1、第7讲正弦定理和余弦定理课标要求考情分析通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题三角函数与解三角形交汇命题，是近几年高考的热点，复习时应注意：1.强化正、余弦定理的记忆，突出一些推论和变形公式的应用.2.本节复习时，应充分利用向量方法推导正弦定理和余弦定理.3.重视三角形中的边角互化，以及解三角形与平面向量和三角函数的综合应用，能够解答一些综合问题名称正弦定理余弦定理定理_2R，其中R是三角形外接圆的半径a2_；b2a2c22accos B；c2a2b22abcos C1.正弦定理与余弦定理csin Cb2c22bccos A(续表)角的分
2、类A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式absin Absin Aab解的个数一解两解一解一解c)r(r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R，r.3.在ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情况如下：题组一走出误区1.(多选题)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，)c，下列结论一定正确的是(A.a2b2c22bccos AB.asin Bbsin AC.abcos Cccos BD.acos Bbcos Cc可得 asin Bbsin A，故 B 正确；解析：根据余弦定理可得 a2b2c22bccos A，故 A 正确；根据正弦定理 a bsin A sin B根据正
3、弦定理，abcos Cccos Bsin Asin Bcos Csin Ccos Bsin(BC)sin A，故 C 正确；根据正弦定理的边角互化可得 sin Acos B sin Bcos C sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，sin Bcos Ccos Asin B，又 sin B0，所以 cos Ccos A，当 AC 时，等式成立，故 D 不正确；故选 ABC.答案：ABC题组二走进教材2.(必修 5P4 练习 1 改编)在 ABC 中，已知 A45，C30，c10，则 a_.3.(必修 5P8 练习 2 改编)在ABC 中，已知 a7，b10，c6，则
4、最大角的余弦值为_.解析：由余弦定理得，最大角的余弦值为答案：1584题组三真题展现4.(2017 年全国)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2bcos Bacos Cccos A，则 B_.解析：方法一，由 2bcos Bacos Cccos A，得 2sin Bcos Bsin Acos Ccos Asin Csin(AC)sin B，方法二，2bcos Bacos Cccos A答案：35.(2019 年上海)在ABC 中，AC3，3sin A2sin B，且解析：3sin A2sin B，由正弦定理可得 3BC2AC，由 AC3，可得 BC2，考点 1 正弦定理
5、与余弦定理自主练习1.(2017 年全国)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 sin B sin A(sin C cos C)0，a 2，c，则C()A.12B.6C.4D.3解析：由题意，得 sin(AC)sin A(sin Ccos C)0，得sin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C0，即 sin C答案：B2.(2019 年全国)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 bsin Aacos B0，则 B_.解析：bsin Aacos B0，即 bsin Aacos B，即 sin Bsin Asin Ac
6、os B，sin Bcos B，答案：343.(2015 年全国)在平面四边形 ABCD 中，A B C75，BC2，则 AB 的取值范围是_.解析：如图 D21，延长 BA，CD 交于 E，平移 AD，当 A与 E 重合时，AB 最长，在BCE 中，BC75，E此时与 AB 交于 F.在BCF 中，BBFC75，FCB图 D214.(2019 年全国)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，A.6B.5C.4D.3解析：由 asin Absin B4csin C，得 a2b24c2，a2答案：A答案：A【题后反思】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都用
7、，要抓住能够利用某个定理的信息.一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.考点 2 正弦定理与余弦定理的综合应用师生互动例 1(2019 年全国)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C.(1)求 A；(2)若ab2c，求 sin C.解：(1)由已知得 sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，故由正弦定理得 b2c2a2bc.因为 0A180，所以 A60.【题后反思】有关三角函数知识与
8、解三角形的综合题是高考题中的一种重要题型，解这类题，首先要保证边和角的统一，用正弦定理或余弦定理通过边角互化达到统一.一般步骤为：先利用正弦定理或余弦定理，将边的关系转化为只含有角的关系；再利用三角函数的和差角公式、二倍角公式及二合一公式将三角函数化简及求值.【考法全练】答案：B考点 3 三角形的面积问题 多维探究【考法全练】(1)求角 A，B，C 的大小；(2)求ABC 的周长和面积.转化与化归思想判断三角形的形状例 3(1)在ABC 中，如果 sin A2sin Ccos B，那么这个三角形是()A.锐角三角形C.等腰三角形B.直角三角形D.等边三角形解析：方法一，sin A sin (B
9、 C)sin(B C)sin Bcos Ccos Bsin C，而 sin A2sin Ccos B，2sin Ccos Bsin Bcos Ccos Bsin C，即 sin Ccos Bsin Bcos C，sin Bcos Ccos Bsin C0sin(BC)，又B，C 是ABC 的内角，BC 故.ABC 是等腰三角形.方法二，sin A2sin Ccos B，得 a2ccos B，即 a2c a2c2b22ac，a2a2c2b2，得 c2b20，bc 故.ABC 是等腰三角形.答案：C(2)已知ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若(a2b2)sin(AB)(a2b
10、2)sin(AB)，则ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形解析：方法一，已知等式可化为 a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB)，2a2cos Asin B2b2cos Bsin A.由正弦定理知上式可化为sin2Acos Asin Bsin2Bcos Bsin A，sin 2Asin 2B，由 02A2，02B0，则ABC 一定是锐角三角形B.若 a b ccos A cos B cos C，则ABC 一定是等边三角形C.若 acos Abcos B，则ABC 一定是等腰三角形D.若 acos Bbcos Aa，则
11、ABC 一定是等腰三角形解析：当 a4，b2，c3 时，a2b2c20，ABC 为钝角三角形，A 错误；因为 a bcos A cos B ccos C，所以 tan Atan Btan C，且 A，B，C(0，)，所以ABC，ABC为等边三角形，B正确；不一定是等腰三角形，C 错误；acos B bcos A a sin Acos B sin Bcos A sin A sin(AB)sin Asin Csin A，又因为 A，C(0，)，所以AC.即ABC为等腰三角形，D正确.故选 BD.答案：BD【策略指导】三角形形状的判定方法(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如 a2Rsin A，
12、a2b2c22abcos C 等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如 sin Asin BAB；sin(AB)0AB；sin 2A，cos Ab2c2a2(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如 sin Aa2R2bc等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断.(3)注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种形状的可能.1.(2013 年陕西)设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A.直角三角形C.钝角三角形B.锐角三角
13、形D.不确定ABC 为直角三角形.故选 A.【高分训练】方法二，由 bcos Cccos Basin A，得sin Bcos Csin Ccos Bsin Asin A.sin(BC)sin Asin Asin A.ABC 为直角三角形.故选 A.答案：AA.等边三角形C.等腰三角形B.直角三角形D.等腰直角三角形cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C，所以，cos Bcos Csin Bsin C1，即 cos(BC)1，BC.故选 C.答案：C两点注意：(1)已知两边及其中较小的边所对的角，解三角形时，可能出现一解，两解或无解的情况(一般地，设大边所对的角为，若 sin 1 有一个解，若 sin(0，1)有两解；若sin 1 无解).(2)在ABC 中，ABabsin Asin B.两种策略：(1)解三角形时，已知角多考虑用正弦定理，已知边多考虑用余弦定理.(2)已知边角混合关系式时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.判断三角形形状的两种方法：(1)化角法.(2)化边法.