1、第八章第2讲A级基础达标1l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线；q：l1，l2不相交，则()Ap是q的充分条件，但不是q的必要条件Bp是q的必要条件，但不是q的充分条件Cp是q的充要条件Dp既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【答案】A2已知异面直线a，b分别在平面，内，且c，那么直线c一定()A与a，b都相交B只能与a，b中的一条相交C至少与a，b中的一条相交D与a，b都平行【答案】C3(2019年银川一中模拟)已知P是ABC所在平面外的一点，M，N分别是AB，PC的中点，若MNBC4，PA4，则异面直线PA与MN所成角的大小是()A30B45C60D90【答案】A4
2、a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是()A若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C若ab，则a，b与c所成的角相等D若ab，bc，则ac【答案】C5如图所示是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个是()ABCD【答案】D6如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是_【答案】平行或异面7(2019年西安模拟)如图，四边形ABCD和四边形ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为_【解析】如图，将原图补成正方体ABCDQGHP，连接GP，则GPBD，所以A
3、PG为异面直线AP与BD所成的角，在AGP中，AGGPAP，所以APG.8已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点P是平面AA1D1D的中心，点Q是上底面A1B1C1D1上一点，且PQ平面AA1B1B，则线段PQ的长的最小值为_【答案】1【解析】由PQ平面AA1B1B知Q在过点P且平行于平面AA1B1B的平面上，易知点Q在A1D1，B1C1中点的连线MN上，故PQ的最小值为PMAA119如图所示，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，D是PC的中点已知BAC，AB2，AC2，PA2.求：(1)三棱锥PABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值解：(1)SABC222，VPABC
4、SABCPA22.(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则EDBC，所以ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角)在ADE中，DE2，AE，AD2，cos ADE.故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.10已知正方体ABCDA1B1C1D1(1)求直线AC与A1D所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求直线A1C1与EF所成角的大小解：(1)如图，连接B1C，AB1，则B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角因为AB1ACB1C，所以B1CA60.所以直线A1D与AC所成的角为60.(2)连接BD，在正方体ABCDA1B1C1D1中，ACBD，ACA1C1，因为E，
5、F分别为AB，AD的中点，所以EFBD，所以EFAC所以EFA1C1所以直线A1C1与EF所成的角为90.B级能力提升11以下四个命题中，不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；依次首尾相接的四条线段必共面正确命题的个数是()A0B1C2D3【答案】B【解析】假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以正确；从条件看出两平面有三个公共点A，B，C，但是若A，B，C共线，则结论不正确；不正确；因为此时所得的四边形的四
6、条边可以不在一个平面上，如空间四边形，不正确12(多选)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF，则下列结论中正确的是()AACAFBAC平面BEFCAB与平面BEF所成角是45DAEF面积与BEF的面积相等【答案】BC【解析】连接BD，则AC平面BB1D1D，BDB1D1对于A项，AC与AF不垂直，假设ACAF，又ACEF，且AFEFF，则AC平面AEF，又AC平面BB1D1D，所以平面AEF平面BB1D1D，这显然不成立，即假设不成立，故A错误；对于B项，由AC平面BB1D1D，判断AC平面BEF，故B正确；对于C项，由AC平面BB1D1D，则
7、垂足O为AC与BD的交点，所以ABD是直线AB与平面BEF所成的角，且ABD45，故C正确；对于D项，点A、B到直线B1D1的距离不相等，所以AEF的面积与BEF的面积不相等，故D错误故选BC13已知异面直线a与b所成的角为70，P为空间一点，则过P点与a和b所成的角都是45的直线有_条【答案】2【解析】平移a，b过点P，过P点作直线a，b夹角的平分线c，这时c与a，b所成的角均为35，过点P作直线d垂直a和b，这时d与a，b所成的角均为90，直线从c向两边转到d时与a，b所成的角单调递增，必经过45，因为可向两边旋转，所以有2条14如图所示，四棱锥PABCD中，ABCBAD90，BC2AD，
8、PAB和PAD都是等边三角形，则异面直线CD与PB所成角的大小为_【答案】90【解析】如图，延长DA至E，使AEDA，连接PE，BE.因为ABCBAD90，BC2AD，所以DEBC，DEBC所以四边形CBED为平行四边形，故CDBE，则PBE为异面直线CD与PB所成的角在PAE中，AEPA，PAE120，由余弦定理，得PEAE.在ABE中，AEAB，BAE90，所以BEAE.因为PAB是等边三角形，所以PBABAE，所以PB2BE2AE22AE23AE2PE2，所以PBE90.15如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A底面ABC，点E，F分别是棱CC1，B
9、B1上的点，点M是线段AC上的动点，EC2FB2.(1)当点M在何位置时，BM平面AEF?(2)若BM平面AEF，判断BM与EF的位置关系，说明理由；并求BM与EF所成角的余弦值解：(1)如图所示，取AE的中点O，连接OF，过点O作OMAC于点M.因为侧棱A1A底面ABC，所以C1C底面ABC，所以C1CAC又因为EC2FB2，所以OMECFB，且OMECFB所以四边形OMBF为矩形，BMOF.因为OF平面AEF，BM平面AEF，故BM平面AEF，此时点M为AC的中点(2)由(1)知，BM与EF异面，OFE就是异面直线BM与EF所成的角或其补角易求得AFEF，OF，EO，又O为AE的中点，所以
10、OFAE.所以cos OFE.所以BM与EF所成的角的余弦值为.16如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA底面ABCD，OA2，M为OA的中点(1)求四棱锥OABCD的体积；(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值解：(1)由已知可求得正方形ABCD的面积S4，所以四棱锥OABCD的体积V42.(2)如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，又M为OA中点，所以MEOC，则EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角由已知可得DE，EM，MD，所以DE2EM2MD2，所以DEM为直角三角形，且DEM90.所以tanEMD.所以异面直线OC与MD所成角的正
11、切值为.C级创新突破17(2020年山东模拟)我国古代数学名著九章算术中记载，斜解立方为“堑堵”，即底面是直角三角形的直三棱柱(直三棱柱为侧棱垂直于底面的三棱柱)如图，棱柱ABCA1B1C1为一个“堑堵”，底面ABC的三边中的最长边与最短边分别为AB，AC，且AB5，AC3，点P在棱BB1上，且PCPC1，则当APC1的面积取最小值时，异面直线AA1与PC1所成角的余弦值为_【答案】【解析】设BB1x，BPy，则B1Pxy.由题意可得BC4，所以PC2BC2BP216y2，PC B1CB1P216(xy)2.由PC2PCCC，得16y216(xy)2x2，整理得x.过点P作PQCC1交于点Q，
12、再过点Q作QMAC1交于点M，则PMAC1，即PM为APC1的边AC1上的高因为sinAC1C，所以MQ ，所以PM2PQ2MQ216，S2APC1 2PM2AC(9x2)16(9x2)9(xy)2把x代入上式，化简得S2APC1，当且仅当4y，即x，y2时，等号成立，此时APC1的面积取得最小值因为AA1BB1 ，所以B1PC1 即为异面直线AA1与PC1所成角此时sinB1PC1，所以cosB1PC1，即异面直线AA1与PC1所成角的余弦值为.18(2020年六安期末)已知正四棱锥PABCD的表面积为2，记正四棱锥的高为h.(1)试用h表示底面边长，并求正四棱锥体积V的最大值；(2)当V取最大值时，求异面直线AB和PD所成角的正切值解：(1)设正四棱锥的底面边长为a，侧面三角形的高为H，则a22aH2，所以H .又H2h22，所以a.所以正四棱锥体积Va2h，当且仅当h，即h1时取等号所以V 的最大值为.(2)取CD的中点Q，正方形ABCD的中心O，连接PQ，PO，OQ.因为ABCD，所以PDQ即为异面直线AB与PD所成角由(1)知，当V取最大值时，a，PQ.又DQa， 所以tanPDQ3，即异面直线AB和PD所成角的正切值为3.