1、2.2.2对数函数及其性质(二)学习目标1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法.2.掌握对数型复合函数奇偶性的判定方法.3.会解简单的对数不等式.4.了解反函数的概念及它们的图象特点.知识点一ylogaf(x)型函数的单调区间思考我们知道y2f(x)的单调性与yf(x)的单调性相同，那么ylog2f(x)的单调区间与yf(x)的单调区间相同吗？答案ylog2f(x)与yf(x)的单调区间不一定相同，因为ylog2f(x)的定义域与yf(x)定义域不一定相同.梳理一般地，形如函数f(x)logag(x)的单调区间的求法：先求g(x)0的解集(也就是函数的定义域)；当底数a大于1时
2、，g(x)0限制之下g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间，g(x)0限制之下g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间；当底数a大于0且小于1时，g(x)0限制之下g(x)的单调区间与f(x)的单调区间正好相反.知识点二对数不等式的解法思考log2xlog23等价于x3吗？答案不等价.log2xlog23成立的前提是log2x有意义，即x0，log2xlog230x3.梳理一般地，对数不等式的常见类型：当a1时，logaf(x)logag(x)当0a1时，logaf(x)logag(x)知识点三不同底的对数函数图象的相对位置思考ylog2x与ylog3x同为(0，)上的增函数，都过点(1
3、,0)，怎样区分它们在同一坐标系内的相对位置？答案可以通过描点定位，也可令y1，对应x值即底数.梳理一般地，对于底数a1的对数函数，在(1，)区间内，底数越大越靠近x轴；对于底数0a1的对数函数，在(1，)区间内，底数越小越靠近x轴.知识点四反函数的概念思考如果把y2x视为ARB(0，)的一个映射，那么ylog2x是从哪个集合到哪个集合的映射？答案如图，ylog2x是从B(0，)到AR的一个映射，相当于A中元素通过f：x2x对应B中的元素2x，ylog2x的作用是B中元素2x原路返回对应A中元素x.梳理一般地，像yax与ylogax(a0，且a1)这样的两个函数互为反函数.(1)yax的定义域
4、R，就是ylogax的值域，而yax的值域(0，)就是ylogax的定义域.(2)互为反函数的两个函数yax(a0，且a1)与ylogax(a0，且a1)的图象关于直线yx对称.(3)互为反函数的两个函数的单调性相同.但单调区间不一定相同.类型一对数型复合函数的单调性命题角度1求单调区间例1求函数y(x22x1)的值域和单调区间.解设tx22x1，则t(x1)22.yt为减函数，且00，由二次函数的图象知1x0，x22x0，由二次函数的图象知，0x2.当0x2时，yx22x(x22x)(0,1，(x22x)10.函数y(x22x)的值域为0，).(2)设ux22x(0x2)，vu，函数ux22
5、x在(0,1)上是增函数，在(1,2)上是减函数，vu是减函数，由复合函数的单调性得到函数f(x)(x22x)在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数.命题角度2已知复合函数单调性求参数范围例2已知函数y(x2axa)在区间(，)上是增函数，求实数a的取值范围.解令g(x)x2axa，g(x)在上是减函数，00在x(，)上恒成立，即2a2(1)，故所求a的取值范围是2，2(1).反思与感悟若a1，则ylogaf(x)的单调性与yf(x)的单调性相同，若0a0，所以u6ax是减函数，那么函数ylogau就是增函数，所以a1，因为0,2为定义域的子集，所以当x2时，u6ax取得最小值，所以6
6、2a0，解得a3，所以1a0可得2x0得bx0可得xR，所以函数的定义域为R且关于原点对称，又f(x)lg(x)lglglg(x)f(x)，即f(x)f(x).所以函数f(x)lg(x)是奇函数.方法二由x0可得xR，f(x)f(x)lg(x)lg(x)lg(x)(x)lg(1x2x2)0.所以f(x)f(x)，所以函数f(x)lg(x)是奇函数.类型三对数不等式例4已知函数f(x)loga(1ax)(a0，且a1).解关于x的不等式：loga(1ax)f(1).解f(x)loga(1ax)，f(1)loga(1a).1a0.0a1.不等式可化为loga(1ax)loga(1a).即0x1.不
7、等式的解集为(0,1).反思与感悟对数不等式解法要点(1)化为同底logaf(x)logag(x)；(2)根据a1或0a1去掉对数符号，注意不等号方向；(3)加上使对数式有意义的约束条件f(x)0且g(x)0.跟踪训练4已知Ax|log2x2，Bx|3x，则AB等于()A.B.(0，)C.D.(1，)答案A解析log2x2，即log2xlog24，等价于A(0,4).3x，即313x，1x，B.AB.1.如图所示，曲线是对数函数f(x)logax的图象，已知a取，则对应于C1，C2，C3，C4的a值依次为()A.，B.，C.，D.，答案A2.如果xy0，那么()A.yx1B.xy1C.1xyD
8、.1y0，且a1)的反函数，且f(2)1，则f(x)等于()A.log2xB.C.xD.2x2答案A4.函数f(x)lg(xR)是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数答案A5.函数f(x)lnx2的减区间为_.答案(，0)1.与对数函数有关的复合函数的单调区间、奇偶性、不等式问题都要注意定义域的影响.2.yax与xlogay图象是相同的，只是为了适应习惯用x表示自变量，y表示因变量，把xlogay换成ylogax，ylogax才与yax关于yx对称，因为(a，b)与(b，a)关于yx对称.课时作业一、选择题1函数f(x)(x24)的单调递增区间为()A(0，) B(
9、，0)C(2，) D(，2)答案D解析由x240得x2.令ux24，则u的单调递增区间为(2，)，单调递减区间为(，2)又yu为减函数，故f(x)的单调递增区间为(，2)2函数yax与ylogax (a0，且a1)在同一坐标系中的图象只可能是()答案A解析当a1时，指数函数yax为增函数，而对数函数ylogaxx为减函数故选A.3已知loga1，那么a的取值范围是()A0aC.a1D0a1答案D解析当a1时，由loga，故a1；当0a1时，由logalogaa知0a，故0a.综上知：a的取值范围是0a1.4若函数yloga|x2|(a0，且a1)在区间(1,2)上是增函数，则f(x)在区间(2
10、，)上的单调性为()A先增后减B先减后增C单调递增D单调递减答案D解析当1x2时，函数f(x)loga|x2|loga(2x)在区间(1,2)上是增函数，所以0a1；函数f(x)loga|x2|在区间(2，)上的解析式为f(x)loga(x2)(0a1，当x0,1时，2ax0恒成立，a2.1a0，且a1)的反函数，其图象经过点(，)，则a_.答案解析因为点(，)在yf(x)的图象上，所以点(，)在yax的图象上，则有a，即a22，又因为a0，所以a.9函数ylog2(x21)的增区间为_答案(1，)解析由x210解得定义域为x|x1，又ylog2x在定义域上单调递增，yx21在(1，)上单调递
11、增，函数的增区间为(1，)10不等式(4x2x1)0的解集为_答案(，log2(1)解析由(4x2x1)0，得4x2x11，即(2x)222x1，配方得(2x1)22，所以2x1，两边取以2为底的对数，得xlog2(1)11已知函数f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)log2x，则满足不等式f(x)0的x的取值范围是_答案(1,0)(1，)解析函数f(x)为奇函数，f(x)f(x)x0，f(x)log2(x)f(x)，即f(x)log2(x)当x0时，由log2x0，解得x1；当x0，解得x1，1x0.综上，x的取值范围为(1,0)(1，)12已知函数f(x)lg(x1)，则不等式0f(12
12、x)f(x)1的解集为_答案(，)解析不等式0f(12x)f(x)1，即0lg(22x)lg(x1)lg1.由得1x1.由0lg1得10，所以x122x10x10，解得x.由得x1时，yax与yloga(x1)在0,1上是增函数，f(x)maxaloga2，f(x)mina0loga11，aloga21a，loga21，a(舍去)；当0a1)的图象上的两点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M(a,0)，N(b,0)(ba1)，线段BN与函数g(x)logmx(mc1)的图象交于点C，且AC与x轴平行(1)当a2，b4，c3时，求实数m的值；(2)当ba2时，求的最小值；(3)已知h(x)ax，(x
13、)bx，若x1，x2为区间(a，b)内任意两个变量，且x1x2，求证：hf(x2)f(x1)(1)解由题意得A(2，log32)，B(4，log34)，C(4，logm4)，因为AC与x轴平行，所以logm4log32，所以m9.(2)解由题意得A(a，logca)，B(b，logcb)，C(b，logmb)，因为AC与x轴平行，所以logmblogca，因为ba2，所以mc2，所以21，所以1时，取得最小值1.(3)证明因为ax1x21，所以logcalogcx1logcx21，b1，所以alogcx2alogcb，blogcablogcx1，又因为logcblogcalogcalogcb，所以logcalogcblogcblogca，所以alogcbblogca，所以alogcx2blogcx1，即hf(x2)f(x1)