1、第九章第6讲A级基础达标1平面内到两定点F1(3,0)，F2(3,0)的距离之差的绝对值等于4的点M的轨迹为()A椭圆 B线段C两条射线 D双曲线【答案】D2(2020年浙江)已知点O(0,0)，A(2,0)，B(2,0)设点P满足2，且P为函数y3图象上的点，则()A B C D【答案】D3(2020年郑州模拟)已知双曲线C：1(0m4)的渐近线与圆(x2)2y23相切，则m()A1 B C2 D3【答案】A4(2020年武汉月考)已知双曲线C：y21(x0)，点F(2,0)，点M是双曲线C的一个动点，点N满足0，则点N到原点的最短距离为()A2 B C D1【答案】B5已知F1，F2为双曲
2、线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cos F1PF2()A B C D【答案】C【解析】由x2y22，知ab，c2.由双曲线定义，得|PF1|PF2|2a2，又|PF1|2|PF2|，所以|PF1|4，|PF2|2.在PF1F2中，|F1F2|2c4，由余弦定理，得cos F1PF2.6已知双曲线1(m0，n0)和椭圆1有相同的焦点，则的最小值为_【答案】9【解析】椭圆1是焦点在x轴上的椭圆，且c2541.因为双曲线1(m0，n0)和椭圆1有相同的焦点，所以mn1(m0，n0)所以(mn)5529.当且仅当，即m，n时取等号所以的最小值为9.7已知双曲线的一个
3、焦点为F(0，)，它的渐近线方程为y2x，则该双曲线的标准方程为_【答案】x21【解析】设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，由题意得所以双曲线的标准方程为x21.8若点P是以A(3,0)，B(3,0)为焦点且实轴长为2的双曲线与圆x2y29的一个交点，则|PA|PB|_.【答案】2【解析】不妨设点P在双曲线的右支上，则|PA|PB|.因为点P是双曲线与圆的交点，由双曲线的定义知|PA|PB|2，又|PA|2|PB|236，联立，化简得2|PA|PB|16，所以(|PA|PB|)2|PA|2|PB|22|PA|PB|52，所以|PA|PB|2.9已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上
4、，离心率为，且过点(4，)，点M(3，m)在双曲线上(1)求双曲线的方程；(2)求证：0；(3)求F1MF2的面积(1)解：因为e，则双曲线的实轴、虚轴相等，所以可设双曲线方程为x2y2.因为双曲线过点(4，)，所以1610，即6.所以双曲线方程为x2y26.(2)证明：设(23，m)，(23，m)所以(32)(32)m23m2.因为点M在双曲线上，所以9m26，即m230.m23，所以0.(3)因为F1MF2的底边长|F1F2|4.由(2)知m.所以F1MF2的高h|m|.所以SF1MF246.10已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点(1)求双曲线的方程；(
5、2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30的直线，直线与双曲线交于A，B两点，求|AB|.解：(1)因为双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点，所以解得c3，则b.所以双曲线的方程为1.(2)双曲线1的右焦点为F2(3,0)，所以经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30的直线的方程为y(x3)联立得5x26x270.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.所以|AB|.B级能力提升11设F1，F2是双曲线y21的左、右两个焦点，若双曲线的左支上存在一点P，使得()0(O为坐标原点)，设PF1F2，则tan 的值为()A6 B52C6 D52【答案】B【解析
6、】双曲线y21的a2，b1，c，设|PF2|n，|PF1|m，由双曲线的定义可得nm2a4.由()0，即为()()0，可得220，即|，则F1PF290，可得m2n24c220，解得m2，n2，则tan 52.12(多选)(2020年罗庄区模拟)已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在双曲线的左支上，若2|MF2|5|MF1|，则双曲线的离心率可以是()A3 B C2 D【答案】BCD【解析】由双曲线的定义，得|MF2|MF1|MF1|2a.根据点M在双曲线的左支上，得|MF1|ca，所以e.所以双曲线离心率的最大值为，观察选项，选项BCD符合题意13(2019年银川模拟
7、)F1是双曲线1(a0，b0)的左焦点，A为虚轴一端点，若以A为圆心的圆与双曲线的一条渐近线相切于点B，且A，B，F1三点共线，则双曲线的离心率为_【答案】【解析】设F1(c,0)，A(0，b)，双曲线的一条渐近线方程为bxay0，由题意可得直线AB的斜率为.由A，B，F1三点共线，可得kAF1，即acb2c2a2.由e，可得e2e10，解得e(负的已舍去)14(一题两空)(2020年金华模拟)已知双曲线1(a0，b0)的离心率是，左右焦点分别是F1，F2，过F2且与x轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，则其渐近线方程是_，AF1F2_.【答案】yx【解析】由题意，得3，即，则双曲线的渐近线方程
8、为yx；如图，不妨设A在第一象限，由双曲线的通径可知，F2A，F1F22c，所以tanAF1F22.所以AF1F2.15已知椭圆C1的方程为y21，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点，O为坐标原点(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且2，求k的取值范围解：(1)设双曲线C2的方程为1(a0，b0)，则a2413，c24，再由a2b2c2，得b21，故双曲线C2的方程为y21.(2)将ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得所以k21且k2.设A(x
9、1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.所以x1x2y1y2x1x2(kx1)(kx2)(k21)x1x2k(x1x2)2.又因为2，即x1x2y1y22，所以2，即0，解得k23.联立得k21，故k的取值范围为.C级创新突破16(2020年重庆模拟)已知双曲线C：1的左、右焦点分別为F1，F2，点M，N为异于F1，F2的两点，且点M在x轴上，M，N的中点在双曲线C的左支上，点M关于F1和F2的对称点分别为A，B，则|NA|NB|的值为()A26 B26 C52 D52【答案】D【解析】设M，N的中点是P，因为点M关于F1和F2的对称点分别为A，B，所以F1是AM的中点，F2是BM
10、的中点，则PF1是MAN的中位线，PF2是MBN的中位线，则|NA|2|PF1|，|NB|2|PF2|，则|NA|NB|2(|PF1|PF2|)22a4a.由双曲线的方程得a2169，得a13，则|NA|NB|4a41352.17(2020年山东月考)已知双曲线C的离心率为，且过(，0)点，过双曲线C的右焦点F2，作倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点(1)求双曲线的标准方程；(2)求AOB的面积解：(1)由题意可得，双曲线的焦点在x轴上，且a，b2c2a2，解得a23，b26，所以双曲线的方程为1.(2)由(1)可得F2(3,0)，F1(3,0)，由题意设y(x3)，设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线与双曲线的方程整理可得x218x330，x1x218，x1x233，可得y1y2(x13)(x23)(x1x2)，所以SAOB|OF2|y1y2|336，即AOB的面积为36.