1、1.4生活中的优化问题举例学 习 目 标核 心 素 养1.体会导数在解决实际问题中的作用.2.能利用导数解决简单的实际问题(重点、难点)1.通过利用导数解决生活中的优化问题的学习，培养学生数学建模的核心素养.2.借助实际问题的求解，提升学生逻辑推理及数学运算的核心素养.1优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题2用导数解决优化问题的基本思路思考：解决生活中优化问题应注意什么？提示(1)在建立函数模型时，应根据实际问题确定出函数的定义域(2)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的应舍去，如：长度、宽度应大于0，销售价
2、为正数等1已知某生产厂家的年利润y(单位： 万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A7万件B9万件C11万件D13万件B设yf (x)，即f (x)x381x234.故f (x)x281.令f (x)0，即x2810，解得x9或x9(舍去)当0x9时，f (x)0，函数yf (x)单调递增；当x9时，f (x)0，函数yf (x)单调递减因此，当x9时，yf (x)取最大值故使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件2炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：)为f (x)x3x28(
3、0x5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是()A8BC1D8C由题意，f (x)x22x(x1)21，0x5，x1时，f (x)的最小值为1，即原油温度的瞬时变化率的最小值是1.3做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为()A6 mB8 mC4 mD2 mC设底面边长为x m，高为h m，则有x2h256，所以h.所用材料的面积设为S m2，则有S4xhx24xx2x2.S2x，令S0，得x8，因此h4(m)4某一件商品的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200x)件，当每件商品的定价为_元时，利润最大115利润为S(x)(x30)(200x)x2
4、230x6 000，S(x)2x230，由S(x)0，得x115，这时利润达到最大面积、体积的最值问题【例1】请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AEFBx(cm)(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值解设包装盒的高为h cm，底面边长为a
5、cm.由已知得ax，h(30x)，0x30.(1)S4ah8x(30x)8(x15)21 800，所以当x15时，S取得最大值(2)Va2h2(x330x2)，V6x(20x)由V0，得x0(舍去)或x20.当x(0,20)时，V0；当x(20,30)时，V0.所以当x20时，V取得极大值，也是最大值此时，即包装盒的高与底面边长的比值为.1解决面积、体积的最值问题，要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值2利用导数解决生活中优化问题的一般步骤找关系：分析实际问题中各量之间的关系；列模型：列出实际问题的数学模型；写关系：写出实际问题中变量之间的函
6、数关系yf (x)；求导：求函数的导数f (x)，解方程f (x)0；比较：比较函数在区间端点和使f (x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；结论：根据比较值写出答案跟进训练1周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为_cm3.设矩形的长为x cm，则宽为(10x)cm(0x10)由题意可知圆柱体积为Vx2(10x)10x2x3.V20x3x2，令V(x)0，得x0(舍去)或x，且当x时，V(x)0，当x时，V(x)0，当x时，V(x)max cm3.用料最省、成本(费用)最低问题【例2】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造
7、隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设f (x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f (x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x)达到最小？并求最小值思路探究：(1)由C(0)8可求k的值从而求出f (x)的表达式(2)求函数式f (x)的最小值解(1)由题设，每年能源消耗费用为C(x)(0x10)，再由C(0)8，得k40，因此C(x).而建造费用为C1(x)6x.最后得隔热层建
8、造费用与20年的能源消耗费用之和为f (x)20C(x)C1(x)206x6x(0x10)(2)f (x)6，令f (x)0，即6，解得x5或x(舍去)当0x5时，f (x)0，当5x0，故x5是f (x)的最小值点，对应的最小值为f (5)6570.当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元1用料最省、成本(费用)最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答2利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f (x)0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取
9、得最大(小)值跟进训练2甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数关系是Pv4v315v，(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值解(1)QP400v26 000(0v100)(2)Q5v，令Q0，则v0(舍去)或v80，当0v80时，Q0；当800，v80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且QminQ(80)(元).利润最大、效率最高问题探究问题1在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则
10、函数在该点处取最值吗？提示根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值2你能列举几个有关利润的等量关系吗？提示(1)利润收入成本(2)利润每件产品的利润销售件数【例3】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大思路探究：(1)根据x5时，y11求a的值(2)把每日的利润表示为销售价
11、格x的函数，用导数求最大值解(1)因为x5时，y11，所以1011，a2.(2)由(1)知，该商品每日的销售量y10(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x)(x3)210(x3)(x6)2,3x6，从而，f (x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)，于是，当x变化时，f (x)，f (x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f (x)0f (x)极大值42由上表可得，x4是函数f (x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点，所以，当x4时，函数f (x)取得最大值，且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大(变
12、条件)本例条件换为：该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克，1x12)满足：当1x4时，ya(x3)2，(a，b为常数)；当4x12时，y100.已知当销售价格为2元/千克时，每日可销售出该特产800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克(1)求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；(2)若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该特产所获利润f (x)最大，(2.65)解(1)由题意：x2时y800，ab800，又x3时y150，b300，可得a500.y，(2)由题意：f (x)y(x1)，当1x4时，f (x)500(x3
13、)2(x1)300500x33 500x27 500x4 200，f (x)500(3x5)(x3)，由f (x)0，得x3，f (x)在，(3,4)上递增，在上递减，f 450f (4)1 800，当x4时有最大值，f (4)1 800当4x12时，f (x)(x1)2 9002 9004001 840，当且仅当100x，即x25.3时取等号，x5.3时有最大值1 840，1 8001 840，当x5.3时f (x)有最大值1 840，即当销售价格为5.3元的值，使店铺所获利润最大利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润收入成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值解此类问题需注意两
14、点：价格要大于或等于成本，否则就会亏本；销量要大于0，否则不会获利1利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yf (x)；(2)求函数的导数f (x)，解方程f (x)0；(3)比较函数在区间端点和使f (x)0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值2正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用1某箱子的体积与底面边长x的关系为V(x)x2(0x0，此
15、时V(x)单调递增；当40x60时，V(x)0，此时V(x)单调递减，所以V(40)是V(x)的极大值，即当箱子的体积最大时，箱子底面边长为40.2某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q8 300170pp2.则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)()A30元B60元C28 000元D23 000元D设毛利润为L(p)，由题意知L(p)pQ20QQ(p20)(8 300170pp2)(p20)p3150p211 700p166 000，所以L(p)3p2300p11 700.令L(p)0，解得p30或p130(舍去)
16、此时，L(30)23 000.因为在p30附近的左侧L(p)0，右侧L(p)0，所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元3做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的体积是27，且用料最省，则水桶的底面半径为_3设圆柱形水桶的表面积为S，底面半径为r(r0)，则水桶的高为，所以Sr22rr2(r0)，求导数，得S2r，令S0，解得r3.当0r3时，S0；当r3时，S0，所以当r3时，圆柱形水桶的表面积最小，即用料最省4某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k0)，贷款的利率为0.
17、048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去若存款利率为x(x(0,0.048)，为使银行获得最大收益，则存款利率应定为_0.032存款利率为x，依题意：存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，贷款的收益是0.048kx2，x(0,0.048)所以银行的收益是y0.048kx2kx3(0x0.048)，由于y0.096kx3kx2，令y0得x0.032或x0(舍去)，又当0x0.032时，y0；当0.032x0.048时，y0，所以当x0.032时，y取得最大值5用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解设长方体的宽为x m，则长为2x m，高为h(4.53x)m(0x)故长方体的体积为V(x)2x2(4.53x)(9x26x3)m3.从而V(x)18x18x218x(1x)令V(x)0，解得x0(舍去)或x1，因此x1.当0x1时，V(x)0；当1x时，V(x)0，故在x1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值从而最大体积VV(1)9126133(m)3，此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.故当长方体的长为2 m，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3.