1、2.3幂函数(一)实例观察,引入新课 (1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付P = W元 P是W的函数 (y=x)(2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积S=a2 S是a的函数 (y=x2)(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V =a3 S是a的函数 (y=x3)(4)如果一个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边长a= a是S的函数 (y=)(5)如果某人 t s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度v=t-1 V是t的函数 (y=x-1)问题一:以上问题中的函数具有什么共同特征?学生反应:底数都是自变量,指数都是常数.【设计意图】引导学生从具体的实例中进
2、行总结,从而自然引出幂函数的一般特征.(二)类比联想,探究新知1.幂函数的定义一般地,函数y=x叫做幂函数(power function) ,其中x为自变量,为常数。注意:幂函数的解析式必须是y = a 的形式,其特征可归纳为“系数为,只有项”(让学生判断y=2x2 y=(x+1)2 y=x2+1 是否为幂函数)【设计意图】加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解.2.幂函数的图像与简单性质 同前面的指数函数和对数函数一样,先画出函数的图像,再由图像来研究幂函数的相关性质(定义域,值域,单调性,奇偶性,定点)不妨也找出典型的函数作为代表:y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1让学生自主动手,
3、在同一坐标系中画出这5个函数的图像 问题三:所有图像都过第几象限,所有图像都不过第几象限,为什么?学生反应:都过第一象限,而都不过第四象限,因为当x0时所有幂函数都有意义,且函数值都为正.问题四:第一象限内函数图像的变化趋势与指数有什么关系,为什么?学生反应:当指数为正时是增函数,指数为负时是减函数.为什么却讲不清楚.教师讲解:指数为正分为正分数和正整数,正无理数我们高中不做研究,当是正整数时很显然递增,当是正分数时,可以化成根式,很显然当被开方数为正时,被开方数越大,整个根式值越大。而负指数可以化为正指数的倒数,分母递增,整个函数递减.问题五:所有图像都过哪些点,为什么?学生反应:都过点(1
4、,1),因为1的任何指数幂都为1.问题六:对于原点,什么样的幂函数过,什么样的幂函数不过,为什么?学生反应:指数为正过,为负则不过,因为负指数幂可以化成分数形式,分母不能为零,所以在原点没有意义.问题七:图像在第一象限的位置关系是什么样子的,为什么?学生反应:当0x1时,指数大的图像在上方,对于原因大部分学生不能很快反应过来.教师活动:在0x1内任取个x值,例如a,肯定有oa1时,指数大的函数值就大.【总结】 幂函数不同于指数函数和对数函数拥有共同的定义域,所以幂函数的性质不可能全部总结清楚,但我们在探索性质的过程中知道了研究方法:指数是分数则化为根式,指数为负数则化为分式,这样对于定义域、值
5、域、单调性、奇偶性都可以很容易看出来,不过要严格判断单调性和奇偶性还要用定义进行证明,接下来不看图像很快得出5个幂函数的相关性质:函数性质y=xy=x2y=x3y=y=x-1定义域RRR0,+)xx0值域R0,+)R0,+)yy0单调性增(-,0)增0,+)减增增(-,0)减(0+)减奇偶性奇偶奇非奇非偶奇公共点(1,1)【设计意图】通过创设问题情境,激发学生的思维,并在新知探究的过程中自然形成一般方法的呈现,使学生易于领悟和接受.(三)新知应用【性质证明】证明幂函数y=在0,+)上是增函数证明:教师活动:强调教材中此例题的地位和作用:(1)复习定义证明单调性的过程.(2) 幂函数的单调性很容
6、易观察,强调严格判断的时候要用单调性进行证明。(3)幂函数的单调性很容易观察,以至于在证明中直接用到了单调性,如直接判断【例】比较下列各组数种两个值的大小(1) (2) (3) 解::(1) y= 5.2x是增函数, 0.10.2 5.20.1 5.20.2 (2) y=x0.9在(0,+)内是增函数 3.23.7 3.20.9 3.70.9(3) 1.72.51.82.51.83.5【练习】 已知一个函数 是幂函数,且在区间(0,+)内是减函数,求满足条件的实数m的集合。解:依题意,得 解方程,得 m=2或m=-1检验:当 m=2时,函数为符合题意.当m=-1时,不合题意,舍去.所以m=2【设计意图】增强学生对新知的应用能力,从而达到能力的转型和对知识理解的深化.(四)课堂小结,归纳提升(1)知识总结:回顾幂函数的定义和一些简单的幂函数性质.(2)思想方法:主要涉及到了归纳总结的思想,回顾研究一般具体幂函数的可行方法.(五)课后作业,巩固训练P79习题2.3: 1,2,3.