1、温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时素养评价 十五向量数量积的运算律(25分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.已知|a|=2,b是单位向量,且a与b夹角为60,则a(a-b)等于()A.1B.2-C.3D.4-【解析】选C.a(a-b)=a2-ab=4-21cos 60=3.2.(2019宣城高一检测)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,ab=1,则向量a与a-b的夹角为()A.B.C.D.【解析】选A.|a-b|=,cos=,又0,所以=.【加练固】 若非零向量a,b满足|a|=|b
2、|,(2a+b)b=0,则a与b的夹角为()A.30B.60C.120D.150【解析】选C.由(2a+b)b=0,得2ab+b2=0,所以2|a|b|cos+|b|2=0.所以cos=-=-=-,所以=120.3.若向量a,b满足:|a|=1,(a+b)a,(2a+b)b,则|b|=()A.2B.C.1D.【解析】选B.由题意,得(a+b)a=0,(2a+b)b=0,所以|a|2+ab=0,2ab+|b|2=0,又|a|=1,所以|b|=.4.已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,i,j为相互垂直的单位向量,那么ab= ()A.-15B.-30C.-48D.-63【解析】选D.将两
3、已知等式相加得,2a=-6i+8j,所以a=-3i+4j.同理将两已知等式相减得,b=5i-12j,而i,j是两个互相垂直的单位向量,所以ab=(-3i+4j)(5i-12j)=-35+4(-12)=-63.二、填空题(每小题4分,共8分)5.如图,平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,则对角线AC的长为_.【解析】设=a,=b,则=a-b,=a+b,而|=|a-b|=2,所以5-2ab=4,所以ab=,又|2=|a+b|2=a2+2ab+b2=1+4+2ab=6,所以|=,即AC=.答案:6.如图所示,在等腰直角三角形AOB中,OA=OB=1,=4,则(-)=_.【解
4、析】因为=+,而=4,所以=,所以=+=+(-)=+,所以(-)=(+)(-)=-+=12-12=-.答案:-【加练固】 如图,在ABC中,ADAB,=,|=1,则等于_.【解析】由题干图可得=(+)=+.因为ADAB,所以=0.又因为=,所以=(+)=0+|2=,所以=0+=.答案:三、解答题(共26分)7.(12分)已知向量|a|=1,|b|=2.(1)若a与b的夹角为,求|a+2b|.(2)若(2a-b)(3a+b)=3,求a与b的夹角.【解析】(1)|a+2b|2=a2+4ab+4b2=1+412cos+44=1+4+16=21,所以|a+2b|=.(2)因为(2a-b)(3a+b)=
5、3,所以6a2-3ab+2ab-b2=3,所以6a2-ab-b2=3,所以6-12cos-4=3,所以cos=-.因为0,所以=.【加练固】 已知非零向量a,b满足|a|=1,(a-b)(a+b)=,且ab=.(1)求向量a,b的夹角.(2)求|a-b|.【解析】(1)因为(a-b)(a+b)=,所以a2-b2=,即|a|2-|b|2=. 又|a|=1,所以|b|=.因为ab=,所以|a|b|cos =,所以cos =,所以向量a,b的夹角为45.(2)因为|a-b|2=(a-b)2=|a|2-2|a|b|cos +|b|2=,所以|a-b|=.8.(14分)已知a,b满足|a|=4,|b|=
6、3,(2a-3b)(2a+b)=61.(1)求a与b的夹角.(2)求向量a+b在向量b方向上的投影.【解析】(1)因为(2a-3b)(2a+b)=61,所以4a2-4ab-3b2=61,所以416-443cos-39=61,所以cos=-.因为0,所以=.(2)a+b在向量b方向上的投影为=|a|cos+|b|=4+3=1.(15分钟30分)1.(4分)设O为ABC的外心,ODBC于D,且|=,|=1,则(-)的值是()A.1B.2C.D.【解析】选A.由O是ABC的外心及ODBC可知D为边BC的中点,易知=(+),所以(-)=(+)(-)=(|2-|2)=1.2.(4分)已知向量a,b的夹角
7、为120,|a|=|b|=1,c与a+b同向,则|a-c|的最小值为()A.1B.C.D.【解析】选D.因为|a|=|b|=1,c与a+b同向,所以a与c的夹角为60.又|a-c|=,故当|c|=时,|a-c|的最小值为.3.(4分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,|2a+b|=2,则向量b在向量a方向上的投影是_.【解析】因为|2a+b|=2,所以(2a+b)2=4,所以4a2+b2+4ab=4,所以412+4+4ab=4,所以ab=-1,所以b在a上的投影是=-1.答案:-14.(4分)(2019石家庄高一检测) 已知圆O是ABC的外接圆,M是BC的中点,AB=4,AC=2,则=
8、_.【解析】因为M是BC的中点,所以=,又O是ABC的外接圆圆心,所以=|cosBAO=|2=8,同理,=|2=2,所以=+=4+1=5.答案:55.(14分)设两个向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夹角为60,若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.【解析】当夹角为时,也有(2te1+7e2)(e1+te2)0,但此时夹角不是钝角.设2te1+7e2=(e1+te2),0,则所以由向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,得cos =0,所以(2te1+7e2)(e1+te2)0,化简得2t2+15t+70.解得-7t0,又|a|2=4,|b|2=9,ab=3,所以32+13+30,解得或.但是当=1时,向量a+b与a+b共线,其夹角不是锐角,故的取值范围是(1,+).关闭Word文档返回原板块