1、阶段回扣练9平面解析几何(时间：120分钟)一、填空题1(2015北京西城区模拟)直线y2x为双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线，则双曲线C的离心率是_解析由题意知2，得b2a，ca，所以e.答案2已知圆C经过A(5,2)，B(1,4)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是_解析设圆心坐标为C(a,0)，则ACBC，即，解得a1，所以半径r2，所以圆C的方程是(x1)2y220.答案(x1)2y2203(2015南通调研)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y28x上横坐标为1的点到其焦点的距离为_解析抛物线y28x的准线方程为x2，所以该抛物线上横坐标为1的点到准线的距离为3，即到焦点的距离为3
2、.答案34(2014东北三省四市联考)以椭圆1的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的离心率为_解析由题意知双曲线的a，c2，所以e.答案5(2015济南模拟)已知直线3x4ya0与圆x24xy22y10相切，则实数a的值为_解析圆的标准方程为(x2)2(y1)24，由直线3x4ya0与圆(x2)2(y1)24相切得圆心(2,1)到直线的距离d等于半径，所以d2，解得a12或8.答案12或86(2015南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy中，若中心在坐标原点的双曲线的一条准线方程为x，且它的一个顶点与抛物线y24x的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为_解析抛物线y24x的焦点坐标是(1,0
3、)，即双曲线的一个顶点坐标是(1,0)，设双曲线方程是1(a0，b0)，则a1，又，因此c2，b，故其渐近线方程是yx.答案yx7(2015扬州中学检测)已知正方形ABCD的四个顶点在椭圆1(ab0)上，ABx轴，AD过左焦点F，则该椭圆的离心率为_解析不妨设点A在第二象限，则由题意可得A在直线yx上，所以c，即b2a2c2ac，e2e10,0e1，解得该椭圆离心率e.答案8(2015宿迁检测)已知双曲线S与椭圆1的焦点相同，如果yx是双曲线S的一条渐近线，那么双曲线S的方程为_解析由题意可得双曲线S的焦点坐标是(0，5)又yx是双曲线S的一条渐近线，所以c5，a2b2c2，解得a3，b4，所
4、以双曲线S的标准方程为1.答案19(2015南京外国语学校、金陵中学联考)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x)2(ya)21(a0)上存在一点P到直线l：y2x6的距离等于1，则实数a的值为_解析由题意可得圆心C到直线l：y2x6的距离小于等于，即，a265，即(1)20，解得a1，经检验，a1符合题意答案110(2014西安模拟)已知双曲线x21的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为_解析设点P(x，y)，其中x1.依题意得A1(1,0)，F2(2,0)，则有x21，y23(x21)，(1x，y)(2x，y)(x1)(x2)y2x23(x21)x24x2x54
5、2，其中x1.因此，当x1时，取得最小值2.答案211(2015宿迁模拟)已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P.若PF1F230，则该双曲线的离心率为_解析由题意可得PF1F2是以点P为直角顶点的直角三角形又PF1F230，F1F22c，所以PF1c，PF2c，由双曲线定义可得e1.答案112(2015扬州调研)在平面直角坐标系xOy中，设A是半圆O：x2y22(x0)上一点，直线OA的倾斜角为45，过A作x轴的垂线，垂足为H，过H作OA的平行线交半圆于点B，则直线AB的方程为_解析由可得A(1,1)所以H(1,0)，过H且平
6、行于OA的直线方程为yx1，与x2y22，x0联立解得B，所以AB的斜率是，所以直线AB的方程为y1(x1)，即xy10.答案xy1013(2014山东卷)已知双曲线1(a0，b0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x22py(p0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且FAc，则双曲线的渐近线方程为_解析c2a2b2.由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c知，双曲线过点，即1.由FAc，得c2a2，由得p24b2.将代入，得2.2，即1，故双曲线的渐近线方程为yx，即xy0.答案xy014(2015苏北四市调研)在平面直角坐标系xOy中，若动点P(a，b)到两直线l1：yx和l
7、2：yx2的距离之和为2，则a2b2的最大值为_解析由题意可得2，即|ab|ab2|4，等价于或或或所以点P(a，b)对应的图形是图中正方形ABCD的边界，而a2b2的几何意义是点P到坐标原点的距离的平方，所以点P(a，b)为点A(3,3)时，a2b2取得最大值18.答案18二、解答题15(2014安徽卷改编)设F1，F2分别是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，AF13F1B.(1)若AB4，ABF2的周长为16，求AF2；(2)若cosAF2B，求椭圆E的离心率解(1)由AF13F1B，AB4，得AF13，F1B1.因为ABF2的周长为16，所以由椭圆定义
8、可得4a16，AF1AF22a8.故AF22aAF1835.(2)设F1Bk，则k0且AF13k，AB4k.由椭圆定义可得，AF22a3k，BF22ak.在ABF2中，由余弦定理可得，AB2AFBF2AF2BF2cosAF2B，即(4k)2(2a3k)2(2ak)2(2a3k)(2ak)化简可得(ak)(a3k)0，而ak0，故a3k.于是有AF23kAF1，BF25k.因此BFF2A2AB2，可得F1AF2A，AF1F2为等腰直角三角形从而ca，所以椭圆E的离心率e.16(2014南通调研)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2y2r2和直线l：xa(其中r和a均为常数，且0ra)，M为l
9、上一动点，A1，A2为圆C与x轴的两个交点，直线MA1，MA2与圆C的另一个交点分别为P，Q.(1)若r2，M点的坐标为(4,2)，求直线PQ的方程；(2)求证：直线PQ过定点，并求定点的坐标(1)解当r2，M(4,2)，则A1(2,0)，A2(2,0)直线MA1的方程为x3y20，由解得P.直线MA2的方程为xy20，由解得Q(0，2)由两点式，得直线PQ方程为2xy20.(2)证明法一由题设得A1(r,0)，A2(r,0)设M(a，t)，直线MA1的方程是y(xr)，直线MA2的方程是y(xr)由解得P.由解得Q.于是直线PQ的斜率kPQ，直线PQ的方程为y.上式中令y0，得x是一个与t无
10、关的常数，故直线PQ过定点.法二由题设得A1(r,0)，A2(r,0)设M(a，t)，直线MA1的方程是y(xr)，与圆C的交点P设为P(x1，y1)直线MA2的方程是y(xr)，与圆C的交点Q设为Q(x2，y2)则点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在曲线(ar)yt(xr)(ar)yt(xr)0上，化简得(a2r2)y22ty(axr2)t2(x2r2)0.又有P(x1，y1)，Q(x2，y2)在圆C上，圆C：x2y2r20.(t2)得(a2r2)y22ty(axr2)t2(x2r2)t2(x2y2r2)0，化简得(a2r2)y2t(axr2)t2y0，所以直线PQ的方程为(a2r2)y2
11、t(axr2)t2y0.在中令y0得x，故直线PQ过定点.17(2015镇江模拟)已知点A(1,0)，F(1,0)，动点P满足2|.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)在直线l：y2x2上取一点Q，过点Q作轨迹C的两条切线，切点分别为M，N，问：是否存在点Q，使得直线MNl？，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解(1)设P(x，y)，则(x1，y)，(x1，y)，(2,0)，由2|，得2(x1)2，化简得y24x.故动点P的轨迹C的方程为y24x.(2)直线l的方程为y2(x1)，设Q(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)过点M的切线方程设为xx1m(yy1)，代入y24
12、x，得y24my4my1y0，由16m216my14y0，得m，所以过点M的切线方程为y1y2(xx1)，同理过点N的切线方程为y2y2(xx2)所以直线MN的方程为y0y2(xx0)，又MNl，所以2，得y01，而y02(x01)，故点Q的坐标为.18. (2014浙江卷)已知ABP的三个顶点都在抛物线C：x24y上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，3.(1)若|3，求点M的坐标；(2)求ABP面积的最大值解(1)由题意知焦点F(0,1)，准线方程为y1.设P(x0，y0)，由抛物线定义知PFy01，得到y02，所以P(2，2)或P(2，2)由3，分别得M或M.(2)设直线AB的方程为
13、ykxm，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)由得x24kx4m0.于是16k216m0，x1x24k，x1x24m，所以AB中点M的坐标为(2k,2k2m)由3，得(x0,1y0)3(2k,2k2m1)，所以由x4y0，得k2m.由0，k20，得m.又因为AB4，点F(0,1)到直线AB的距离为d.所以SABP4SABF8|m1| .记f(m)3m35m2m1.令f(m)9m210m10，解得m1，m21.可得f(m)在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数又ff.所以，当m时，f(m)取到最大值，此时k.所以，ABP面积的最大值为.19(2015南京、盐城模拟)如图，在平
14、面直角坐标系xOy中，已知过点的椭圆C：1(ab0)的右焦点为F(1,0)，过焦点F且与x轴不重合的直线与椭圆C交于A，B两点，点B关于坐标原点的对称点为P，直线PA，PB分别交椭圆C的右准线l于M，N两点(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点B的坐标为，试求直线PA的方程；(3)记M，N两点的纵坐标分别为yM，yN，试问yMyN是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由解(1)由题意，得2a4，即a2.又c1，所以b23，所以椭圆C的标准方程为1.(2)因为B，所以P.又F(1,0)，所以kAB，所以直线AB的方程为y(x1)联立方程组解得A(0，)所以直线PA的方程为yx，即x4y4
15、0.(3)当直线AB的斜率k不存在时，易得yMyN9.当直线AB的斜率k存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P(x2，y2)，所以1，1，两式相减，得，所以kPAk，所以kPA.所以直线PA的方程为yy2(xx2)，所以yM(x24)y2y2.因为直线PB的方程为yx，所以yN.所以yMyN3.又因为1，所以4y123x，所以yMyN39，所以yMyN为定值9.20(2015江苏启东中学模拟)给定椭圆C：1(ab0)，称圆心在坐标原点O，半径为的圆是椭圆C的“伴椭圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是F1(，0)，F2(，0)(1)若椭圆C上一动点M1满足|4，求椭圆C及其“伴随圆”的方
16、程；(2)在(1)的条件下，过点P(0，t)(t0)作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为2，求P点的坐标；(3)已知mn，mn(mn，(0，)，是否存在a，b，使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点(m，m2)，(n，n2)的直线的最短距离dminb？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由解(1)由题意c，a2，则b，所以椭圆C的方程为1，其“伴随圆”的方程为x2y26.(2)设直线l的方程为ykxt，由得(2k21)x24tkx2t240，则有(4tk)28(2k21)(t22)0得t24k22.由直线l截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为2，可得，得t23(k21)，由得t26，又t0，故t，所以P点坐标为(0，)(3)过(m，m2)，(n，n2)的直线的方程为y(mn)xmn，即yx，得xcos ysin 30.由于圆心O(0,0)到直线xcos ysin 30的距离为d3，当a2b29时，dmin0，但b0，所以，等式不能成立；当a2b29时，dmin3，由3b得3b2，所以96bb24a24b2.因为a2b22.所以7b26b10，得(7b1)(b1)0，所以b1，a.
