1、第 8 节 直线与圆锥曲线的位置关系最新考纲核心素养考情聚焦1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法2.了解圆锥曲线的简单应用3.理解数形结合的思想1.直线与圆锥曲线的位置关系的判定与应用，达成直观想象和数学运算的素养2.根据直线与圆锥曲线的位置求参数，增强逻辑推理和数学运算的素养3.弦长问题与中点弦问题的研究，提升逻辑推理和数学运算的素养直线与圆锥曲线的位置关系一直是高考的热点，考查知识有直线与椭圆、抛物线相交，涉及弦长、中点、面积、对称性等问题题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度不小，属中高档题型，做题时要充分利用函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合等数学思想的运用 直线
2、与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程与直线方程联立消去 y，整理得到关于 x 的方程 ax2bxc0.方程 ax2bxc0 的解l与C1的交点a0b0无解(含l是双曲线的渐近线)无公共点 b0有一解(含 l 与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐近线平行)一个交点 a00两个 不等 的解 两个交点 0两个相等的解 一个切点 b0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点 M(x0，y0)(1)斜率：kb2x0a2y0.(2)弦 AB 的斜率与弦中点 M 和椭圆中心 O 的连线的斜率之积为定值b2a2思考辨析 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“”，错误的打“”
3、(1)直线与双曲线有且只有一个公共点，则判别式 0.()(2)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点()(3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点()(4)直线 ykx1 与椭圆x25y291 恒有两个公共点()(5)直线与椭圆有且只有一个公共点，则其判别式 0.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)小题查验1直线 ykxk1 与椭圆x29y241 的位置关系为()A相交 B相切C相离D不确定解析：A 直线 ykxk1k(x1)1 恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交2“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的()A充分不必
4、要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：A 直线与双曲线相切时，只有一个公共点，但直线与双曲线相交时，也可能有一个公共点，例如：与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点故选 A.3若直线 ykx 与双曲线x29y241 相交，则 k 的取值范围是()A.0，23B.23，0C.23，23D.，23 23，解析：C 双曲线x29y241 的渐近线方程为 y23x，若直线与双曲线相交，数形结合，得 k23，23.4(人教 A 版教材 P80A 组 T8 改编)已知与向量 v(1,0)平行的直线 l 与双曲线x24y21相交于 A，B 两点，则|AB|的最小值为_解析：由题
5、意可设直线 l 的方程为 ym，代入x24y21 得 x24(1m2)，所以 x1 41m22 1m2，x22 1m2，所以|AB|x1x2|4 1m24，即当 m0 时，|AB|有最小值 4.答案：45椭圆x22y21 的弦被点12，12 平分，则这条弦所在的直线方程是_解析：设弦的两个端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x21，y1y21.A，B 在椭圆上，x212y211，x222y221.两式相减得x1x2x1x22(y1y2)(y1y2)0，即y1y2x1x2 x1x22y1y212，即直线 AB 的斜率为12.直线 AB 的方程为 y1212x12，即 2x4y30
6、.答案：2x4y30考点一 直线与圆锥曲线的位置关系(自主练透)题组集训1若过点(0,1)作直线，使它与抛物线 y24x 仅有一个公共点，则这样的直线有()A1 条 B2 条 C3 条 D4 条解析：C 结合图形分析可知，满足题意的直线共有 3 条：直线 x0，过点(0,1)且平行于 x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线 x0)，故选 C.2双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点为 F，直线 l 过焦点 F，且斜率为 k，则直线 l 与双曲线 C 的左，右两支都相交的充要条件是()AkbaBkbaCkba或 kbaDbakba解析：D 由双曲线渐近线的几何意
7、义知bakba.故选 D.3若直线 mxny4 和圆 O：x2y24 没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆x29y241的交点个数为()A至多一个B2C1D0解析：B 直线 mxny4 和圆 O：x2y24 没有交点，4m2n22，m2n24.m29 n24 m29 4m241 536m21，点(m，n)在椭圆x29y241 的内部，过点(m，n)的直线与椭圆x29y241 的交点有 2 个，故选 B.判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于 x，y 的方程组，消去 y(或 x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组
8、的解即为交点坐标；(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数提醒：直线与双曲线相交时要注意交点的位置限制参数的范围考点二 根据直线与圆锥曲线的位置求参数(师生共研)典例(1)若直线 ykx2 与双曲线 x2y26 的右支交于不同的两点，则 k 的取值范围是()A.153，153 B.0，153C.153，0D.153，1解析 D 由ykx2，x2y26，得(1k2)x24kx100，14k2016k241k2100 x1x2 4k1k20 x1x2 10k210，直线与双曲线右支有两个不同交点，解得 153 k1.故选 D.(2)(2019沈阳市模拟)已知直线 3xy 3
9、0 与抛物线 y24x 交于 A，B 两点(A 在 x 轴上方)，与 x 轴交于 F 点，OF OA OB，则()A.12 B12 C.13 D13解析 B 直线 3xy 30 过抛物线的焦点 F(1,0)，把直线方程代入抛物线的方程 y24x，解得x3y2 3，或x13y2 33，不妨设 A(3,2 3)、B13，2 33.OF OA OB，(1,0)(3，2 3)13，2 33 313，2 32 33 .3131,2 32 33 0，14，34，则 12.故选 B.由位置关系求字母参数时，用代数法转化为方程的根或不等式解集，也可以数形结合，求出边界位置，再考虑其它情况跟踪训练1(2018永
10、州市三模)已知 F 为椭圆x24y231 的左焦点，A 是椭圆的短轴的上顶点，点 B在 x 轴上，且 AFAB，A，B，F 三点确定的圆 C 恰好与直线 xmy30 相切，则 m 的值为()A3 B.3 C 3 D3解析：C 由题意可知：椭圆x24y231 的左焦点(1,0)，设 B(x,0)，由 AFAB，且 A，B，F 三点确定的圆 C，圆心 Cx12，0，半径为 rx12.在AOC 中，由|AO|2|OC|2|AC|2r2，即(3)2x122x122，解得 x3，则 C(1,0)，半径为 2，由题意可知：圆心到直线 xmy30 距离 d|1m03|1m22，解得 m 3.故选 C.2已知
11、直线 yxm 被椭圆 4x2y21 截得的弦长为2 25，则 m 的值为_解析：把直线 yxm 代入椭圆方程得 4x2(xm)21，即 5x22mxm210，设该直线与椭圆相交于两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1，x2 是方程 5x22mxm210 的两根，4m220(m21)16m2200，即 m2b0)的离心率为12，过椭圆右焦点 F 作两条互相垂直的弦 AB 与 CD.当直线 AB 斜率为 0 时，AB4.(1)求椭圆的方程；(2)若|AB|CD|487，求直线 AB 的方程直观想象、逻辑推理、数学运算直线与椭圆位置关系综合问题中的核心素养以学习过的直线与椭圆位置关系的相
12、关知识为基础，借助直线、椭圆等平面图形的几何性质，通过逻辑推理将已知条件代数化，并通过消元等进行一系列的数学运算，从而使问题得以解决信息提取信息解读直观想象、逻辑推理、数学运算椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为12ca12着眼点 1：求椭圆的方程：待定系数法，通过解方程求出 a 和 b过椭圆右焦点 F 的弦 AB 斜率为0 时，AB42a4过椭圆右焦点 F 的弦 AB 与 CD互相垂直，当直线 AB 斜率为 0时，|AB|4，|AB|CD|487分两种情况讨论：当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0 时，另一条弦所在直线的斜率不存在；当两弦所在直线的斜率均存在且不为 0着眼点 2：求直线
13、AB 的方程：待定系数法求出直线AB 的斜率 k，也就是利用弦长公式将|AB|CD|487 转化为关于 k 的方程解析(1)由题意知 eca12，2a4.又 a2b2c2，解得a2，b 3，所以椭圆方程为x24y231.(2)当两条弦中一条弦所在直线的斜率为 0 时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|CD|7，不满足条件当两弦所在直线的斜率均存在且不为 0 时，设直线 AB 的方程为 yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线 CD 的方程为 y1k(x1)将直线 AB 方程代入椭圆方程中并整理，得(34k2)x28k2x4k2120，则 x1x2 8k234k2，x
14、1x24k21234k2，所以|AB|k21|x1x2|k21x1x224x1x212k2134k2.同理，|CD|121k2134k212k213k24.所以|AB|CD|12k2134k2 12k213k2484k21234k23k24487，解得 k1，所以直线 AB 的方程为 xy10 或 xy10.1利用弦长公式求弦长要注意斜率 k 不存在的情形，若 k 不存在时，可直接求交点坐标再求弦长；2涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用跟踪训练已知圆 C：x2(y1)25，直线 l：mxy2m0.(1)求证：mR，l 与圆 C 总有两个不同的交点 A，B；(2)当|AB|取最小值时，求 l
15、 的方程与|AB|的最小值解：(1)由x2y125，mxy2m0 消去 y 并整理得，(1m2)x22m(1m)xm22m40，所以 2m(1m)24(1m2)(m22m4)16m1421516 0，所以mR，直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点 A，B.(2)由(1)可得 kCD21101，当|AB|取最小值时，直线 l 的斜率 k1，即 m1，故此时直线 l 的方程为xy30，即 xy30.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，不妨设 x1x2，由xy30，x2y125，消去 y 并整理得2x24x10.解得 x11 62，x21 62，所以|AB|2|x1x2|2 3.考点四 中点弦
16、问题(多维探究)命题角度 1 由中点弦确定直线方程1已知(4,2)是直线 l 被椭圆 x236y29 1 所截得的线段的中点，则 l 的方程是_解析：设直线 l 与椭圆相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)则x2136y2191，且x2236y2291，两式相减得y1y2x1x2 x1x24y1y2.又 x1x28，y1y24，所以y1y2x1x212，故直线 l 的方程为y212(x4)，即 x2y80.答案：x2y80由中点弦确定直线方程常用点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有 x1x2，y1y2，y1y2x1x2三个未知量，这样就直接联系了中点和直
17、线的斜率，借用中点公式即可求得斜率；也可以利用根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解提醒中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足命题角度 2 由中点弦确定曲线方程2已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交 E 于 A，B 两点若AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为()A.x245y2361 B.x236y2271C.x227y2181D.x218y291解析：D 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)
18、，则x21a2y21b21，x22a2y22b21，两式作差并化简变形得y1y2x1x2b2x1x2a2y1y2，而y1y2x1x2013112，x1x22，y1y22，所以 a22b2，又因为 a2b2c29，于是 a218，b29.故选 D.由中点弦确定曲线方程，一般常用点差法，用中点坐标和斜率找到曲线方程有关参数的关系式，求解即可命题角度 3 由中点弦解决对称问题3已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为 4，若抛物线 yax2 上的两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线 yxm 对称，且 x1x212，则 m 的值为()A.32 B.
19、52 C2 D3解析：A 由双曲线的定义知 2a4，得 a2，所以抛物线的方程为 y2x2.因为点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线 y2x2 上，所以 y12x21，y22x22，两式相减得 y1y22(x1x2)(x1x2)，不妨设 x1x2，又 A，B 关于直线 yxm 对称，所以y1y2x1x21，故 x1x212，而 x1x212，解得 x11，x212，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点为 M(x0，y0)，则 x0 x1x2214，y0y1y222x212x22254，因为中点 M 在直线 yxm 上，所以5414m，解得 m32.故选 A.由中点弦解决对称问
20、题，首先根据斜率之积等于1，用点差法表示出有关式子再利用中点在已知直线上，代入解的命题角度 4 由中点弦解决离心率问题4(2019郑州市一模)已知椭圆 r：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F(1,0)，且离心率为12，ABC 的三个顶点都在椭圆 r 上，设ABC 三条边 AB、BC、AC 的中点分别为 D、E、M，且三条边所在直线的斜率分别为 k1、k2、k3，且 k1、k2、k3 均不为 0.O 为坐标原点，若直线 OD、OE、OM 的斜率之和为 1.则1k11k21k3_.解析：由 c1，eca12，则 a2，b2a2c23，椭圆的标准方程为x24y231.设 A(x1，y1)，B
21、(x2，y2)，C(x3，y3)，D(s1，t1)，E(s2，t2)，M(s3，t3)由 A，B 在椭圆上，则 3x214y2112,3x224y2212，两式相减得到：y1y2x1x234x1x2y1y2，所以 k1y1y2x1x234x1x2y1y234s1t1，即1k14t13s1，同理1k24t23s2，1k34t33s3，所以1k11k21k343t1s1t2s2t3s3，直线 OD、OE、OM 的斜率之和为 1，则1k11k21k343.答案：43由中点弦解决离心率问题，指导思想是整体代换，设而不求，设出两个相关点的坐标，利用点差法，把相关的关系式是表示出来，再根据具体题目的条件求
22、解1已知抛物线 y22x，过点(1,2)作直线 l，使 l 与抛物线有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线 l 共有()A0 条 B1 条 C2 条 D3 条解析：D 因为点(1,2)在抛物线 y22x 的左侧，所以该抛物线一定有两条过点(1,2)的切线，过点(1,2)与 x 轴平行的直线也与抛物线只有一个交点，所以过点(1,2)有 3 条直线与抛物线有且只有一个交点，故选 D.2直线 yx1 截抛物线 y22px 所得弦长为 2 6，此抛物线方程为()Ay22xBy26xCy22x 或 y26xD以上都不对解析：C 由yx1，y22px得 x2(22p)x10.x1x22p2，x1x21.
23、2 6112xx224x1x2 22p224.解得 p1 或 p3，抛物线方程为 y22x 或 y26x.故选 C.3过点 P(1,1)作直线与双曲线 x2y221 交于 A，B 两点，使点 P 为 AB 中点，则这样的直线()A存在一条，且方程为 2xy10B存在无数条C存在两条，方程为 2x(y1)0D不存在解析：D 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x22，y1y22，则 x2112y211，x2212y221，两式相减得(x1x2)(x1x2)12(y1y2)(y1y2)0，所以 x1x212(y1y2)，即 kAB2，故所求直线方程为 y12(x1)，即 2xy10.联
24、立y2x1，x212y21可得 2x24x30，但此方程没有实数解，故这样的直线不存在故选 D.4(2018全国卷)设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过点(2,0)且斜率为23的直线与 C 交于 M，N 两点，则FM FN()A5 B6 C7 D8解析：D 如图焦点 F(1,0)，直线的方程为 y23(x2)，将其代入 y24x 得：x25x40，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x25，x1x24，FM FN(x11，y1)(x21，y2)(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)123(x12)23(x22)139 x1x219(x1x2)259139 419525
25、9 8.5(2019浙江百校联盟联考)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的右顶点和上顶点分别为 A、B，左焦点为 F.以原点 O 为圆心的圆与直线 BF 相切，且该圆与 y 轴的正半轴交于点 C，过点 C的直线交椭圆于 M、N 两点若四边形 FAMN 是平行四边形，则该椭圆的离心率为()A.35B.12C.23D.34解析：A 因为圆 O 与直线 BF 相切，所以圆 O 的半径为bca，即|OC|bca，因为四边形FAMN 是平行四边形，所以点 M 的坐标为ac2，bca，代入椭圆方程得ac24a2c2b2a2b21，所以 5e22e30，又 0eb0)的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线
26、y22x21 的焦点重合，过点 P(4,0)且不垂直于 x 轴的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点(1)求椭圆 C 的方程；(2)求OA OB 的取值范围解：(1)由题意知 eca12，所以 e2c2a2a2b2a214，所以 a243b2.因为双曲线y22x21 的焦点坐标为(0，3)，所以 b 3，所以 a24，所以椭圆 C 的方程为x24y231.(2)当直线 l 的倾斜角为 0时，不妨令 A(2,0)，B(2,0)，则OA OB 4，当直线 l 的倾斜角不为 0时，设其方程为 xmy4，由xmy4，3x24y212(3m24)y224my360，由 0(24m)24(3m24)
27、360m24，设 A(my14，y1)，B(my24，y2)因为 y1y2 24m3m24，y1y2363m24，所以OA OB(my14)(my24)y1y2m2y1y24m(y1y2)16y1y2 1163m244，因为 m24，所以OA OB 4，134.综上所述，OA OB 的取值范围为4，134.10(2019贵阳市一模)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 22，F1，F2 分别是椭圆 C 的左、右焦点，椭圆 C 的焦点 F1 到双曲线x22y21 渐近线的距离为 33.(1)求椭圆 C 的方程；(2)直线 AB：ykxm(k0)与椭圆 C 交于不同的 A，B 两点
28、，以线段 AB 为直径的圆经过点 F2，且原点 O 到直线 AB 的距离为2 55，求直线 AB 的方程解：(1)椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 22，ca 22，双曲线x22y21 的一条渐近线方程为 x 2y0，椭圆 C 的左焦点 F1(c,0)，椭圆 C 的焦点 F1 到双曲线x22y21 渐近线的距离为 33.d|c|12 33 c3得 c1，则 a 2，b1，则椭圆 C 的方程为x22y21；(2)设 A，B 两点的坐标分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由原点 O 到直线 AB 的距离为2 55，得|m|1k22 55，即 m245(1k2)，将 ykxm(k0)代入x22y21；得(12k2)x24kmx2m220，则判别式 16k2m24(12k2)(2m22)8(2k2m21)0，x1x2 4km12k2，x1x22m2212k2，以线段 AB 为直径的圆经过点 F2，AF2 BF2 0，即(x11)(x21)y1y20.即(x11)(x21)(kx1m)(kx2m)0，即(1k2)x1x2(km1)(x1x2)m210，(1k2)2m2212k2(km1)4km12k2 m210，化简得 3m24km10 由得 11m410m210，得 m21，k0，m1k12，满足判别式 8(2k2m21)0，AB 的方程为 y12x1.