1、 3.2.2函数模型的应用实例（学案）一、学习目标1.能利用已知函数模型求解实际问题.2.能自建确定性函数模型解决实际问题.3.了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性二、自主学习 知识点一几类已知函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)反比例函数模型f(x)b(k，b为常数且k0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数型函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)对数型函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)幂函数型模型f(x)axnb(a，b为常数，a0)知识点二应用函数模型
2、解决问题的基本过程用函数模型解应用题的四个步骤(1)审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；(2)建模将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)求模求解数学模型，得出数学模型；(4)还原将数学结论还原为实际问题1实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系()2用来拟合散点图的函数图象一定要经过所有散点()3函数模型中，要求定义域只需使函数式有意义()4用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了()三、合作探究 类型一利用已知函数模型求解实际问题例1某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发1
3、0 min开出13 km后，以120 km/h的速度匀速行驶试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2 h内行驶的路程解因为火车匀速运动的时间为(27713)120 (h)，所以0t.因为火车匀速行驶t h所行驶的路程为120t km，所以，火车运行总路程S与匀速行驶时间t之间的关系是S13120t.2 h内火车行驶的路程S13120233(km)反思与感悟在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是已知函数模型，这时可借助待定系数法求出函数解析式，再根据解题需要研究函数性质跟踪训练1如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米则水位下降1米后，水
4、面宽_米答案2解析以拱顶为原点，过原点与水面平行的直线为x轴，建立平面直角坐标系(如图)，则水面和拱桥交点A(2，2)，设抛物线所对应的函数关系式为yax2(a0)，则2a22，a，yx2.当水面下降1米时，水面和拱桥的交点记作B(b，3)，将B点的坐标代入到yx2中，得b，因此水面宽2米类型二自建确定性函数模型解决实际问题例2某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200米2的十字形区域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，其造价为4 200元/米2，在四个相同的矩形上(图中的阴影部分)铺花岗
5、岩路面，其造价为210元/米2，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/米2.(1)设AD的长为x米，试写出总造价Q(单位：元)关于x的函数解析式；(2)问：当x取何值时，总造价最少？求出这个最小值解(1)设AMy，ADx，则x24xy200，y.故Q4 200x22104xy802y238 0004 000x2(0x10)(2)令tx2，则Q38 0004 000，且0t200.函数ut在(0,10上单调递减，在10,200)上单调递增，当t10时，umin20.故当x时，Qmin118 000(元)反思与感悟自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”求什么就是弄清
6、楚要解决什么问题，完成什么任务设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等跟踪训练2某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆旅游点规定：每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，用y表示出租所有自行
7、车的日净收入(日净收入即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费用后的所得)(1)求函数yf(x)的解析式；(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？解(1)当3x6时，y50x115，令50x1150，解得x2.3.又因为xN，所以3x6，且xN.当6x20，且xN时，y503(x6)x1153x268x115，综上可知yf(x)(2)当3x6，且xN时，因为y50x115是增函数，所以当x6时，ymax185元当6x20，且xN时，y3x268x11532，所以当x11时，ymax270元综上所述，当每辆自行车日租金定为11元时才能使日净收入最多，为27
8、0元类型三建立拟合函数模型解决实际问题例3某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列成下表.投资A种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.651.391.8521.841.40投资B种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.300.590.881.201.511.79该经营者准备第七个月投入12万元经营这两种商品，但不知A，B两种商品各投入多少万元才合算，请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)解以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点
9、图，如图所示观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图所示取(4,2)为最高点，则ya(x4)22(a0)，再把点(1,0.65)代入，得0.65a(14)22，解得a0.15，所以y0.15(x4)22.B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟，如图所示设ykxb(k0)，取点(1,0.30)和(4,1.20)代入，得解得所以y0.3x.设第七个月投入A，B两种商品的资金分别为x万元，(12x)万元，总利润为W万元，那么WyAyB0.15(x4)220.3(12x)，所以W0.15(x3)20.15
10、93.2.当x3时，W取最大值，约为4.6万元，此时B商品的投资为9万元故该经营者下个月把12万元中的3万元投资A种商品，9万元投资B种商品，可获得最大利润，约为4.6万元反思与感悟在建立和应用函数模型时，准确地把题目要求翻译成数学问题非常重要，另外实际问题要注意实际意义对定义域、取值范围的影响跟踪训练3某商场经营一批进价为每件30元的商品，在市场销售中发现此商品的销售单价x元与日销量y件之间有如下关系：销售单价x(元)30404550日销售量y(件)6030150(1)在所给坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定x与y的一个函数关系式yf(x)(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少时，才能获得最大日销售利润解实数对(x，y)对应的点如图所示，由图可知y是x的一次函数 (1)设f(x)kxb，则解得所以f(x)3x150,30x50，检验成立(2)P(x30)(3x150)3x2240x4 500,30x50，所以对称轴x4030,50答当销售单价为40元时，所获利润最大