1、第15讲导数的意义及运算课标要求考情分析1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.2.通过函数图象直观地理解导数的几何意义.3.能根据导数定义求函数 yc，yx，yx2，yx3，的导数.4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数仅限于形如 f(axb)的导数.5.会使用导数公式表本节复习时，应充分利用实际情景，理解导数的意义及几何意义，应能灵活运用导数公式及导数运算法则对某些函数进行求导1.函数导数的定义2.导数的几何意义和物理意义(1)导数的几何
2、意义：函数 yf(x)在 x0 处的导数 f(x0)的几何意义，就是曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率.相应地，切线方程为 yf(x0)f(x0)(xx0).(2)导数的物理意义：在物理学中，如果物体运动的规律是 ss(t)，那么该物体在时刻 t0 的瞬时速度为 vs(t0)；如果物体运动的速度随时间变化的规律是 vv(t)，则该物体在时刻 t0 的瞬时加速度为 av(t0).原函数导函数f(x)Cf(x)_f(x)x(Q*)f(x)_(Q*)f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)_f(x)ax(a0)f(x)axln a(a0)f(x)exf(x
3、)_f(x)logax(a0，且a1)f(x)(a0，且a1)f(x)ln xf(x)_3.基本初等函数的导数公式表0 x1sin xex4.运算法则u(x)v(x)u(x)_v(x)；u(x)v(x)_；u(x)v(x)u(x)v(x)题组一走出误区1.(多选题)下列结论不正确的是()A.在曲线 yf(x)上某点处的切线与曲线 yf(x)过某点的切线意义相同B.与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线解析：对于 A，曲线 yf(x)在点 P(x0，y0)处的切线，点 P在曲线上，而过点 P(x0，y0)的切线，点 P 可以在曲线外.对于 B，如图 D16 所示，直线与曲线只有一个公共点，但
4、不是切线.图 D16答案：ABC题组二走进教材2.(选修 22 P18 第 6 题改编)已知函数 yxln x，则这个函数的导数为_；这个函数的图象在点 x1 处的切线方程为_.解析：yln x1|x1 ln 111，k1，切点为(1，0)，切线方程为 yx1.答案：yln x1yx13.(选修 22P18A 组第 5 题改编)若 f(x0)3，则A.3B.6C.9D.12答案：B题组三真题展现4.(2020 年全国)函数 f(x)x42x3 的图象在点(1，f(1)处)的切线方程为(A.y2x1C.y2x3B.y2x1D.y2x1解析：f(x)x42x3，f(x)4x36x2，f(1)1，f
5、(1)2，因此，所求切线的方程为 y12(x1)，即 y2x1.故选 B.答案：B_.解析：由函数的解析式可得整理可得 a22a10，解得 a1.答案：1考点 1 导数的概念 自主练习1.设 f(x)在 x0 处可导，下列式子与 f(x0)相等的是()A.B.C.D.所以正确.故选 B.答案：B2，则 a_.f(x)axln x1，f(x)aln xa，f(1)a2.答案：2A.1B.2C.1D.12答案：A【题后反思】本题需直接变换出导数的定义式义式的关键是一定要保证分子与分母中 k 的一致性.考点 2 导数的计算 师生互动例 1(1)(2018 年天津)已知函数 f(x)exln x，f(
6、x)为 f(x)的导函数，则 f(1)的值为_.答案：e(2)已知函数 yf(x)的导函数是 f(x)，且 f(x)x23f(1)ln x，则曲线 yf(x)在 x1 处的切线的斜率是_.令 x1可得 f(1)23f(1)，解得 f(1)1，所以曲线 yf(x)在 x1 处的切线的斜率是1.答案：1(3)已知函数 f(x)sin x2，则 f(x)()A.cos 2xC.sin 2xB.cos D.2x解析：函数 f(x)sin x2 的自变量为 x，为常量，所以f(x)2x.答案：D【题后反思】求函数的导数时，要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数，对于不具备求导
7、法则的结构形式要进行适当的恒等变形.注意求函数的导数(尤其是对含有多个字母的函数)时，一定要清楚函数的自变量是什么，对谁求导，如 f(x)x2sin 的自变量为 x，而f()x2sin 的自变量为.【考法全练】答案：1考点 3 导数的意义 多维探究考向 1 导数的物理意义例 2某市在一次降雨过程中，降雨量 y(单位：mm)与时间刻 t40 min 的降雨强度为()答案：D考向 2 导数的几何意义的切线.A.f(x)1xB.f(x)x4C.f(x)cos xD.f(x)ln x故选 BCD.答案：BCD(2)(2019 年全国)已知曲线 yaexxln x 在点(1，ae)处的)切线方程为 y2
8、xb，则(A.ae，b1B.ae，b1解析：yaexlnx1，ky|x1ae12，ae1.将(1，1)代入 y2xb 得 2b1，b1，故选 D.答案：DC.ae1，b1 D.ae1，b1(3)(2020 年全国)曲线 yln xx1 的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为_.解析：设切线的切点坐标为(x0，y0)，yln xx1，y1x1，所求的切线方程为 y22(x1)，即 y2x.答案：y2x(4)已知曲线 f(x)x3x，则曲线在点(1，0)处的切线方程为_；曲线过点(1，0)的切线方程为_；解析：f(x)3x21曲线在点(1，0)处切线的斜率为 kf(1)2.又 f(1)0，所求切线
9、方程为 y2(x1)，即 2xy20.答案：2xy202xy20 或 x4y10【题后反思】(1)通过例题的学习，要彻底改变“切线与曲线有且只有一个公共点”“直线与曲线只有一个公共点，则该直线就是切线”这一传统误区，如“直线 y1 与 ysin x 相切，却有无数个公共点”，而“直线 x1 与 yx2 只有一个公共点，显然直线 x1 不是切线”.(2)求曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处(该点为切点)的切线方程，其方法如下：求出函数 yf(x)在 xx0 处的导数 f(x0)，即曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率；切点为 P(x0，f(x0)，切线方程为 yf(
10、x0)f(x0)(xx0).(3)求曲线 yf(x)外一点 P(x0，f(x0)(该点不一定为切点)的切线方程，其方法如下：设切点 A(xA，yA)，求切线的斜率 kf(xA)；利用斜率公式 ky0yAf(xA)建立关于 xA 的方程，解x0 xA出 xA，进而求出切线方程.【考法全练】过点(1，1)的曲线 yx32x 的切线方程为_.即 xy20 或 5x4y10.答案：xy20 或 5x4y10两曲线的公共切线问题例 4(2016 年全国)若直线 ykxb 是曲线 yln x2的切线，也是曲线 yln(x1)的切线，则 b()A.1B.12C.1ln 2D.12ln 2解析：设 ykxb
11、与 yln x2 和 yln(x1)的切点分别为(x1，ln x12)和(x2，ln(x21).答案：C【策略指导】同时和曲线 yf(x)，yg(x)都相切的直线称为两曲线的公共切线.设直线与曲线 yf(x)切于(x1，f(x1)与曲线yg(x)切于(x2，g(x2)，则切线方程为 yf(x1)f(x1)(xx1)，即 y f(x1)x f(x1)f(x1)x1 同 理 y g(x2)x g(x2)g(x2)x2.可得切线方程.由此可知两曲线公切线的条数即为上述方程组解的个数.【高分训练】故选 D.答案：D1.导数的几何意义是切线的斜率，物理意义是速度与加速度，代数意义就是瞬时增长率、瞬时变化率等.3.过点求切线方程应注意该点是否为切点，特别提醒：求“在某点处的切线方程”时，该点为切点；求“过某点的切线方程”时，该点有可能是切点，也有可能不是切点.4.求函数的导数(尤其是对含有多个字母的函数)时，一定要清楚函数的自变量是什么，对谁求导，如 f(x)x2sin 的自变量为 x，而 f()x2sin 的自变量为.