1、单元检测七立体几何与空间向量(提升卷)考生注意：1本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共4页2答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上3本次考试时间100分钟，满分130分4请在密封线内作答，保持试卷清洁完整第卷(选择题共60分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是()A若m，n，则mnB若m，mn，则nC若m，n，则mnD若m，n，则mn2(2019福建省龙岩市一级达标校期末)一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积
2、与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为()A13 B31 C23 D323如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA1，面对角线B1D1上存在一点P使得A1PPB最短，则A1PPB的最小值为()A. B. C2 D2 第3题图 第4题图4(2020辽宁部分重点中学协作体模拟)如图，在空间四边形OABC中，a，b，c，且OM2MA，BNNC，则等于()A.abc B.abcC.abc D.abc5(2020滨州模拟)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3，AD1，AA1，点O为长方形ABCD对角线的交点，E为棱CC1的中点，则异面直线AD1与OE所成
3、的角为()A30 B45 C60 D906如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，2ACAA1BC2，D为AA1上一点若二面角B1DCC1的大小为60，则AD的长为()A. B. C2 D.7(2020湖南省长沙市雅礼中学月考)圆锥的母线长为2，其侧面展开图的中心角为弧度，过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为2，则的取值范围是()A，2) B，C D.8(2019四川省三台中学、实验学校月考)如图在一个60的二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，且ABAC1，BD2，则CD的长为()A1 B. C2 D.二、多项选择题(本题共4小题，
4、每小题5分，共20分全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9(2019福建省三明市第二中学期中)已知m，n是两条不重合的直线，是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题，其中命题正确的是()A若m，n，m，n，则B若，m，n，则mnC若m，n，则mnD若m，m，n，则mn10已知平面外有两条直线a，b，它们在平面内的射影分别是直线m，n，则下列命题错误的是()A若ab，则mnB若mn，则abC若mn，则abD若m与n相交，则a与b相交或异面11(2020福建省厦门市期末)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点将ADE，CDF，BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A，
5、B，C重合于点P，则下列结论正确的是()APDEFB平面PDE平面PDFC二面角PEFD的余弦值为D点P在平面DEF上的投影是DEF的外心12.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，ED平面ABCD，FB平面ABCD，且EDFB1，G为线段EC上的动点，则下列结论中正确的是()AECAFB该几何体外接球的表面积为3C若G为EC的中点，则GB平面AEFDAG2BG2的最小值为3第卷(非选择题共70分)三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13(2019四川省广安市期末)在三棱锥PABC中，PAPB，PBPC，PCPA，且PA1，PB2，PC3，则该三棱锥外接球的表
6、面积为_14如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若B1MN是直角，则C1MN_.15在正三棱锥ABCD中，底面边长为6，侧棱长等于5.则正三棱锥ABCD的体积V_；正三棱锥ABCD的外接球的半径R_.(本题第一空2分，第二空3分)16(2019湖北黄冈中学模拟)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在对角线A1D上取点M，在CD1上取点N，使得线段MN平面A1ACC1，则MN的最小值为_四、解答题(本题共4小题，共50分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)(2019江苏)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为BC
7、，AC的中点，ABBC.求证：(1)A1B1平面DEC1；(2)BEC1E.18.(12分)在RtAOB中，OAB，斜边AB4.RtAOC可以通过RtAOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角BAOC是直二面角动点D在斜边AB上(1)求证：平面COD平面AOB；(2)求直线CD与平面AOB所成角的正弦值的最大值19(13分)如图1，在边长为2的正方形ABCD中，P为CD中点，分别将PAD, PBC沿 PA，PB所在直线折叠，使点C与点D重合于点O，如图2，在三棱锥POAB中，E为PB中点(1)求证：POAB；(2)求直线BP与平面POA所成角的正弦值；(3)求二面角PAOE的大小20.(13分)如
8、图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA底面ABCD，AB垂直于AD和BC，M为棱SB上的点，SAABBC2，AD1.(1)若M为棱SB的中点，求证：AM平面SCD；(2)当SM2MB时，求平面AMC与平面SAB所成的锐二面角的余弦值；(3)在第(2)问条件下，设点N是线段CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为，求当sin 取最大值时点N的位置答案精析1C2.D3.A4.C5.C6A如图所示，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设ADt(0t2)，则C(0,0,0)，D(1,0，t)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，
9、平面CDC1的一个法向量为(0,2,0)设平面CDB1的法向量为m(x，y，z)，由得令y1，得平面CDB1的一个法向量为m(t,1，1)，由题意知cos 60，解得t.7C设圆锥过轴的截面的中心角为2，圆锥的底面圆的半径为r，则过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为22sin 22，所以2，则2r22，圆锥的底面圆周长为2r2，展开后对应的扇形弧长为22，解得.8CCAAB，BDAB，0，0，又CA与BD所在平面的二面角为60，60，即，120，2)2222222，ABAC1，BD2，222222211400212cos 1204，CD的长为2.9BDA选项中没有说明两条直线是否相交，结论错误；
10、B选项中能推出m，所以结论正确；C选项能推出mn，推不出mn，结论错误；D选项根据线面平行的性质可知正确10ABC由题意知，若ab，且a，b相交，则a，b在平面内的射影m，n重合或相交，若a，b异面垂直，则a，b在平面内的射影m，n平行或相交，所以选项A错误；若mn，则a与b可能垂直，也可能不垂直，所以选项B错误；若mn，则a与b平行或异面，所以选项C错误；若m与n相交，则a与b相交或异面，所以选项D正确11ABC对于A选项，作出图形，取EF的中点H，连接PH，DH，又由原图知PEF和DEF为等腰三角形，故PHEF，DHEF，且PHDHH，所以EF平面PDH，所以PDEF，故A正确；根据折起前
11、后，可知PE，PF，PD三线两两垂直，于是可证平面PDE平面PDF，故B正确；根据A选项可知，PHD为二面角PEFD的平面角，设正方形边长为2，因此PEPF1，PH，DH2，PD2，由余弦定理得cosPHD，故C正确；由于PEPFPD，故点P在平面DEF上的投影不是DEF的外心，故D错误12ABC如图所示，该几何体可补形为正方体，以D为坐标原点，DA，DC，DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系由正方体的性质易得ECAF，故A正确该几何体的外接球与正方体的外接球相同，其外接球半径为，故外接球的表面积为3，故B正确由题意可得A(1,0,0)，E(0,0,1)，F(1,1,1)，B(
12、1,1,0)，C(0,1,0)，所以(1,0,1)，(0,1,1)设平面AEF的法向量为n(x，y，z)由得令z1，得x1，y1，则n(1，1,1)当G为EC的中点时，G，则，所以n0，又因为GB平面AEF，所以GB平面AEF，故C正确设G(0，t,1t)(0t1)，则AG2BG24t26t542，故当t时，AG2BG2取得最小值，且最小值为，故D错误1314解析根据题意得到棱锥的三条侧棱两两垂直，可以以三条侧棱为长方体的棱将该三棱锥补成长方体，两者的外接球相同，设球的半径为R，则122232(2R)24R2，所以三棱锥外接球的表面积为S4R214.1490解析因为C1B1平面ABB1A1，M
13、N平面ABB1A1，所以C1B1MN.又因为MNMB1，MB1，C1B1平面C1MB1，MB1C1B1B1，所以MN平面C1MB1，又C1M平面C1MB1，所以MNC1M，所以C1MN90.153解析如图所示，在正三棱锥ABCD中，A在平面BCD内的投影E为等边BCD的中心底面边长为6，则EDFD2，在RtAED中，利用勾股定理得到AE，VSh66sin 603.如图所示，正三棱锥ABCD的外接球的球心在AE上，设为O，OER，ED2，ODR，利用勾股定理得到R2(R)2(2)2，R.16.解析作MM1AD，垂足为M1，作NN1CD，垂足为N1，连接M1N1，如图所示，在正方体ABCDA1B1
14、C1D1中，根据面面垂直的性质定理，可得MM1，NN1都垂直于平面ABCD，由线面垂直的性质，可知MM1NN1，又MN平面A1ACC1，所以平面M1N1NM平面ACC1A1，由面面平行的性质定理可知，M1N1AC，设DM1DN1x，则MM1x，NN11x，在直角梯形MM1N1N中，MN2(x)2(12x)262，当x时，MN的最小值为.17证明(1)因为D，E分别为BC，AC的中点，所以EDAB.在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABA1B1，所以A1B1ED.又因为ED平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1平面DEC1.(2)因为ABBC，E为AC的中点，所以BEAC.因为三棱柱AB
15、CA1B1C1是直棱柱，所以C1C平面ABC.又因为BE平面ABC，所以C1CBE.因为C1C平面A1ACC1，AC平面A1ACC1，C1CACC，所以BE平面A1ACC1.因为C1E平面A1ACC1，所以BEC1E.18(1)证明AOB为直角三角形，且斜边为AB，AOB.将RtAOB以直线AO为轴旋转得到RtAOC，则AOC，即OCAO.二面角BAOC是直二面角，即平面AOC平面AOB.又平面AOC平面AOBAO，OC平面AOC，OC平面AOB.OC平面COD，平面COD平面AOB.(2)解在RtAOB中，OAB，斜边AB4，OBAB2且OBA.由(1)知，OC平面AOB，所以直线CD与平面
16、AOB所成的角为ODC.在RtOCD中，COD，OCOB2，CD，sinODC，当ODAB时，OD取得最小值，此时sinODC取得最大值，且ODOBsin .因此，sinODC，即直线CD与平面AOB所成角的正弦值的最大值为.19(1)证明在正方形ABCD中，P为CD中点，PDAD，PCBC，所以在三棱锥POAB中，POOA，POOB.因为OAOBO，OA，OB平面OAB，所以PO平面OAB. 因为AB平面OAB，所以POAB.(2)解取AB中点F，连接OF，取AO中点M，连接BM. 过点O作AB的平行线OG. 因为PO平面OAB，所以POOF，POOG. 因为OAOB，F为AB的中点，所以O
17、FAB. 所以OFOG.如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz.A(1，0)，B(1，0)，P(0,0,1)，M.因为BOBA，M为OA的中点，所以BMOA.因为PO平面OAB，PO平面POA，所以平面POA平面OAB. 因为平面POA平面OABOA，BM平面OAB，所以BM平面POA.因为.所以平面POA的一个法向量m(，1,0).(1，1)设直线BP与平面POA所成角为，则sin |cosm，|.所以直线BP与平面POA所成角的正弦值为.(3)解由(2)知E，(1，0)设平面OAE的法向量为n(x，y，z)，则有即令y1，则x，z2，即n(，1,2)由(2)知平面OAP的一个法向量为m(，1
18、,0)，所以cosm，n.由题意知二面角PAOE为锐角，所以它的大小为.20.(1)证明取线段SC的中点E，连接ME，ED.在SBC中，ME为中位线，MEBC，且MEBC，ADBC，且ADBC，MEAD，且MEAD，四边形AMED为平行四边形AMDE且AMDE.DE平面SCD，AM平面SCD，AM平面SCD.(2)解以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(2,2,0)，D(1,0,0)，S(0,0,2)，由条件得M为线段SB靠近B点的三等分点于是，即M，设平面AMC的一个法向量为n(x，y，z)，则即令y1，得n(1,1，2)，另外易知平面SAB的一个法向量为m(1,0,0)，所以平面AMC与平面SAB所成的锐二面角的余弦为.(3)解设N(x,2x2,0)，其中1x2.因为M，所以.所以sin ，可知当，即x时分母有最小值，此时sin 有最大值，此时，N，即点N在线段CD上且ND.
