1、第3讲圆锥曲线中的综合问题A组基础题组1.(2017兰州诊断考试)已知F1,F2为双曲线C:-=1(a0,b0)的左、右焦点,点P为双曲线C右支上一点,直线PF1与圆x2+y2=a2相切,且|PF2|=|F1F2|,则双曲线C的离心率为() A.B.C.D.22.(2017课标全国,10,5分)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.103.(2017东北四市高考模拟)F为双曲线-=1(ab0)的左焦点,过点F且斜率为1的直线与双曲线的两条渐近线
2、分别交于A,B两点,若=,则双曲线的离心率为.4.(2017湖南湘中名校高三联考)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,ABC的顶点都在抛物线上,且满足+=0,则+=.5.(2017课标全国,20,12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足=.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.6.(2017太原模拟试题)已知直线l:y=kx+m与椭圆C:+=1(ab0)相交于A,P两点,与x轴,y轴分别交于点N和点M,且PM=MN,点Q是点P关于x轴的对称点,QM的延长线交椭圆于点B
3、,过点A,B分别作x轴的垂线,垂足分别为A1,B1.(1)若椭圆C的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点,点D在椭圆C上,求椭圆C的方程;(2)当k=时,若点N平分线段A1B1,求椭圆C的离心率.B组提升题组1.(2017惠州第三次调研考试)已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),点A在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程;(2)是否存在斜率为2的直线,使得当直线与椭圆C有两个不同交点M,N时,能在直线y=上找到一点P,在椭圆C上找到一点Q,满足=?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.2. (2017石家庄第一次模拟)如图,已知椭圆C:
4、+y2=1的左顶点为A,右焦点为F,O为坐标原点,M,N是y轴上的两个动点,且MFNF,直线AM和AN分别与椭圆C交于E,D两点.(1)求MFN的面积的最小值;(2)证明:E,O,D三点共线.答案精解精析A组基础题组1.C设直线PF1与圆相切于点M,|PF2|=|F1F2|,PF1F2为等腰三角形,|F1M|=|PF1|,在RtF1MO(O为坐标原点)中,|F1M|2=|F1O|2-a2=c2-a2,|F1M|=b=|PF1|,又|PF1|=|PF2|+2a=2c+2a,c2=a2+b2,故由得,e=.2.A如图所示,设直线AB的倾斜角为,过A,B分别作准线的垂线,垂足为A1,B1,则|AF|
5、=|AA1|,|BF|=|BB1|,过点F向AA1引垂线FG,得=cos ,则|AF|=,同理,|BF|=,则|AB|=|AF|+|BF|=,即|AB|=,因l1与l2垂直,故直线DE的倾斜角为+或-,则|DE|=,则|AB|+|DE|=+=,则易知|AB|+|DE|的最小值为16.故选A.3.答案解析设双曲线的两条渐近线分别为l1:y=x,l2:y=-x,由于kFA=1,则FA的方程为y=x+c,由可得A,由可得B.因为=,所以点A为FB的中点,故=,则b=3a,即b2=9a2,所以c2-a2=9a2,即e2=10,所以e=.4.答案0解析设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3
6、),F,由+=-,得y1+y2+y3=0.因为kAB=,所以kAC=,kBC=,所以+=+=0.5.解析(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由=得x0=x,y0=y.因为M(x0,y0)在C上,所以+=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n),=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).由=1得-3m-m2+tn-n2=1,又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以=0,即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点
7、P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.6.解析(1)由题意得椭圆C的方程为+=1.(2)当k=时,由y=x+m得M(0,m),N(-2m,0),PM=MN,P (2m,2m),Q(2m,-2m),直线QM的方程为y=-x+m.设A(x1,y1),则A1(x1,0).由得x2+a2mx+a2(m2-b2)=0,x1+2m=,x1=-.设B(x2,y2),则B1(x2,0).由得x2-3a2mx+a2(m2-b2)=0,x2+2m=,x2=-.点N平分线段A1B1,x1+x2=-4m,-=-4m,3a2=4b2.x1=-3m,y1=-m,代入椭圆方程得m2=b20,故y0=,且-3t3.由=得=(
8、x4-x2,y4-y2),所以有y1-=y4-y2,y4=y1+y2-=t-.也可由=知四边形PMQN为平行四边形,而D为线段MN的中点,因此,D也为线段PQ的中点,所以y0=,可得y4=又-3t3,所以-y4-1,与椭圆上点的纵坐标的取值范围是-1,1矛盾,因此不存在满足条件的直线.2.解析(1)解法一:由题意得F(1,0).设M(0,m),N(0,n),MFNF,mn=-1.SMFN=|MF|FN|=1.当且仅当|m|=1,|n|=1且mn=-1时等号成立.MFN的面积的最小值为1.解法二:由题意得F(1,0).设M(0,m),N(0,n),MFNF,mn=-1,SMFN=|MN|OF|=|MN|,且|MN|2=|m-n|2=m2+n2-2mn=m2+n2+22|mn|+2=4,当且仅当|m|=1,|n|=1且mn=-1时等号成立,|MN|min=2,(SMFN)min=|MN|=1.故MFN的面积的最小值为1.(2)A(-,0),M(0,m),直线AM的方程为y=x+m,由得(1+m2)x2+2m2x+2(m2-1)=0,设E(xE,yE),D(xD,yD),由-xE=,得xE=,同理可得xD=,mn=-1,xD=.由可知xE=-xD,代入椭圆方程可得=.MFNF,N,M分别在x轴两侧,yE=-yD,=,故E,O,D三点共线.