1、第9讲幂函数课标要求考情分析通过实例，了解幂函数的概念；结合函数 yx，yx2，yx3，的图象，了解它们的变化情况从多年的高考试题来看，幂函数一般不单独命题，而常与指数函数、对数函数交汇命题，重点考查函数的单调性(比较大小).命题形式一般为选择题、填空题1.幂函数的定义一般地，形如 yx(R)的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，是常数.2.幂函数的图象图 2-9-13.幂函数 yx的图象在第一象限内，直线 x1 的右侧，图象由下至上，指数由小到大；y 轴和直线 x1 之间，图象由上至下，指数由小到大.幂函数yxyx2yx3yyx1定义域RRR_(，0)(0，)值域R0，)R0，)_奇偶性奇偶
2、奇非奇非偶奇单调性单调递增在(，0)单调递减；在(0，)单调递增单调递增单调递增在(，0)上，单调递减；在(0，)上，_定点(0，0)，(1，1)(1，1)质0，)(，0)单调递减(0，)题组一走出误区1.(多选题)下列结论中不正确的是()A.yx0 的图象是一条直线B.若幂函数 yxn 是奇函数，则 yxn 是增函数C.二次函数 yax2bxc(xR)不可能是奇函数D.当 n0 时，幂函数 yxn 是定义域上的减函数答案：ABD题组二走进教材2.(必修 1P79 第 1 题改编)已知幂函数 f(x)kx的图象过点答案：C3.(必修 1P81 第 2 题改编)幂函数 yf(x)的图象过点(4，
3、2)，则幂函数 yf(x)的图象是()ABCD.答案：C题组三真题展现f(x)0 的解集为(0，1).答案：(0，1)A.bacC.bcaB.abcD.ca0，否则0，再观察图象是上凸还是下凸，上凸时 01；最后由 x1 时，的值按逆时针方向依次增大得出结论.001p，q 都是奇数p 为奇数，q 为偶数p 为偶数，q 为奇数(2)幂函数 yx(R)的图象如下表：【考法全练】下面给出 4 个幂函数的图象(如图 2-9-3)，则图象与函数的大致对应是()图 2-9-3答案：B考点 3 比较大小 多维探究 例 2(1)(2020 年湖北武汉统测)若 0a b 1，x ab，yba，zbb，则 x，y
4、，z 的大小关系为()A.xzyB.yxzC.yzxD.zyx解析：因为 0ab1，故 f(x)bx 单调递减；yba zbb，g(x)xb 单调递增；故 xabzbb，则 x，y，z 的大小关系为：xzy；故选 A.答案：A答案：C【题后反思】本题表面是考查零点存在性定理，其实质是而底数不同(即底数为变量)，此时利用幂函数的单调性来比较大小；如果底数相同而指数不同(即指数为变量)，此时利用指数函数的单调性来比较大小；如果两个幂指数、底数全不同，此时需要引入中间变量，常用的中间变量有 0，1 或由一个幂的底数和另一个幂的指数组成的幂.注意：指数函数 a1 时单调递增，0a0 时在第一象限单调递
5、增，0 时在第一象限单调递减.【考法全练】(2015 年山东)设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c)的大小关系是(A.abcC.bacB.acbD.bca解析：因 为 函 数 y 0.6x 是 减 函 数，00.60.60.60.61.5，即 ba1.因为函数 yx0.6 在(0，)上是增函数，110.61，即 c1.综上所述，bac.故选 C.答案：C比较大小忽略定义域以及单调区间的限制错解：函数在(0，)上单调递减，m22m30，解得1m3.mN*，m1，2.又函数图象关于 y 轴对称，m22m3 是偶数.又222233 为奇数，122134 为偶数，m1.错因分
6、析：该解法中将函数值大小转化为自变量大小时忽略了定义域以及单调区间的限制.只有在同一个单调区间内才可以在函数值大小与自变量大小之间实现自由转化.正解：函数在(0，)上单调递减，m22m30，解得1m3.mN*，m1，2.又函数图象关于 y 轴对称，m22m3 是偶数.又222233 为奇数，122134 为偶数，【策略指导】解决本题的关键是根据函数的奇偶性求出 m的值后，依据幂函数的性质和图象建立关于 a 的不等式.在这里极易出现认为函数在(，0)和(0，)上单调递减，则函数必在定义域内单调递减的认知误区，从而误用性质产生错误的结果.【高分训练】答案：(3，5)1.幂函数 yx的性质是分0 和
7、0 两种情况来讨论的.2.要注意幂函数与指数函数的区别，从它们的解析式上有如下区别：幂函数底数是自变量，指数是常数；指数函数指数是自变量，底数是常数.3.比较两个幂的大小，如果同指数而不同底数，此时利用幂函数的单调性来比较大小；如果同底数而不同指数，此时利用指数函数的单调性来比较大小；如果两个幂指数、底数全不同，此时需要引入中间变量，常用的中间变量有 0，1 或由一个幂的底数和另一个幂的指数组成的幂.4.幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性，作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，只要作出幂函数在第一象限的图象，然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义域内完整的图象.
