1、3从速度的倍数到向量的数乘3.1向量的数乘运算3.2向量的数乘与向量共线的关系课后篇巩固提升基础达标练1.(2019广东高二期末(理)如图,在平行四边形ABCD中,E为DC边的中点,且AB=a,AD=b,则BE=()A.b-12aB.b+12aC.a+12bD.a-12b解析BE=BA+AD+DE=-a+b+12a=b-12a.故选A.答案A2.(多选)(2020山东微山县第二中学高一月考)下列叙述中错误的是()A.若a=b,则3a2bB.若ab,则a与b的方向相同或相反C.若ab,bc,则acD.对任意向量a,a|a|是一个单位向量解析向量不能比较大小,A错误;零向量与任意向量共线,且零向量
2、的方向是任意的,故B错误;若b为零向量,a与c可能不是共线向量,故C错误;当a=0时,a|a|无意义,故D错误.故选ABCD.答案ABCD3.(多选)已知实数m,n和向量a,b,下列说法中正确的是()A.m(a-b)=ma-mbB.(m-n)a=ma-naC.若ma=mb,则a=bD.若ma=na(a0),则m=n解析根据向量数乘的运算可知A和B正确;当m=0时,ma=mb=0,但a与b不一定相等,故C不正确;由ma=na,得(m-n)a=0,因为a0,所以m=n,故D正确.故选ABD.答案ABD4.已知点D为ABC边BC上一点,且BD=3DC,则()A.AD=14AB+34ACB.AD=34
3、AB+14ACC.AD=-12AB+32ACD.AD=32AB+12AC解析因为BD=3DC,所以AD=AB+BD=AB+34BC=AB+34(AC-AB)=14AB+34AC.故选A.答案A5.(2019广西壮族自治区蒙山中学高三月考(理)在ABC中,D为AB的中点,点E满足EB=4EC,则ED=()A.56AB-43ACB.43AB-56ACC.56AB+43ACD.43AB+56AC解析因为D为AB的中点,点E满足EB=4EC,所以BD=-12AB,EB=43CB,所以ED=EB+BD=43CB-12AB=43(AB-AC)-12AB=56AB-43AC.故选A.答案A6.13(2a-3
4、b)-3(a+b)=.解析13(2a-3b)-3(a+b)=23a-b-3a-3b=-73a-4b.答案-73a-4b7.若|a|=5,b与a的方向相反,且|b|=7,则a=b.解析因为|a|=5,|b|=7,所以|a|b|=57,又方向相反,所以a=-57b.答案-578.若3(c+a)+2(c-2a)-4(c-a+b)=0,则c=.解析由已知得3(c+a)+2(c-2a)-4(c-a+b)=0,所以c+3a-4b=0,所以c=4b-3a.答案4b-3a能力提升练1.(多选)(2020山东章丘四中高三月考)下列关于平面向量的说法中不正确的是()A.已知a,b均为非零向量,则ab存在唯一的实数
5、,使得b=aB.若向量AB,CD共线,则点A,B,C,D必在同一直线上C.如果非零向量a与b不共线,且a=b,那么=1D.若点G为ABC的重心,则GA+GB+GC=0解析由平面向量平行的推论可得A正确;向量AB,CD共线,只需两向量方向相同或相反即可,点A,B,C,D不一定在同一直线上,故B错误;如果非零向量a与b不共线,且a=b,则=0,故C错误;由平面向量中三角形重心的推论可得D正确.故选BC.答案BC2.(多选)若点D,E,F分别为ABC的边BC,CA,AB的中点,且BC=a,CA=b,则下列结论正确的是()A.AD=-12a-bB.BE=a+12bC.CF=-12a+12bD.EF=1
6、2a解析如图,在ABC中,AD=AC+CD=-CA+12CB=-b-12a,故A正确;BE=BC+CE=a+12b,故B正确;AB=AC+CB=-b-a,CF=CA+12AB=b+12(-b-a)=-12a+12b,故C正确;EF=12CB=-12a,故D不正确.故选ABC.答案ABC3.(2019平罗中学高三期中(理)在ABC中,O为其内部一点,且满足OA+OB+4OC=0,则ABC和AOC的面积比是()A.2B.4C.6D.8解析在ABC中,O为其内部一点,且满足OA+OB+4OC=0,设D是AB中点,连接OD,如图所示,则OA+OB=2OD,且SABC=2SACD,所以2OD+4OC=0
7、,所以C,O,D三点共线,且OD=2OC,所以3SAOC=SACD,所以6SAOC=2SACD=SABC,所以SABCSAOC=61,则ABC和AOC的面积比是6.故选C.答案C4.在四边形ABCD中,AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是.解析因为AD=AB+BC+CD=(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)=-8a-2b=2BC,所以ADBC,且AD=2BC.所以四边形ABCD是梯形.答案梯形5.已知两个非零向量a,b不共线.(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求证:A,B,D三点共线;(2)求实数k使ka+b与2a+
8、kb共线.(1)证明因为AB=a+b,BD=BC+CD=2a+8b+3a-3b=5a+5b=5(a+b)=5AB,所以AB,BD共线,且有公共点B,所以A,B,D三点共线.(2)解因为ka+b与2a+kb共线,所以存在实数,使ka+b=(2a+kb).所以(k-2)a+(1-k)b=0,所以k-2=0,1-k=0,解得k=2.素养培优练中国的国旗和国徽上都有五角星,正五角星与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且|PT|=5-12|AP|,则AT-5-12ES=()A.5+12QRB.5+12RQC.5-12RDD.5-12RC解析AT-5-12ES=SD-SR=RD=5+12QR.故选A.答案A