1、第8讲函数与方程一、知识梳理1函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数yf(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点(2)三个等价关系：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点2函数零点的判定如果函数yf(x)在区间a，b上的图像是连续的一条曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)0，则在区间(a，b)内，函数yf(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)0在区间(a，b)内至少有一个实数解3二次函数yax2bxc(a0)的图象与零点的关系000二次函数yax2bxc(a0) 的图像与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)
2、无交点零点个数两个一个零个常用结论有关函数零点的三个结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(3)连续不断的函数图像通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号二、教材衍化1已知函数yf(x)的图象是连续曲线，且有如下的对应值表：x123456y124.4357414.556.7123.6则函数yf(x)在区间1，6上的零点至少有()A2个B3个C4个 D5个解析：选B.由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)内均有零点，所以yf(x)在1，6上至少
3、有3个零点故选B.2函数f(x)ln x的零点所在的大致范围是()A(1，2) B(2，3)C.和(3，4) D(4，)解析：选B.易知f(x)为增函数，由f(2)ln 210，f(3)ln 30，得f(2)f(3)0.故选B.3函数f(x)ex3x的零点个数是_解析：由已知得f(x)ex30，所以f(x)在R上单调递增，又f(1)30，因此函数f(x)有且只有一个零点答案：1一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点()(2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图像连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)只要函数有零点，我们就可以
4、用二分法求出零点的近似值()(4)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点()(5)若函数f(x)在(a，b)上连续单调且f(a)f(b)0时，f(x)0，当x0时，f(x)0即可，即1m0且8m0，解得8m1.答案：(8，14若二次函数f(x)x2kxk在R上无零点，则实数k的取值范围是_解析：由题意得k24k0，解得0k4.答案：(0，4)函数零点所在区间的判断(自主练透)1设f(x)ln xx2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A(0，1)B(1，2)C(2，3) D(3，4)解析：选B.因为f(1)ln 11210，f(2)ln 20，所以f(1)f(2)0，因为函数
5、f(x)ln xx2的图象是连续的，且为增函数，所以f(x)的零点所在的区间是(1，2)2若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内 B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内 D(，a)和(c，)内解析：选A.因为abc，所以f(a)(ab)(ac)0，f(b)(bc)(ba)0，f(c)(ca)(cb)0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.3设函数y1x3与
6、y2的图象的交点为(x0，y0)，若x0(n，n1)，nN，则x0所在的区间是_解析：令f(x)x3，则f(x0)0，易知f(x)为增函数，有f(1)0，所以x0所在的区间是(1，2)答案：(1，2)确定函数零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f(x)0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上(2)图象法：把方程转化为两个函数，看它的交点所在区间(3)利用函数零点的存在性定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点(4)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点
7、来判断 函数零点的个数(师生共研) (1)函数f(x)的零点个数是_(2)函数f(x)4cos2cos2sin x|ln(x1)|的零点个数为_【解析】(1)当x0时，令x220，解得x(正根舍去)，所以在(，0上有一个零点；当x0时，f(x)20恒成立，所以f(x)在(0，)上是增函数又因为f(2)2ln 20，所以f(x)在(0，)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.(2)f(x)2(1cos x)sin x2sin x|ln(x1)|sin 2x|ln(x1)|，x1，函数f(x)的零点个数即为函数y1sin 2x(x1)与 y2|ln(x1)|(x1)的图象的交点个数分别作
8、出两个函数的图象，如图，可知有两个交点，则f(x)有两个零点【答案】(1)2(2)2判断函数零点个数的方法(1)解方程法：所对应方程f(x)0有几个不同的实数解就有几个零点(2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数 1设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)exx3，则f(x)的零点个数为()A1 B2C3 D4解析：选C.因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)0，所以0是函数f(x)的一个零点当x0时，令f(x)exx3
9、0.则exx3.分别画出函数yex和yx3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f(x)在(0，)上有一个零点又根据对称性知，当x0时函数f(x)也有一个零点综上所述，f(x)的零点个数为3.2函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为_解析：由f(x)0，得|log0.5x|，作出函数y1|log0.5x|和y2的图象，由右图知两函数图象有2个交点，故函数f(x)有2个零点答案：2函数零点的应用(多维探究)角度一根据函数零点个数求参数 (2020安徽合肥二模)设函数f(x)若函数g(x)f(x)b有三个零点，则实数b的取值范围是()A(1，) BC(1，)0 D(0，1【解析】令g(x
10、)f(x)b0，函数g(x)f(x)b有三个零点等价于f(x)b有三个根，当x0时，f(x)ex(x1)，则f(x)ex(x1)exex(x2 )，由f(x)0得ex(x2)0，即x0得ex(x2)0，即2x0，此时f(x)为增函数，即当x2时，f(x)取得极小值f(2)，作出f(x)的图象如图，要使f(x)b有三个根，则0b1，故选D.【答案】D角度二根据函数有无零点求参数 (1)函数f(x)x2ax1在区间上有零点，则实数a的取值范围是()A(2，) B2，)C. D(2)已知函数f(x)则使函数g(x)f(x)xm有零点的实数m的取值范围是()A0，1) B(，1)C(，1(2，) D(
11、，0(1，)【解析】(1)由题意知方程axx21在上有解，即ax在上有解，设tx，x，则t的取值范围是.所以实数a的取值范围是.(2)函数g(x)f(x)xm的零点就是方程f(x)xm的根，画出h(x)f(x)x的大致图象(图略)观察它与直线ym的交点，得知当m0或m1时，有交点，即函数g(x)f(x)xm有零点【答案】(1)D(2)D角度三根据函数零点的范围求参数 若函数f(x)(m2)x2mx(2m1)的两个零点分别在区间(1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围是_【解析】依题意，结合函数f(x)的图象分析可知m需满足即解得m.【答案】根据函数零点的情况求参数的方法(1)直接法：直接根
12、据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解 1方程log(a2x)2x有解，则a的最小值为_解析：若方程log(a2x)2x有解，则a2x有解，即2xa有解，因为2x1，故a的最小值为1.答案：12已知函数f(x)，g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是_解析：函数g(x)f(x)xa存在2个零点，即关于x的方程f(x)xa有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线yxa有2个交点，作出直线yxa与函数f(
13、x)的图象，如图所示，由图可知，a1，解得a1.答案：a1 基础题组练1(2020河南商丘九校联考)函数f(x)(x21)的零点个数是()A1B2C3 D4解析：选B.要使函数有意义，则x240，解得x2或x2.由f(x)0得x240或x210(不成立舍去)，即x2或x2.所以函数的零点个数为2.故选B.2函数yx4的零点所在的区间是()A(0，1) B(1，2)C(2，3) D(3，4)解析：选B.因为yf(x)x4x是R上连续递增的函数，且f(1)120，所以f(1)f(2)0，故函数yx4的零点所在的区间为(1，2)故选B.3(2020福建晋江四校联考)设函数ylog3x与y3x的图象的
14、交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是()A(0，1) B(1，2)C(2，3) D(3，4)解析：选C.令m(x)log3xx3，则函数m(x)log3xx3的零点所在的区间即为函数ylog3x与y3x的图象的交点的横坐标所在的区间因为m(x)log3xx3递增且连续，且满足m(2)m(3)0，所以m(x)log3xx3的零点在(2，3)内，从而可知方程log3xx30的解所在的区间是(2，3)，即函数ylog3x与y3x的图象交点的横坐标x0所在的区间是(2，3)故选C.4(2020河南焦作统考)已知函数f(x)则函数f(x)在(6，)上的零点个数为()A1 B2C3 D4解析：选C.由
15、题知函数f(x)在(6，)上有零点，则或解得x2或x4或xe6，即函数f(x)在(6，)上的零点个数为3.故选C.5(2020河北张家口模拟)已知函数f(x)|ln x|，g(x)f(x)mx恰有三个零点，则实数m的取值范围是()A. BC(0，1) D解析：选A.g(x)有三个零点，即yf(x)与ymx的图象有三个交点，作出yf(x)和ymx的图象如图当ymx与yf(x)相切时，设切点坐标为(x0，ln x0)，则解得m.则当0m时，直线ymx与曲线yf(x)有三个交点，即函数g(x)有三个零点故选A.6已知函数f(x)log2(x1)3xm的零点在(0，1上，则实数m的取值范围为_解析：由
16、题意知函数f(x)log2(x1)3xm在定义域上递增，又由函数f(x)在(0，1上存在零点，得即解得4m0，即实数m的取值范围为4，0)答案：4，0)7已知函数f(x)cos x，则f(x)在0，2上的零点个数为_解析：如图，作出g(x)与h(x)cos x的图象，可知其在0，2上的交点个数为3，所以函数f(x)在0，2上的零点个数为3.答案：38函数f(x)2cos x(4x6)的所有零点之和为_解析：可转化为两个函数y与y2cos x在4，6上的交点的横坐标的和，因为两个函数均关于x1对称，所以两个函数在x1两侧的交点对称，则每对对称点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象易知两个函数
17、在x1两侧分别有5个交点，所以5210.答案：109关于x的二次方程x2(m1)x10在区间0，2上有解，求实数m的取值范围解：显然x0不是方程x2(m1)x10的解，00)(1)作出函数f(x)的图象；(2)当0ab，且f(a)f(b)时，求的值；(3)若方程f(x)m有两个不相等的正根，求m的取值范围解：(1)如图所示(2)因为f(x)故f(x)在(0，1上是减函数，而在(1，)上是增函数，由0ab且f(a)f(b)，得0a1b，且11，所以2.(3)由函数f(x)的图象可知，当0m1时，方程f(x)m有两个不相等的正根综合题组练1已知x表示不超过实数x的最大整数，g(x)x为取整函数，x
18、0是函数f(x)ln x的零点，则g(x0)等于()A1 B2C3 D4解析：选B.f(2)ln 210，故x0(2，3)，所以g(x0)x02.故选B.2(2020湖南娄底二模)若x1是方程xex1的解，x2是方程xln x1的解，则x1x2等于()A1 B1Ce D解析：选A.考虑到x1，x2是函数yex、函数yln x与函数y的图象的交点A，B的横坐标，而A，B两点关于yx对称，因此x1x21.故选A.3(2020湘赣十四校联考)已知函数f(x)，有且只有1个零点，则实数a的取值范围是_解析：当a0时，函数yax3(x0)必有一个零点，又因为0，解得a1；当a0时，f(x)恰有一个零点；
19、当a0，则f(x)ax30，若x0，则f(x)ax22xa，此时，f(x)恒小于0，所以当a1.答案：a0或a14已知函数f(x)若函数yf(x)a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为_解析：在同一平面直角坐标系内画出函数yf(x)和ya|x|的图象可知，若满足条件，则a0.当a2时，在y轴右侧，两函数图象只有一个公共点，此时在y轴左侧，射线yax(x0)与抛物线yx25x4(4x1)需相切由消去y，得x2(5a)x40.由(5a)2160，解得a1或a9.a1与a2矛盾，a9时，切点的横坐标为2，不符合题意当0a2，此时，在y轴右侧，两函数图象有两个公共点，若满足条件，则a1，即a1.故
20、1a2.答案：(1，2)5已知函数f(x)x22x，g(x)(1)求g(f(1)的值；(2)若方程g(f(x)a0有4个实数根，求实数a的取值范围解：(1)利用解析式直接求解得g(f(1)g(3)312.(2)令f(x)t，则原方程化为g(t)a，易知方程f(x)t在(，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数yg(t)(t1)与ya的图象有2个不同的交点，作出函数yg(t)(t1)的图象如图，由图象可知，当1a时，函数yg(t)(t1)与ya有2个不同的交点，即所求a的取值范围是.6设函数f(x)，xR且x1.(1)求fffff(4)f(6)f(8)f(10)的值；(2)就m的取值情
21、况，讨论关于x的方程f(x)xm在x2，3上解的个数解：(1)根据题意，函数f(x)，则f，则f(x)f0，则fffff(4)f(6)f(8)f(10)ff(10)ff(8)ff(6)ff(4)0.(2)根据题意，设g(x)f(x)xx(x1)2，令tx1，又由x2，3，则t1，2，则设h(t)t2，有h(t)1，分析可得，在区间1，)上，h(t)递减，在区间，2上，h(t)递增；则h(t)在1，2有最小值h()22，且h(1)h(2)5，则函数h(t)在区间1，2上有最大值5，最小值22，方程f(x)xm的解的个数即为函数g(x)与直线ym的交点个数，分析可得，当m22时，函数g(x)与直线ym没有交点，方程f(x)xm无解；当m22时，函数g(x)与直线ym有1个交点，方程f(x)xm有1个解；当22m5时，函数g(x)与直线ym有2个交点，方程f(x)xm有2个解；当m5时，函数g(x)与直线ym没有交点，方程f(x)xm无解；综上可得，当m22或m5时，方程f(x)xm无解；当m22时，方程f(x)xm有1个解；当22m5时方程f(x)xm有2个解