1、【新教材】4.3.2 对数的运算（人教A版）学生已经学习了指数运算性质，有了这些知识作储备，教科书通过利用指数运算性质，推导对数的运算性质，再学习利用对数的运算性质化简求值。课程目标1、通过具体实例引入，推导对数的运算性质；2、熟练掌握对数的运算性质，学会化简，计算.数学学科素养1.数学抽象：对数的运算性质；2.逻辑推理：换底公式的推导；3.数学运算：对数运算性质的应用；4.数学建模：在熟悉的实际情景中，模仿学过的数学建模过程解决问题.重点：对数的运算性质，换底公式，对数恒等式及其应用；难点：正确使用对数的运算性质和换底公式教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体
2、。一、 情景导入回顾指数性质：(1)arasars(a0，r，sQ)(2)(ar)s(a0，r，sQ)(3)(ab)r(a0，b0，rQ)那么对数有哪些性质？如要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、 预习课本，引入新课阅读课本124-125页，思考并完成以下问题1.对数具有哪三条运算性质？2. 换底公式是如何表述的？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、 新知探究1对数的运算性质若a0，且a1，M0，N0，那么：(1)loga(MN)logaMlogaN，(2)logalogaMlogaN，(3)logaMnnlogaM(nR)
3、点睛对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时， 等式才成立例如，log2(3)(5)log2(3)log2(5)是错误的2换底公式若c0且c1，则logab(a0，且a1，b0)四、典例分析、举一反三题型一 对数运算性质的应用例1 计算下列各式的值:(1)log2796+log224-12log284;(2)lg 52+23lg 8+lg 5lg 20+(lg 2)2.【答案】(1)-12 (2)3【解析】(1)(方法一)原式=log27249684=log212=-12.(方法二)原式=12log2796+log2(233)-12log2(2237)=12log27-1
4、2log2(253)+3+log23-1-12log23-12log27=-125-12log23+2+12log23=-52+2=-12.(2)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5(1+lg 2)+(lg 2)2=2(lg 5+lg 2)+lg 5+lg 2(lg 5+lg 2)=2+lg 5+lg 2=2+1=3.解题技巧：（对数运算性质的应用）1.对于底数相同的对数式的化简、求值,常用的方法是:(1)“收”,将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数;(2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差).2.对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式,要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯.l
5、g 2+lg 5=1在计算对数值时会经常用到,同时注意各部分变形要化到最简形式.跟踪训练一1.计算下列各式的值(1)log327+lg 25+lg 4+7log712+(-9.8)0.(2)2log32-log3329+log38-52log53.【答案】(1) 5 (2) -7 【解析】(1)log327+lg 25+lg 4+7log712+(-9.8)0=log3332+lg 52+lg 22+12+1=32+2lg 5+2lg 2+32=3+2(lg 5+lg 2)题型二 换底公式的应用例2 计算下列各式的值:(1);(2)lg2lg3.【答案】(1) (2) 【解析】(1)原式=lg
6、9lg8lg32lg27=2lg33lg25lg23lg3=109.(2)原式=lg3lg4+lg3lg8lg2lg3=lg32lg2+lg33lg2lg2lg3=lg32lg2lg2lg3+lg33lg2lg2lg3=12+13=56.解题技巧：（换底公式的应用）1.换底公式的本质是化异底为同底,主要用途是将一般对数化为常用对数或自然对数,解决一般对数的求值问题.2.利用换底公式计算、化简、求值的一般思路:跟踪训练二1.化简:(1)log23log36log68;(2)(log23+log43)(log32+log274).【答案】(1) 3 (2) 【解析】(1)原式=log23log26
7、log23log28log26=log28=3.(2)原式=log23+12log23log32+23log32=32log2353log32=52log23log32=52log231log23=52.题型三 对数的综合应用例3 (1)若3x=4y=36,求2x+1y的值;(2)已知3x=4y=6z,求证:1x+12y=1z.【答案】(1) 1 (2) 【解析】(1)3x=4y=36,x=log336,y=log436, 2x=2log336=2log3636log363=2log363=log369,1y=1log436=1log3636log364=log364.2x+1y=log369
8、+log364=log3636=1.(2)设3x=4y=6z=m,则x=log3m,y=log4m,z=log6m. 所以1x=1log3m=logm3,1y=1log4m=logm4,1z=1log6m=logm6.故1x+12y=logm3+12logm4=logm3+logm412=logm3+logm2=logm(32)=logm6=1z.解题技巧：（对数的综合应用）对数概念的实质是给出了指数式与对数式之间的关系,因此如果遇到条件中涉及指数幂的连等式时,常引入辅助变量,利用指数与对数间相互转化的关系,简化求解过程.跟踪训练三1.已知3a=7b=M,且2a+1b=2,求M的值?【答案】37【解析】因为3a=7b=M,所以a=log3M,b=log7M, 所以2a+1b=2log3M+1log7M=2logM3+logM7=logM9+logM7=logM63=2,所以M2=63,因为M0,所以M=63=37.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计4.3.2 对数的运算1. 对数运算性质 例1 例2 例3 2. 换底公式 七、作业课本126页习题4.3本节通过运用对数性质公式解决相关问题，侧重用实操，培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养.