1、第1讲直线与圆A组基础题组1. “ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的() A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件2.已知圆(x-1)2+y2=1被直线x-y=0分成两段圆弧,则较短弧长与较长弧长之比为()A.12B.13C.14D.153.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程是()A.(x+1)2+y2=2B.(x+1)2+y2=8C.(x-1)2+y2=2D.(x-1)2+y2=84.(2017南昌第一次模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=2x+1与圆
2、x2+y2=4相交于A,B两点,则cosAOB=()A.B.-C.D.-5.(2017合肥第一次教学质量检测)设圆x2+y2-2x-2y-2=0的圆心为C,直线l过(0,3)与圆C交于A,B两点,若|AB|=2,则直线l的方程为()A.3x+4y-12=0或4x-3y+9=0B.3x+4y-12=0或x=0C.4x-3y+9=0或x=0D.3x-4y+12=0或4x+3y+9=06.圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是.7.过点M的直线l与圆C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,C为圆心,当ACB最小时,直线l的方程为.8.已知圆C:x2+y
3、2-2x-4y+1=0上存在两点关于直线l:x+my+1=0对称,经过点M(m,m)作圆C的切线,切点为P,则|MP|=.9.已知圆C过点P(1,1),且圆C与圆M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r0)关于直线x+y+2=0对称.(1)求圆C的方程;(2)设Q为圆C上的一个动点,求的最小值.10.已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0. (1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,求此切线的方程;(2)从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使|PM|取得最小值时点P的坐标.B组提升题组1.若过点A(1,0)的直线l与圆C:x2+y
4、2-6x-8y+21=0相交于P,Q两点,线段PQ的中点为M,l与直线x+2y+2=0的交点为N,则|AM|AN|的值为() A.5B.6C.7D.82.(2017湖南湘中名校高三联考)已知m0,n0,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,则m+n的取值范围是.3.已知点M(-1,0),N(1,0),曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N的距离的倍. (1)求曲线E的方程;(2)已知m0,设直线l1:x-my-1=0交曲线E于A,C两点,直线l2:mx+y-m=0交曲线E于B,D两点.当CD的斜率为-1时,求直线CD的方程.4.(2017课标全国,20
5、,12分)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.答案精解精析A组基础题组1.C因为两直线平行,所以斜率相等,即-=-,可得ab=4,又当a=1,b=4时,满足ab=4,但是两直线重合,故选C.2.A(x-1)2+y2=1的圆心为(1,0),半径为1.圆心到直线的距离d=,所以较短弧所对的圆心角为,较长弧所对的圆心角为,故两弧长之比为12,故选A.3.A直线x-y+1=0与x轴的交点坐标为(-1,0),因为圆C与直线x+y+3=0相切,所以半径为圆心到切线
6、的距离,即r=d=,则圆C的方程为(x+1)2+y2=2,故选A.4.D解法一:因为圆x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径为2,所以圆心O到直线y=2x+1的距离d=,所以弦长|AB|=2=2.在AOB中,由余弦定理得cosAOB=-.解法二:取AB的中点D,连接OD,则ODAB,且AOB=2AOD,又圆心到直线的距离d=,即|OD|=,所以cosAOD=,故cosAOB=2cos2AOD-1=2-1=-.5.B当直线l的斜率不存在时,计算出弦长为2,符合题意;当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为y=kx+3,由弦长为2可知,圆心到该直线的距离为1,从而有=1,解得k=-,综上,直线l
7、的方程为x=0或3x+4y-12=0,故选B.6.答案-4解析将圆的方程化为标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a,所以圆心为(-1,1),半径r=,圆心到直线x+y+2=0的距离d=,又r2-d2=4,即2-a-2=4,所以a=-4.7.答案2x-4y+3=0解析易知当CMAB时,ACB最小,直线CM的斜率为kCM=-2,从而直线l的斜率为kl=,其方程为y-1=,即2x-4y+3=0.8.答案3解析圆C:x2+y2-2x-4y+1=0的圆心坐标为(1,2),半径r=2,因为圆上存在两点关于直线l对称,所以直线l:x+my+1=0过点(1,2),所以1+2m+1=0,得m=-1,|MC
8、|2=(1+1)2+(2+1)2=13,r2=4,所以|MP|=3.9.解析(1)设圆心C(a,b),则解得则圆C的方程为x2+y2=r2,将点P的坐标代入得r2=2,故圆C的方程为x2+y2=2.(2)设Q(x,y),则x2+y2=2,=(x-1,y-1)(x+2,y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2,令x=cos ,y=sin ,则=x+y-2=(sin +cos )-2=2sin-2,所以的最小值为-4.10.解析(1)圆C的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=2.当此切线在两坐标轴上的截距为零时,设此切线方程为y=kx,由=,得k=2,此切线方程为y=(2)x.当此切线在两坐
9、标轴上的截距不为零时,设此切线方程为x+y-a=0,由=,得|a-1|=2,即a=-1或a=3.此切线方程为x+y+1=0或x+y-3=0.综上,此切线方程为y=(2+)x或y=(2-)x或x+y+1=0或x+y-3=0.(2)由|PO|=|PM|,得|PO|2=|PM|2=|PC|2-|CM|2,即+=(x1+1)2+(y1-2)2-2,整理得2x1-4y1+3=0,即点P在直线l:2x-4y+3=0上,当|PM|取最小值时,|PO|取最小值,此时直线POl,直线PO的方程为2x+y=0.解方程组得故使|PM|取得最小值时,点P的坐标为.B组提升题组1.B圆C的方程化成标准方程可得(x-3)
10、2+(y-4)2=4,故圆心为C(3,4),半径为2,则可设直线l的方程为kx-y-k=0(k0),由得N,又直线CM与l垂直,得直线CM的方程为y-4=-(x-3).由得M,则|AM|AN|=6.故选B.2.答案2+2,+)解析因为m0,n0,直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,所以圆心C(1,1)到直线的距离d=1,即|m+n|=,两边平方并整理得m+n+1=mn,即(m+n)2-4(m+n)-40,解得m+n2+2,所以m+n的取值范围为2+2,+).3.解析(1)(坐标法)设曲线E上任意一点的坐标为(x,y),由题意得=,整理得x2+y2-4x
11、+1=0,即(x-2)2+y2=3为所求.(2)(参数法)由题意知l1l2,且两条直线均恒过点N(1,0).设曲线E的圆心为E,则E(2,0),设线段CD的中点为P,连接EP,ED,NP,则直线EP:y=x-2.设直线CD:y=-x+t,由解得点P,由圆的几何性质,知|NP|=|CD|=,而|NP|2=+,|ED|2=3,|EP|2=,解得t=0或t=3.所以直线CD的方程为y=-x或y=-x+3.4.解析(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.又x1=,x2=,故x1x2=4.因此OA的斜率与OB的斜率之积为=-1,所
12、以OAOB.故坐标原点O在圆M上.(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=.由于圆M过点P(4,-2),因此 =0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-.当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为,圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.当m=-时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为,圆M的半径为,圆M的方程为+=.