1、三角函数知识点归纳总结 目录 1、知识梳理 2、题型方法归类 3、总结 初中部分 锐角三角函数 特殊角的三角函数 解直角三角形 锐角三角函数 ACB斜边c邻边b对边在RtABC中，C=90，A为锐角 A的正弦：sin =的对边斜边=A的余弦：cos =的邻边斜边=A的正切：tan =的对边 的邻边=锐角A的正弦、余弦、正切都是A的三角函数 特殊角的三角函数 sin cos tan 3012323345222216032123锐角A三角函数解直角三角形 两个独立的已知条件解直角三角形的典型过程已知a和A（1）B=90-A（2）b=atan A（3）c=asin A（或c=sin）已知c和A（1）
2、B=90-A（2）a=c sin A（3）b=c cos A（或=c sin）已知a、b（1）tan =（或tan =）,求出A（或B）（2）B=90 A（或A=90-B）（3）c=2+2（或c=asin A）已知a、c（1）sin =（或cos =）,求出A（或B）（2）B=90 A（或A=90-B）（3）=2 2（或=c sin）ACBcb题型-触礁问题 如图，海中有一灯塔P，它的周围8海里内有暗礁海轮以18海里/时的速度由西向东航行，在A处测得灯塔P在北偏东60方向上；航行40分钟到达B处，测得灯塔P在北偏东30方向上；如果海轮不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？方法 构建直角三角
3、形 在触礁点用圆定出触礁范围 从圆心到目标航线做垂线 转化为距离问题 解：过点P作PDAB AB=18（4060）=12（海里）PAB=30，PBD=60 PAB=APB AB=BP=12海里 在RtPBD中，PD=BPsinPBD=12 =(海里）8 海轮不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险.233636D高中部分 任意角、弧度制及任意角的三角函数 同角三角函数的基本关系与诱导公式 函数y=Asin x+的图象及三角 函数模型的简单应用 三角函数的图像与性质 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 正弦定理和余弦定理 一、任意角 1.角的概念 角可以看成是平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到
4、另一个位置所形成的图形。2.角的分类 3.终边相同的角 所有与角终边相同的角，连同在内，可构成一个集合=|=+360，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和 正角 负角 零角 一、弧度制 1.定义 把长度等于半径长的弧所对的圆心角，叫1弧度角。单位：rad（弧度）2.弧度数公式 =（l是圆心角的所对弧长；r是圆的半径）4.终边相同角的集合|=2+，1radOOlr3.弧度与角度的互化 rad=180；1rad=()；1=0.01745rad 180180一、任意角的三角函数 1.任意角的三角函数的定义 设是一个任意角，他的终边与单位圆交于点P（x，y），那么：y叫做的正弦，记做
5、sin，即sin=y x叫做的余弦，记做cos，即cos=x 叫做的正切，记做tan，即tan=（x0）xyoPxy2.几何表示 三角函数可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上；余弦线的起点都是原点；正切线的起点都是（1,0）xyoP余弦线 正弦线 正切线 题型-象限角 已知若sin cos 0，则角在 象限.【总结升华】角的象限和角的三角函数值符号可以相互判定.【答案】第一或第三【解析】由sin cos 0知（1）sin 0cos 0 或（2）sin 0cos 0,0，x0）表示一个振动量时 振幅周期频率相位初相A x+2T21 Tf2.用五点法画y=Asin(x+)一个周期内
6、的简图是要找五个关键点（如下表所示）x x+0 2 y=Asin(x+)0 A 0-A 0 2 23 2223四、函数y=Asin(x+)的图象及三角函数模型的简单应用 3.y=sinx的图象变换得到y=Asin(x+)（其中A0，0）的图象的方法 先平移后伸缩 画出y=sinx的图象 得到y=sin(x+)的图象 向左（0）或 向右（0）或 向右（0）平移 丨 丨个单位 得到y=Asin(x+)的图象 纵坐标变为 原来的A倍 五、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式：（1）sin =sin cos cos sin （2）cos =cos cos sin si
7、n （3）tan =tan tan 1 tan tan 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）sin 2=2 sin cos （2）cos 2=cos2 sin2 =1 2 sin2 =2 cos2 1（3）tan 2=2 tan 1 tan2 3.辅助角公式 sin +cos =2+2 sin +，（其中tan =）五、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 4.有关公式的变形和逆用（1）正切两角和差公式的变形：tan +tan =tan +1 tan tan tan tan =tan 1+tan tan （3）公式的逆用 1 sin 2=sin cos 2 sin cos =2 sin 4 （2
8、）正弦、余弦二倍角公式的变形 sin2 =cos2 =1 cos 221+cos 22六、正弦定理和余弦定理 1.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 变形 形式 asinA=bsinB=csinC=2R （R为 ABC外接圆的半径）a2=b2+c2 2b cosA b2=a2+c2 2ac cosB c2=b2+a2 2ab cosC 1.a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC 2.a:b:c=sinA:sinB:sinC 3.sinA=,sinB=,sinC=cosA=cosB=cosC=b2+c2 a22bca2+c2 b22aca2+b2 c22aba2R
9、2 2 六、正弦定理和余弦定理 1.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 解决问题(1）已知两角和任意一条边，求 另一角和其他两条边。(2）已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角。（1）已知三边求各角（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。2.三角形常用面积公式（1）S=aha（a表示边a上的高）（2）S=absinC=bcsinA=acsinB （3）S=r(a+b+c）（r为内切圆的半径）1212121212题型-正余弦定理与平面几何 例2.如图，在ABC中，点D在边AB上，CDBC，AC=5 3，CD=5，BD=2AD.求AD的长。解法一：在ABC中，因为BD=2A
10、D，设AD=x(x0)，则BD=2x.在BCD中，因为CDBC，CD=5，BD=2x，所以cosCDB=CDBD=52x.在ACD中，因为AD=x，CD=5，AC=5 3.由余弦定理得cosADC=AD2+CD2-AC22ADCD=x2+52-(5 3)22x5 因为CDB+ADC=，所以cosADC=-cosCDB，即x2+52-(5 3)22x5=-52x.解得x=5.所以AD的长为5.ABCD技巧：结合几何图形，假设未知量，依据互补的两 个角余弦值互 为相反数构造 方程求解。综合题型 1.2019江苏一模 已知函数f x=sinxcosx 3 sin2 x I 求函数f x 的最小正周期
11、 (II)求函数f(x)在x 0,2 的值域 解：f x=12 sin 2 x 3 1 cos 2 x2 =12 sin 2 x+32 cos 2 x 32=sin(2x+3)32 (I)T=22=(II)0 x 2 3 2x+3 43 32 sin(2x+3)1 所以f(x)的值域为 3，2 32 方法：首先利用二倍角公式，将f(x)化为“一个角一种函数”sin(x+)的形式 再借助正余弦最小正周期公式 T=2，从而求得相应的最小正周期 最后，由x的取值范围，从而确定x+的取值范围，利用三角函数的图象和性质就可以求出f(x)的值域 综合题型 2.(2019浙江一模)已知函数f(x)=2 si
12、n x cos(2 x)3 sin(+x)cos x+sin(2+x)cos x(I)求函数y=f(x)的对称中心和最值(II)指出y=f(x)图象经过怎样的平移变换后得到的图象关于原点对称 解：=2 sin sin 3 sin cos +cos cos =2 sin2 +3 sin cos +cos2 =1+sin2 +3 sin cos =1+1cos 22+3 12 sin 2 =32+32 sin 2 12 cos 2 =32+sin(2 6)()由2 6=,可得=12+2()因此()的最大值为 52，最小值为 12 且 对称中心为（12+2，32）（）方法：首先利用三角函数诱导公式以
13、及二倍角公式，将f(x)化为“一个角一种函数”sin(x+)的形式 再由正余弦函数对称中心公式，从而求出x+中x的值，即为对称中心的横坐标(II)y=32+sin(2x 6)y=sin 2 x 左移 12 单位，下移 32 单位 总结-初中锐角三角函数知识框架 锐角三角函数定义分类正弦余弦正切表达式取值范围关系图表记忆法特殊角的三角函数值口诀记忆法规律记忆法解直角三角形依据增减性定义定义边的关系角的关系边角关系实际应用角度名称仰角俯角坡度（坡比）坡角方向角求值方法（类型）直角三角形角度转化化斜三角形为直角三角形利用网格构造直角三角形取特殊角的三角函数值解直角三角形的实际应用三角函数与圆易错点解
14、析对应关系混淆专用名词不清正弦总结-高中锐角三角函数知识框架 象限角终边相同的角1弧度的角弧度=180l=IIR，S=1/2lR三角函数值在各个象限的符号单位圆 三角函数线任意角弧度制任意角和弧度制任意角的三角函数同角三角函数的基本关系三角函数任意角的三角函数sin+cos=1tan=sin/cos奇变偶不变，符号看象限公式1公式2公式3公式4公式5公式6三角函数的诱导公式三角函数的图像和性质正、余弦函数的图像正、余弦函数的性质正切函数的性质和图像五点法正弦曲线余弦曲线周期性奇偶性单调性定义域、值域周期性奇偶性单调性定义域、值域正切曲线函数y=Asin(x+)的图像对y=Asin(x+)的图像的影响对y=Asin(x+)的图像的影响A对y=Asin(x+)的图像的影响振幅 周期 频率 相位 初相三角函数模型的简单应用思想方法 函数图像 三角函数线（单位圆）数形结合思想 三角函数间的数量关系函数与方程思想 函数的单调性与周期性分类讨论思想 同角三角函数以及诱导公式转化与化归思想 解三角形消元思想 谢谢观看！