1、第二章 推理与证明2.2 直接证明与间接证明2.2.2 反证法A级基础巩固一、选择题1命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是()A三角形中有两个内角是直角B三角形中有三个内角是直角C三角形中至少有两个内角是直角D三角形中没有一个内角是直角解析：“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是“三角形中至少有两个内角是直角”答案：C2abcd的一个必要不充分条件是()Aac BbcCac且bd Dac或bd解析：由ac或bd可得abcd，反之则不一定，选项D正确答案：D3 “实数a，b，c不全大于0”等价于()Aa，b，c均不大于0Ba，b，c中至少有一个大于0Ca，b，c中至多有
2、一个大于0Da，b，c中至少有一个不大于0解析：“不全大于零”即“至少有一个不大于0”，它包括“全不大于”选项D正确答案：D4用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；假设直线AC、BD是共面直线则正确的序号顺序为()A BC D解析：结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为.答案：B5设实数a、b、c满足abc1，则a、b、c中至少有一个数不小于()A0 B. C. D1解析：假设a、b、c都小于，则abc1，与ab
3、c1矛盾选项B正确答案：B二、填空题6有下列叙述：“ab”的反面是“ab”；“xy”的反面是“xy或xy”；“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”其中正确的叙述有_(填序号)解析：“xy”的反面是“xy”，即是“xy或xy”，所以正确；“ab”的反面是“ab”；“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心不在三角形外”；“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形至少有两个钝角”所以这三个都错答案：7用反证法证明命题“若实系数一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数”时，应假设_解析：
4、“a、b、c中至少有一个是偶数”的反面是“a、b、c都不是偶数”，故应假设a、b、c都不是偶数答案：a、b、c都不是偶数8已知数列an，bn的通项公式分别为anan2，bnbn1(a， b是常数，且ab)，那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有_个解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得anbn，由题意ab，nN*，则恒有anbn，从而an2bn1恒成立，所以不存在n使anbn.答案：0三、解答题9若a、b、c均为实数，且ax22y，by22z，cz22x，求证：a、b、c中至少有一个大于0.证明：设a、b、c都不大于0，即a0，b0，c0，所以abc0.而abc(x22x)(y2
5、2y)(z22z)3(x1)2(y1)2(z1)2330.所以abc0，这与abc0矛盾，故a、b、c中至少有一个大于0.10求证：1、2不能为同一等差数列的三项证明：假设1、2是数列an(nN*)中某三项，不妨设为an1，am，ap2，(n，m，p互不相等)由等差数列定义可有，即，则1.由于m，n，p是互不相等的正整数，所以必为有理数，而1是无理数，二者不会相等所以假设不成立，结论正确B级能力提升1设a、b、c都是正数，则三个数a，b，c()A都大于2 B至少有一个大于2C至少有一个不小于2 D至少有一个不大于2解析：假设a2，b2，c2，则abc6；因为a2，b2，c2，所以abc6.所以假设错误，选项C正确答案：C2若下列两个方程x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是_解析：若两方程均无实根，则1(a1)24a2(3a1)(a1)0，解得a1或a.2(2a)28a4a(a2)0，解得2a0，所以2a1.所以，若两个方程至少有一个方程有实根，则有a2或a1.答案：3求证：不论x，y取何非零实数，等式总不成立证明：假设存在非零实数x，y使得等式成立于是有y(xy)x(xy)xy，即x2y2xy0，即(x)2y20.由y0，得y20.又(x)20，所以(x)2y20.与x2y2xy0矛盾，故原命题成立