MQNQQ，根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ平面PBC.反思与感悟判定平面与平面平行的常用方法(1)利用定义，证明两个平面没有公共点，常用反证法(2)利用判定定理要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面应遵循先找后作的原则，
4、即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线(3)利用平行平面的传递性，即，则.(客观题用)跟踪训练1如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ平面PAO?解当Q为CC1的中点时，平面D1BQ平面PAO.Q为CC1的中点，P为DD1的中点，连结PQ，易证四边形PQBA是平行四边形，QBPA.又AP平面APO，QB平面APO，QB平面APO.P、O分别为DD1、DB的中点，D1BPO.同理可得D1B平面PAO，又D1BQBB，平面D1BQ平面PAO.类型二面面平行的性质
5、定理的应用命题角度1由面面平行的性质定理求线段长例2如图，平面，A、C，B、D，直线AB与CD交于S，且AS8，BS9，CD34，求SC的长解设AB，CD确定平面，因为AC，BD，且，所以ACBD，所以SACSBD，所以，即，所以SC272.引申探究若将本例改为：点S在平面，之间(如图)，其他条件不变，求CS的长解设AB，CD确定平面，AC，BD.因为，所以ACBD，所以ACSBDS，所以.设CSx，则，所以x16，即CS16.反思与感悟应用平面与平面平行性质定理的基本步骤跟踪训练2如图所示，平面平面，ABC，ABC分别在，内，线段AA，BB，CC共点于O，O在平面和平面之间，若AB2，AC2
6、，BAC60，OAOA32，则ABC的面积为_答案解析AA，BB相交于点O，所以AA，BB确定的平面与平面，平面的交线分别为AB，AB，所以ABAB，且.同理可得，.所以ABC，ABC面积的比为94，又ABC的面积为，所以ABC的面积为.命题角度2利用面面平行证明线线平行例3如图所示，四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形ABCD外，且AA，BB，CC，DD互相平行，求证：四边形ABCD是平行四边形证明四边形ABCD是平行四边形，ADBC.AD平面BBCC，BC平面BBCC，AD平面BBCC.同理AA平面BBCC.AD平面AADD，AA平面AADD，且ADAAA，平面AADD平面
7、BBCC.又AD，BC分别是平面ABCD与平面AADD，平面BBCC的交线，ADBC.同理可证ABCD.四边形ABCD是平行四边形反思与感悟本类题的解题思路一般为先得出线面平行，再得面面平行，最后由面面平行的性质定理得线线平行跟踪训练3如图，已知E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，求证：四边形BED1F是平行四边形证明如图，连结AC，BD，交点为O，连结A1C1，B1D1，交点为O1，连结BD1，EF，OO1，设OO1的中点为M，由正方体的性质可得四边形ACC1A1为矩形又因为E，F分别为AA1，CC1的中点，所以EF过OO1的中点M，同理四边形BDD1B1为矩
8、形，BD1过OO1的中点M，所以EF与BD1相交于点M，所以E，B，F，D1四点共面又因为平面ADD1A1平面BCC1B1，平面EBFD1平面ADD1A1ED1，平面EBFD1平面BCC1B1BF，所以ED1BF.同理可证EBD1F.所以四边形BED1F是平行四边形类型三平行关系的综合应用例4设AB，CD为夹在两个平行平面，之间的线段，且直线AB，CD为异面直线，M，P分别为AB，CD的中点求证：MP平面.证明如图，过点A作AECD交平面于点E，连结DE，BE.AECD，AE，CD确定一个平面，设为，则AC，DE.又，ACDE(面面平行的性质定理)，取AE的中点N，连结NP，MN，M，P分别为
9、AB，CD的中点，NPDE，MNBE.又NP，DE，MN，BE，NP，MN，NPMNN，平面MNP.MP平面MNP，MP，MP.反思与感悟线线平行、线面平行、面面平行是一个有机整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示：跟踪训练4如图所示，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、P、Q分别是BC、C1D1、AD1、BD的中点(1)求证：PQ平面DCC1D1；(2)求PQ的长；(3)求证：EF平面BB1D1D.(1)证明方法一如图，连结AC、CD1.P、Q分别是AD1、AC的中点，PQCD1.又PQ平面DCC1D1，CD1平面DCC1D1，PQ平面D
10、CC1D1.方法二取AD的中点G，连结PG、GQ，则有PGDD1，GQDC，且PGGQG，平面PGQ平面DCC1D1.又PQ平面PGQ，PQ平面DCC1D1.(2)解由(1)易知PQD1Ca.(3)证明方法一取B1D1的中点O1，连结FO1，BO1，则有FO1綊B1C1.又BE綊B1C1，BE綊FO1.四边形BEFO1为平行四边形，EFBO1.又EF平面BB1D1D，BO1平面BB1D1D，EF平面BB1D1D.方法二取B1C1的中点E1，连结EE1、FE1，则有FE1B1D1，EE1BB1，且FE1EE1E1，B1D1BB1B1，平面EE1F平面BB1D1D.又EF平面EE1F，EF平面BB
11、1D1D.1下列条件中，可以用来判定平面与平面平行的是_(填序号)内有无穷多条直线与平行；直线a，a；直线a，直线b，且a，b；内的任何直线都与平行答案2已知，是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，若，且a，b，则直线a，b的位置关系是_答案平行或异面解析利用正方体模型及两个平面的位置关系的定义，可得直线a，b的位置关系是平行或异面3在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列四对截面中彼此平行的是_(填序号)截面A1BC1和截面ACD1；截面BDC1和截面B1D1C；截面B1D1D和截面BDA1；截面ADC1和截面AD1C.答案解析易证A1BCD1，BC1AD1，由面面平行的判定定理，可得截
12、面A1BC1截面ACD1，所以符合条件；因为截面BDC1和截面B1D1C相交，截面B1D1D和截面BDA1相交，截面ADC1和截面AD1C相交，所以不符合条件故填.4若一平面截平行六面体，与两组相对的面相交，则截面四边形的形状一定是_答案平行四边形解析由面面平行的性质定理可得5.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且B1EC1F.求证：EF平面ABCD.证明过E作EGAB交BB1于点G，连结GF，则，B1EC1F，B1AC1B，FGB1C1BC.又EGFGG，ABBCB，平面EFG平面ABCD.又EF平面EFG，EF平面ABCD.1证明面面平行
13、的方法(1)面面平行的定义(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(4)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化2常用的面面平行的其他几个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行3空间中各种平行关系相互转化的示意图课时作业一、填空题1给出下列
14、条件：两个平面不相交；两个平面没有公共点；一个平面内所有直线都平行于另一个平面；一个平面内有一条直线平行于另一个平面；一个平面内有两条直线平行于另一个平面其中能判断两个平面平行的是_(填序号)答案解析由两个平面的位置关系知正确；由两个平面平行的定义知正确；两个平面相交，其中一个平面内可以有无数条直线与另一个平面平行，故错误，故填.2已知平面平面，直线a平面，则下列命题中正确的是_(填序号)a与内的所有直线平行；a与内的无数条直线平行；a与内的任何直线都不平行；a与没有公共点答案3已知夹在两平行平面，之间的线段AB的长为6，AB与所成的角为60，则与之间的距离为_答案3解析过B作BC于C(图略)
15、，则BAC60，在RtABC中，BCABsin 603.4在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为棱A1D1上的动点，O为底面ABCD的中心，E、F分别是A1B1、C1D1的中点，下列平面中与OM扫过的平面平行的是_(填序号)平面ABB1A1; 平面BCC1B1；平面BCFE; 平面DCC1D1.答案解析AB、DC的中点分别为E1和F1，OM扫过的平面即为平面A1E1F1D1(如图)故平面A1E1F1D1平面BCFE.5若不共线的三点到平面的距离相等，则这三点确定的平面与之间的关系是_答案平行或相交解析若三点在平面的同侧，则；若三点在平面的异侧，则与相交6已知且与间的距离为d，直线a与相交于点
16、A，与相交于点B，若ABd，则直线a与所成的角等于_答案60解析设直线a与所成的角为.由题意得AB.sin .又090，60.7.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于点M，交BC于点N，则_.答案解析平面MNE平面ACB1，由面面平行的性质定理，可得ENB1C，EMB1A.又E为BB1的中点，M，N分别为BA，BC的中点，MNAC，即.8已知在三棱柱ABCA1B1C1中，D，E，F分别是棱AA1，BB1，CC1的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是_答案平行解析D，E，F分别是棱AA1，BB1，CC1的中点，在平行四边形AA1B
17、1B与平行四边形BB1C1C中，DEAB，EFBC，DE平面ABC，EF平面ABC.又DEEFE，平面DEF平面ABC.9.如图，已知，GB，GD分别交，于A，B，C，D，且GA9，AB12，则_.答案解析因为平面GACAC，平面GBDBD，且，所以ACBD，又因为GA9，AB12，所以.10如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足_时，有MN平面B1BDD1.答案M线段FH解析HNBD，HFDD1，HNHFH，BDDD1D，平面NHF平面B1BDD1，故线段FH上任意一
18、点M与N连结，有MN平面B1BDD1.11如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点P是平面AA1D1D的中心，点Q是平面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ平面AA1B1B，则线段PQ的长为_答案解析当且仅当点Q为B1D1的中点时，PQ平面AA1B1B，取A1D1中点O，连结OQ，OP，则OQA1B1，OPA1A.故易证平面OPQ平面ABB1A1，则PQ平面ABB1A1.在RtPOQ中，OQOP，PQ.二、解答题12如图所示，B为ACD所在平面外一点，M、N、G分别为ABC、ABD、BCD的重心(1)求证：平面MNG平面ACD；(2)求SMNGSADC.(1)证明如图，
19、连结BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于点P、F、H.M、N、G分别为ABC、ABD、BCD的重心，2.连结PF、FH、PH，有MNPF.又PF平面ACD，MN平面ACD，MN平面ACD.同理MG平面ACD，又MGMNM，平面MNG平面ACD.(2)解由(1)可知，MGPH.又PHAD，MGAD.同理NGAC，MNCD.MNGDCA，其相似比为13，SMNGSADC19.13.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M平面BC1N，AC平面BC1NN.求证：N为AC的中点证明平面AB1M平面BC1N，平面ACC1A1平面AB1MAM，平面BC1N平面ACC1
20、A1C1N，C1NAM，又ACA1C1，四边形ANC1M为平行四边形，ANC1MA1C1AC，N为AC的中点三、探究与拓展14已知l，m，n是互不相同的直线，是三个不同的平面，给出下列命题：若l与m为异面直线，l，m，则；若，l，m，则lm；若l，m，n，l，则mn.其中所有正确命题的序号为_答案解析中可能与相交；中直线l与m可能异面；中根据线面平行的性质定理可以证明mn.15.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由解方法一存在点E，且E为AB的中点时，DE平面AB1C1.证明
21、如下：如图，取BB1的中点F，连结DF，则DFB1C1，因为AB的中点为E，连结EF，则EFAB1，B1C1AB1B1，EFDFF，所以平面DEF平面AB1C1.而DE平面DEF，所以DE平面AB1C1.方法二假设在棱AB上存在点E，使得DE平面AB1C1.如图，取BB1的中点F，连结DF，EF，则DFB1C1.又DF平面AB1C1，所以DF平面AB1C1.又DE平面AB1C1，DEDFD，所以平面DEF平面AB1C1.因为EF平面DEF，所以EF平面AB1C1.又因为EF平面ABB1，平面ABB1平面AB1C1AB1，所以EFAB1，因为点F是BB1的中点，所以点E是AB的中点即当点E是AB的中点时，DE平面AB1C1.
