1、3.3三角恒等变换-小结与复习（学案）一、学习目标1.理解与掌握常见的三角恒等变换公式，并明确它们之间的关系2.体会三角恒等变换的工具性作用，掌握变换的思想和方法，提高推理和运算能力二、自主学习 1.温故知新（1）两角和与差的正弦 两角和与差的余弦 两角和与差的正切 （2）二倍角公式 （3）asinx+bcosx=_，（a2+b20），其中cos=_，sin=_（4） 三、合作探究 专题一三角函数式的求值问题三角函数式求值主要有以下三种题型(1)给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题(2)给值求值：给出某些角
2、的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如( ) ，2( )( )等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论(3)给值求角：实质上是转化为“给值求值”问题，由所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角 例1(1)的值是()A. B. C. D(2)在ABC中，3sin A4cos B6，4sin B3cos A1，则C的大小为_解析：(1)原式tan (4515)tan 60.(2)两式左右两边分别平方相加，得sin(AB)，则sin Csin(AB)，所以C或C.又3sin A64cos B2，得sin A ，所以A，所以C，故C.答案：
3、(1)D(2)归纳升华：对于给值求角的问题，角的范围分析很重要，是防止出现增解的重要手段专题二三角函数式的化简与证明三角函数式的化简的基本思想方法是统一角、统一三角函数的名称在具体实施过程中，应着重抓住“角”的统一通过观察角、函数名、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简三角函数式的证明实质上也是化简，具有方向目标的化简；根本原则：由繁到简，消除两端差异，达到证明目的. 例2化简(tan 10).解：原式2.归纳升华：本题中既有弦函数，又有切函数，由于涉及弦函数的公式较多，采用了切化弦的方法，有利于化简的进行；并用特殊角的三角函数表示特殊值，为逆用正弦的差角公式
4、创造了条件，解法简捷，明快专题三三角恒等变换的综合应用高考常以三角恒等变形为主要的化简手段，考查三角函数的性质当给出的三角函数关系式较为复杂，我们要先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，将函数表达式变形为yAsin(x)k或yAcos(x)k等形式，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质 例3已知函数f(x)sinsin xcos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在上的单调性解：(1)f(x)sinsin xcos2xcos xsin x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin， 因此f(x)的最小正周期为，最大值为.(2)当x时，02x，从
5、而当02x，即x时，f(x)单调递增，当2x，即x时，f(x)单调递减综上可知，f(x)在上单调递增，在上单调递减归纳升华：高考对三角函数性质的考查主要涉及单调性、奇偶性、周期性等解答时通常是先将函数简化为形如f(x)Asin (x)B的形式，然后根据正弦函数的图象与性质求解专题四转化与化归思想本章以两角差的余弦公式为基础利用换元法，将两角和的余弦公式转化为两角差的余弦公式的形式，即 ( )，从而推导出两角和的余弦公式然后利用诱导公式实现正弦余弦的转化，推导出两角和(差)的正弦公式以及二倍角公式的推出都体现了转化与化归的思想应用该思想解决了三角函数式化简、求值、证明中角的变换、函数名称变换问题
6、，解决了三角函数最值问题例4已知sinsin，求sin 4.解：因为，所以sincos.所以sinsinsincossincos 2，又因为22，cos 2，所以sin 2.所以sin 42sin 2cos 2.归纳升华：解三角函数求值问题，要优先考虑角与角之间的关系，与互余，从而化为同角“”四、学以致用 变式训练1.已知sin，cos 2，则sin ()A. B C D.解析：因为sin，所以sin .cos ，即sin cos ，因为cos 2，所以cos2 sin2 ，即(cos sin ) (cos sin )，所以cos sin ，可得sin .答案：D变式训练2.求证：.证明：法一：右边左边所以原命题成立法二：左边右边，所以原命题成立变式训练3.函数f(x)sin2xsin xcos x1的最小正周期是_，最小值是_解析：f(x)sin2xsin xcos x1sin 2x1sin(2x)故最小正周期T.当sin(2x)1时，f(x)取得最小值为.答案：变式训练4.已知sin，cos，且和 分别为第二、第三象限角，求tan 的值解：因为sin，且为第二象限角，所以cos .又cos，且 为第三象限角，所以sin .所以tan，tan，所以tan tan.