1、浙江省绍兴市上虞区2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）参考公式：台体的体积公式，其中分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高.柱体的体积公式，其中分别表示柱体的底面积，表示锥体的高.锥体的体积公式，其中分别表示锥体的底面积，表示锥体的高.球的表面积公式， 球的体积公式，其中表示球的半径. 第卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合，记集合，则A B C D2若，则“”是复数“”为纯虚数的A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件3.已知直线、与平面
2、下列命题正确的是 A且 B且C且 D且4. 若变量x，y满足约束条件，则xy的最大值为A0 B1 C2 D3 5要得到函数图象，只需把函数的图象A.向左平移个单位. B.向左平移个单位C.向右平移个单位. D.向右平移个单位6已知为上的函数，其中函数为奇函数，函数为偶函数，则A. 函数为偶函数B. 函数为奇函数C. 函数为偶函数D. 函数为奇函数7函数的图像大致为 8已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一象限内的交点为，直线与轴交点为，为坐标原点，则双曲线的离心率为A B C D 9已知， ，则与的大小关系是A.B. C. D. 不确定10已知数列满足，则的值所在范围是AB
3、CD第卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11 ；若，则 .12已知椭圆，则此椭圆的焦距长为 ；设为的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若，则 .13已知直线，若，则 ；若曲线: 与直线有两个公共点，则实数的取值范围是 .14已知函数，当 时，函数为奇函数；当时，的最大值为6，则= . 15将半径为的半圆形硬纸片卷成一个圆锥的侧 面，若圆锥的体积为，则 .16.如图，在中，是边上一点，则 . 17已知正实数满足，则的最大值是 . 1,3,5三、解答题：本大题共5小题，共74分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18（本题满分1
4、4分）已知函数.（）求的最小正周期；（）当时，求的单调区间及最小值19（本题满分15分）在四棱锥中，底面是正方形，.()求证：；（）设，连接，上的点满足，求与平面所成角的正弦值.20（本题满分15分）已知数列的前项和为，且满足：，为等差中项.（）求数列的通项公式； （）记，证明：，21（本题满分15分）已知两抛物线.过原点引与这两条抛物线都相交的直线、（如图所示），交点分别是、，、，、.（）求证：；（）求的值.22(本小题满分15分）已知函数，（）若的图像在点处的切线方程为，求实数值；（）讨论函数的单调性；（）若函数有两个不同的零点，且不等式对任意的恒成立，求的取值范围.答案解析部分一、选择题
5、：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，记集合，则A B C D【答案】 A 【考点】元素与集合关系的判断，子集与交集、并集运算的转换 【解析】【解答】解：由题意得P=1,2,3,4,5,Q=2,3， 故答案为：A 【分析】根据并集与交集的定义求解即可.2. 若，则“”是复数“”为纯虚数的A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】 C 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，复数的基本概念 【解析】【解答】解：当a=2时，复数z=4i为纯虚数，故充分性成立； 当z=a2-4+(a+2
6、)i为纯虚数时，得 ， 解得a=2，故必要性成立， 故 “”是复数“”为纯虚数的充要条件. 故答案为：C 【分析】根据充分必要条件的判定，结合纯虚数的定义求解即可.3. 已知直线、与平面下列命题正确的是 A且 B且C且 D且【答案】 D 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，直线与平面平行的性质，平面与平面平行的性质，直线与平面垂直的性质，平面与平面垂直的性质 【解析】【解答】解：对于A，当 且 或m,n相交或m,n异面，故A错误； 对于B，当 且 或m/n，故B错误； 对于C，根据平面与平面垂直的性质定理得，当 ， 则n或n与相交，故C错误； 对于D，当 且
7、时，根据直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理得mn，故D正确. 故答案为：D 【分析】根据直线与平面平行，平面与平面平行的性质定理，结合直线间的关系可判断A，根据直线与平面垂直的性质定理，结合直线间的关系可判断B，根据平面与平面垂直的性质定理，结合直线与平面的关系可判断C，根据直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理可判断D.4. 若变量x，y满足约束条件，则xy的最大值为A0 B1 C2 D3 【答案】 D 【考点】简单线性规划 【解析】【解答】解：如图，根据约束条件 ， 绘出可行域， 设z=x+y，结合图象易知，当目标函数z=x+y过点（3,0）时取得最大值， 此时zmax=3+0=3
8、 故答案为：D 【分析】根据线性规划的意义，结合图象求解即可.5. 要得到函数图象，只需把函数的图象A.向左平移个单位. B.向左平移个单位C.向右平移个单位. D.向右平移个单位【答案】 A 【考点】函数的图象与图象变化，二倍角的正弦公式 【解析】【解答】解：由题意得 要得到函数 y=2sin（x+）cos（x+） 图象，只需把函数y=2sin2x的图象向左平移个单位 故答案为：A 【分析】根据二倍角的正弦公式，结合图象的平移变换求解即可.6. 已知为上的函数，其中函数为奇函数，函数为偶函数，则A. 函数为偶函数B. 函数为奇函数C. 函数为偶函数D. 函数为奇函数【答案】 A 【考点】奇函
9、数，偶函数，函数奇偶性的判断，函数奇偶性的性质 【解析】【解答】解：由题意得，f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x) 对于A，h(g(-x)=h(g(x)，则h(g(x)为偶函数，故A正确； 因为无法判断h(x)的奇偶性，故无法判断BCD 故答案为：A 【分析】根据函数的奇偶性求解即可.7函数的图像大致为【答案】 C 【考点】函数奇偶性的判断，函数奇偶性的性质，奇偶函数图象的对称性 【解析】【解答】解：函数y=f(x)=xcosx-sinx满足f(-x)=-f(x)，即函数为奇函数，图象关于原点对称故排除B ; 当x=时，y= f() = cos- sin= -0恒成立，则f(x)=2x
10、+x在(0，+)上单调递增， 又2a+a=3b+b 2a+a2b+b 即f(a)f(b) ab0 algb-blgablgb-blga= algbalgb 故答案为：C 【分析】根据利用导数研究函数的单调性，再结合对数的运算法则求解即可.10.已知数列 满足 ， ，则 的值所在范围是（ ） A. B. C. D.【答案】 B 【考点】数列的概念及简单表示法，数列的求和，数列递推式 【解析】【解答】解： a1=10 an0,a2=4 当n2时，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1 a500010000 又 综上， 故答案为：B 【分析】根据累加法求得通项公式，再
11、运用裂项求和法求解即可.二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11. _；若 ，则 _. 【答案】；4 【考点】有理数指数幂的运算性质，有理数指数幂的化简求值，指数式与对数式的互化，二倍角的正弦公式，运用诱导公式化简求值 【解析】【解答】解：1、 2、lg2=a 10a=2 100a=(10a)2=22=4 故答案为：；4 【分析】1、根据诱导公式，结合二倍角的正弦公式求解即可； 2、根据指数式与对数式的互化，结合有理数指数幂运算法则求解可.12.已知椭圆 ，则此椭圆的焦距长为_；设 为的两个焦点，过 的直线交椭圆于 两点，若 ，则 _. 【答案】 8；8
12、【考点】椭圆的定义，椭圆的简单性质 【解析】【解答】解：1、由题意得a2=25,b2=9，则c2=a2-b2=16，则c=4，则焦距2c=8; 2、由题意知(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)= |AB|+|AF2|+|BF2|=2a+2a， 又因为a=5,则 |AB|+|AF2|+|BF2|=20, 即|AB|=20-(|AF2|+|BF2|)=20-12=8. 故答案为：8；8 【分析】根据椭圆的定义与几何性质求解即可.13.已知直线 ， ，若 ，则 _；若曲线: 与直线 有两个公共点，则实数 的取值范围是_. 【答案】 1；【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系 【解
13、析】【解答】解：1、当l1/l2时，得k2=1，则k=1, 当k=-1时，l1:x-y+1=0，l2:x-y+1=0，两直线重合，不符合题意； 当k=1时，l1:x+y-1=0，l2:x+y+1=0，两直线平行， 故k=1； 2、曲线 ， 又直线l1:kx+y-1=0必过定点(0,1)，若曲线:与直线有两个公共点，如图所示，则-1-k1 解得-1k1 则实数的取值范围是(-1,1)故答案为：1；(-1,1) 【分析】1、根据直线平行的充要条件求解即可； 2、根据直线平行的充要条件，运用数形结合思想求解即可.14.已知函数 ，当 _时，函数 为奇函数；当 时， 的最大值为6，则a=_. 【答案】
14、 0；【考点】奇函数，二次函数在闭区间上的最值，分段函数的应用 【解析】【解答】解：1、函数f(x)为奇函数， f(0)=0 则|-a|=0 则a=0 2、 当 ， 即a2时，f(x)在上是增函数， f(x)在0,2上是增函数， 当 ， 即a-2时，f(x)在上是增函数， f(x)在0,2上是增函数， 综上可知，f(x)在0,2上是增函数， 则当x0,2时，f(x)的最大值是f(2)=2|2-a|+4=6， 解得a=1或a=3 故答案为：0；a=1或a=3 【分析】1、根据奇函数的性质求解即可； 2、根据分段函数的定义，结合二次函数的单调性与最值求解即可.15.将半径为 的半圆形硬纸片卷成一个
15、圆锥的侧面，若圆锥的体积为 ，则 _. 【答案】 6 【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为R, 由于半圆弧长等于圆锥底面圆的周长,则2R=r , R= 则圆锥的高为 则圆锥的体积为 ， 解得r=6. 故答案为：6 【分析】根据圆锥的侧面积，体积公式，结合圆锥的结构特征求解即可.16.如图，在 中， ， ， ， 是边 上一点， ，则 _. 【答案】【考点】平面向量数量积的运算，余弦定理的应用 【解析】【解答】解：由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=22+12-221cos120=7 又由 得 则 则 故答案为： 【分析】根据余弦定理，
16、结合向量的数量积运算求解即可.17.已知正实数 满足 ，则 的最大值是_. 【答案】【考点】基本不等式在最值问题中的应用，一元二次方程 【解析】【解答】解： a2+(b+c)a-bc=0 a是方程x2+(b+c)x-bc=0的正根 当且仅当b=c时，等号成立 故答案为： 【分析】根据一元二次方程的解法，结合基本不等式求最值即可.三、解答题：本大题共5小题，共74分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知函数 . （1）求 的最小正周期； （2）当 时，求 的单调区间及最小值 【答案】 （1） ， 函数 的周期 ；（2）令 得， .同理令 得， .又因为 ，所以，单调递减区间为 ，
17、递增区间为 .于是 .【考点】二倍角的正弦公式，余弦函数的单调性，同角三角函数间的基本关系，余弦函数的周期性，余弦函数的零点与最值 【解析】【分析】（1）根据二倍角的正弦公式，同角三角函数间的基本关系，结合余弦函数的性质求解即可； （2）根据余弦函数的性质求解即可.19.在四棱锥 中，底面 是正方形， ， . （1）求证： ； （2）设 ，连接 ， 上的点 满足 ，求 与平面 所成角的正弦值.【答案】 （1）证明： 且 ， ，于是 ； 同理 ， 所以 .（2）由()得，面 面 ，过点 作 ，垂足为 ，显然 由 ，得 .又因为 ，过点 到面 的距离为 又 ，于是 与平面 所成角的正弦值为 另解1
18、：由（）建立如图坐标系， ， , , , .则 ， ， 设面 的法向量为 ，则 ，即 ，解得： .于是 另解2：设点 到面 的距离为 ，由 得： ， ；又 ，于是 与平面 所成角的正弦值为 .【考点】直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，平面与平面垂直的性质，直线与平面所成的角，用空间向量求直线与平面的夹角 【解析】【分析】（1）根据直线与平面垂直的判定定理与性质定理求证即可； （2）原解：根据平面与平面垂直的性质定理，结合直线与平面所成角的定义，利用几何法求解即可； 另解1：根据直线与平面所成角的定义，利用向量法直接求解即可； 另解2：根据直线与平面所成角的定义，利用等体积法直接求解即
19、可；20.已知数列 的前 项和为 ，且满足： ， 为 等 差中项.（1）求数列 的通项公式； （2）记 ， ，证明： ， 【答案】 （1）解：当 时，由 ， ， 两式相减得 ， 且 ， 数列 是公比为2的等比数列，于是 .（2）由（）知： ， .当 时， 于是 当 时， ，取到“=”号，综上所述， ， 【考点】等比数列的前n项和，数列的求和，数列与不等式的综合，等差数列与等比数列的综合 【解析】【分析】（1）利用等差中项的性质，结合an与sn的关系求解即可； （2）根据等比数列的前n项和，运用裂项相消法即可求证.21.已知两抛物线 .过原点O引与这两条抛物线都相交的直线 、 、 （如图所示），
20、交点分别是 、 ， 、 ， 、 . （1）求证： ； （2）求 的值. 【答案】 （1）设直线 ，联立分别 得： ，解得 .同理设 ，得到 .于是 ， ，即 ，也即 .（2）由（）知 ，同理可知 和 . . ； .【考点】斜率的计算公式，两条直线平行的判定，直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】（1）根据直线与抛物线的位置关系，结合斜率公式，根据直线平行的充要条件求证即可； （2）根据相似三角形面积之比，结合弦长公式即可求解.22.已知函数 ， ， （1）若 的图像在点 处的切线方程为 ，求实数 值； （2）讨论函数 的单调性； （3）若函数 有两个不同的零点 ，且不
21、等式 对任意的 恒成立，求 的取值范围. 【答案】 （1）解： ， ， ，解得： .（2） 定义域为 ， ， 当 时， ，所以 在 单调递减；当 时，由 得： ，由 得： ，故 在 单调递增， 在 单调递减.（3）由（2）可知当 时， 在 单调递减， 不可能有两个零点，故 ； 当 时， 在 单调递增， 在 单调递减，且当 时， ，当 时， ，所以要使得 有两个不同的零点，只需 . ， 设 ， ， ， 在 单调递增， 单调递减.所以 ，只要 ，即 ，综上： .又 ，所以 ，设 ，因为 ，所以 在 单调递增，故 .【考点】利用导数研究函数的单调性，函数在某点取得极值的条件，利用导数研究函数的极值，利用导数求闭区间上函数的最值，函数零点的判定定理 【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）利用导数研究函数的单调性，结合分类讨论思想求解即可； （3）先根据函数f(x)单调性以及函数的极值，结合函数零点存在性定理求得； 再根据化归思想，将不等式恒成立问题等价转化为求函数g(x)的最小值问题，利用导数g(x)研究函数g(x)的单调性，从而求得g(x)的最小值 ， 求得 ， 综上即可求解.
