1、“任意角三角函数的概念”的教学设计一、 教学内容解析这是一节关于任意角的三角函数的概念课。三角函数是高中范围内即指数函数、对数函数和幂函数之后的最后学习的函数，是函数的一个下位概念，与指对数函数、幂函数属于同一抽象（概括）层次。它是一种重要的基本初等函数，是解决实际问题的重要工具，也是学习数学中其他知识内容的基础。在初中，学生已学过锐角三角函数，知道直角三角形中锐角三角函数等于相应边长的比值。在此基础上，随着角的概念的推广，引入弧度制，相应地将锐角三角函数推广为任意角的三角函数，此时它与三角形已经没有什么关系了。任意角的三角函数是研究一个实数集（角的弧度数构成的集合）到另一个实数集（角的终边与
2、单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系。认识它需要借助单位圆、角的终边以及两者的交点这些几何图形的直观帮助，这里体现了数形结合的思想，由锐角三角函数到坐标表示的锐角三角函数，再到单位圆上的点的坐标表示的锐角三角函数，直至得到任意角的三角函数的定义，体现了合情推理的思想方法。本节课将围绕任意角三角函数的概念展开，任意角三角函数的概念是本节课的重点，能够利用单位圆认识这个概念是解决教学重点的关键二、 教学目标设置1、借助终边上一点的坐标理解任意角三角函数的定义：（1）能利用直角坐标系中角的终边上一点的坐标表示锐角三角函数；（2）能利用直角坐标系中角的终边上一点的坐标表示任意角的三角函数；2
3、、借助单位圆理解任意角三角函数的定义：（3）能利用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标表示锐角三角函数；（4）能利用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标表示任意角的三角函数；3、知道三角函数是研究一个实数集（角的弧度数构成的集合）到另一个实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系，正弦、余弦和正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。4、在借助单位圆认识任意角三角函数概念的过程中，体会数学结合思想，并利用这一思想解决有关定义应用的问题。三、学生学情分析1、学生在利用终边上一点的坐标表示锐角三角函数时可能存在障碍，因为之前掌握的是用直角三角形的
4、边长的比值来表示的，要克服这个困难，关键是引导学生联系之前新学的内容，怎样把角放在坐标系内，怎样做出三角形，帮助学生建立终边上点的坐标的比值与直角三角形有过边长的比值的联系。2、学生在如何使终边上一点的坐标表示锐角三角函数的表达式变得更简洁的这个节点处，联想不到使用单位圆，因为以前没有接触过单位圆，而且单位长度也很少涉及过，针对这个问题，应引导学生利用相似三角形的知识来转换，无论点P在何位置，其三角函数值唯一确定，那选在终边与单位圆的交点处，表达式就更简单了。3、学生在将用单位圆定义锐角三角函数推广到任意角的三角函数时，还可能出现障碍，主要原因是受初中锐角三角函数定义的影响，仍然局限在直角三角
5、形中思考问题，要帮助学生克服这一困难，就要让学生知道，借助单位圆，用终边与单位圆交点的坐标表示三角函数，就是为了很好地解决在直角三角形中不能定义任意角三角函数的问题。用单位圆定义三角函数，不仅没有改变初中锐角三角函数定义的本质，还能定义任意角的三角函数。四、教学策略分析为了加强学生对任意角三角函数概念的理解，帮助学生在理解概念过程中可能遇到的障碍，本节课使用PPT与白板相结合。使用探究式，提出一系列问题，通过学生的积极思考，使学生发现问题，并能通过努力解决问题，给学生以成功的体验。五、 教学过程设计（一）教学基本流程复习锐角三角函数的定义终边上点坐标表示的锐角三角函数小结推广任意角三角函数的概
6、念单位圆上的点坐标表示的锐角三角函数进一步理解任意角三角函数的概念（二） 教学情境 1.复习锐角三角函数的定义xyO1xyOxyO探究1 ：下列四个图像中，哪些是函数的图像，哪些不是？若是函数的图像，请说明理由。xyO 设计意图：通过该问题，帮助学生回忆函数的定义，从而引出该节课的授课内容。问题1.1：在初中，我们已经学习过锐角三角函数，还记得是怎样定义的吗？问题1.2:在锐角三角函数的定义中，自变量是什么，函数值是什么？ 设计意图：帮助学生回顾初中锐角三角函数的定义。师生活动：教师提出问题并在白板上给出一个直角三角形，学生思考并回答。2、终边上点坐标表示的锐角三角函数探究2:根据初中所学习的
7、三角函数的知识，你能求出以外的角的三角函数值吗？还能用三角形边长的比值表示吗？回答是肯定的，不能。那我们就要寻求其他的办法来解决这个问题。 问题2.1我们不妨把一个锐角放在坐标系内，看看根据初中所学，你能不能找到解决问题的途径？ 以此引导学生想到在终边上取一点，然后向轴做垂线，形成直角三角形。 学生可能还用边长的比值来表示三角函数值，那么需进一步设问启发学生思考： 我们把角放在坐标系内来进行研究，目的是什么呢？借助坐标系，可以把几何问题代数化，可以用坐标表示点，表示线段的长。 这时学生能意识到用坐标表示三角函数值了。这里渗透了数形结合的思想。问题2.2：请大家思考一个问题：如果在锐角的终边上另
8、取一点，那这个锐角的三角函数值发生变化吗？再取另外一个点试试看，有变化吗？不变的原因是什么呢?问题2.3：通过以上探究你有什么发现？锐角的三角函数值与谁有关？与谁无关？探究3：通过以上探究，同学们能否在角的终边上找到一个合适的点使三角函数的表达式更简洁呢？设计意图：为引入单位圆进行铺垫。 师生活动：教师提出问题后，学生进行讨论，如果学生能回答出使=1，教师在此给出单位圆的定义，若学生想不到，教师可引导学生分析表达式的比值形式，看怎样能更简洁。 至此学生可能说出新的表达式。 3、单位圆上的点坐标表示的锐角三角函数由上一环节得到单位圆上的点坐标表示的锐角三角函数： 探究4：同学们想一想：这组定义式
9、中的变量分别是什么呢？设计意图：引导学生分析三角函数的自变量和因变量，从而体会函数中自变量和函数值之间的依存关系，体会函数的概念。师生活动：教师引领学生分析对任意的锐角，其终边都会与单位圆交于唯一的一点，而点的坐标也是唯一的。从而让学生体会函数中自变量和函数值的关系。4、 推广至任意角三角函数的概念探究5：在之前的探究中我们已经掌握了锐角三角函数的定义了，那么，对任意角的三角函数还能沿用此定义吗？同学们可以大胆地去猜想，进行开放式的讨论。设计意图：抛出问题让学生思考，他们觉得可以，但又不能肯定回答，这时需要教师的释疑。师生活动：在学生回答的基础上，教师给出肯定回答。给出任意角三角函数的定义。任
10、意角的三角函数的定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么 （1）叫做的正弦,记作,即； （2）叫做的余弦,记作,即； （3）叫做的正切,记作,即 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。例1已知角的终边经过点P，求角的正弦、余弦和正切值设计意图：从最简单的问题入手，通过变式，让学生学习如何利用定义来解决不同的问题，加深对定义的理解。师生活动在完成本题的基础上，通过下列变式引导学生对三角函数概念作进一步的认识。变式1 求的正弦、余弦和正切值。变式2已知角的终边经过点P，求角的正弦、余弦和正切值 此处用实物投影展示学生的解
11、题过程，并由学生进行讲解。5、 进一步理解任意角三角函数的概念以上几个习题同学们都做得不错，那下面我们继续进行我们的探究之旅。探究6：你能根据三角函数的定义，给出正弦、余弦和正切在弧度制下的定义域吗？设计意图：研究一个函数，就是研究其三要素，而三要素中最本质的则是定义域和对应法则。而三角函数的对应法则由定义给出，所以给出定义后，就要通过定义求定义域，既完善了三角函数概念的内容，同时也帮助学生进一步理解三角函数的概念。师生活动：学生求出定义域，教师整理。问题6.1：你还能根据定义确定三角函数在各个象限内的符号吗？设计意图：通过定义的应用，让学生了解三种函数值在各个象限的符号的变化规律，进一步理解
12、三角函数的概念，体会数形结合的思想。师生活动：学生回答，教师进行整理。例2求证：（1）当不等式组成立时，角为第三象限角；（2） 当角为第三象限角时，不等式组成立。探究7：通过定义你能计算下列三角函数值吗？ ， ， ， 问题7.1：为什么它们的值是相等的呢？问题7.2：通过上面的计算你能得出一般性的结论呢？对余弦和正切也依然适用吗？设计意图：引出公式一，突出函数周期变化的特点，以及数形结合的思想。师生活动：在教师的引导下，学生讨论完成。练习3，求下列各角的三角函数值（1） （2） （3）设计意图：让学生熟悉和记忆公式一，进一步理解三角函数的概念。师生活动：学生做答，教师点评。6.小结教师提问：这节课，同学们都有哪些收获？设计意图：回顾和总结本节课的主要内容。师生活动：学生回答，若不完整，再请其他的同学进行补充。7.作业书后练习题。设计意图：通过作业帮助学生进一步理解任意角三角函数的概念，并检测学生对本节课内容的掌握程度。
