1、1.2.1 任意角的三角函数(二)必备知识自主学习 1.有向线段(1)定义:带有_的线段.(2)表示:用大写字母表示,如有向线段OM,MP.导思(1)什么是有向线段?(2)如何用三角函数线表示正弦、余弦和正切?方向【思考】书写有向线段时,字母的顺序可以颠倒吗?提示:在用字母表示有向线段时,要注意它们的方向,即分清起点和终点,书写顺序不能颠倒.2.三角函数线(1)本质:平面直角坐标系中的有向线段.(2)应用:求三角函数值;比较三角函数值的大小;解三角不等式.【思考】三角函数线的长度等于三角函数的值吗?提示:不等于,三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的
2、打“”)(1)角 的正弦线的长度等于sin .()(2)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线.()提示:(1).角的正弦线的长度等于|sin|.(2).90角不能作正切线.2.如图,在单位圆中角 的正弦线、正切线完全正确的是()A.正弦线MP,正切线AT B.正弦线OM,正切线AT C.正弦线MP,正切线AT D.正弦线OM,正切线AT 【解析】选C.为第三象限角,故正弦线为MP,正切线为AT,C正确.3.(教材二次开发:练习改编)已知(0 2)的正弦线和余弦线长度相等,且 符号相同,那么 的值为_.【解析】根据正弦线和余弦线的定义知,当(0m的角 的范围.2.利用三角函数线解形如cos m
3、,cos m(|m|1)的不等式(1)画出如图所示的单位圆;在x轴上截取OM=|m|,过点(m,0)作x轴的垂线交单位 圆于两点P和P,作射线OP和OP.(2)写出终边在OP和OP上的角的集合.(3)图中阴影部分(含边界)即为满足不等式 cos m的角 的范围,其余部分(不含边界)即为满足不等式cos m的角 的范围.【跟踪训练】在-,上,满足sin x 的x的取值范围是_.【解析】如图所示,由于sin =sin =,所以满足sin x 的x的范围为 .答案:656121212566，566，类型三 三角函数线的综合应用(逻辑推理)角度1 利用三角函数线比较大小 【典例】已知a=sin ,b=
4、cos ,c=tan ,则()A.abc B.acb C.bca D.bac【思路导引】利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点:关键:在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线.注意点:比较大小,既要注意三角函数线的长短,又要注意方向.272727【解析】选D.因为 ,作出角 的三角函数线,如图可知 cos sin tan ,即bac.247227272727 角度2 利用三角函数线证明不等关系 【典例】已知0 x ,利用单位圆证明:sin xxtan x.【思路导引】作出三角函数线BP,OB,AE,由SOPAS扇形OPASOAE,分别表示出3个 面积,可推得BP AE,所以sin xxtan
5、 x,据此判断即可.2AP【证明】如图作三角函数线BP,OB,AE,因为SOPAS扇形OPASOAE,SOPA=1BP,S扇形OPA=1 ,SOAE=1AE,所以BP AE,所以sin xxtan x.1212AP12AP【解题策略】利用三角函数线比较大小的关注点(1)三角函数线是一个角的三角函数值的体现,从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负,其长度是三角函数值的绝对值.(2)比较两个三角函数值的大小,不仅要看长度,还要看其方向.提醒:在利用三角函数线比较大小时,要注意三角函数线的方向,即注意三角函数值的正负.【题组训练】1.若点P 在第一象限,则在0,2)内 的取值范围是()【解析】选
6、A.点P 在第一象限 如图所示:在0,2)内的取值范围是 .(sincostan)，535A.()()B.()()4 2424435333C.()()D.()()2442244 ，5()()4 24 ，(sincostan)，sincos0tan0 ，sincostan0 ，2.如果 ,那么下列各式中正确的是()A.cos tan sin B.sin cos tan C.tan cos sin D.cos sin tan 【解析】选C.由于 ,如图所示,正弦线MP,余弦线OM,正切线AT,由此容易得到ATOM0MP,即tan cos sin.2342341.下列命题:一定时,单位圆中的正弦线一
7、定;单位圆中,有相同正弦线的角相等;和+有相同的正切线;具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上.其中不正确命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选B.由三角函数线的定义知正确,不正确.课堂检测素养达标 2.如果OM,MP分别是角=的余弦线和正弦线,那么下列结论正确的是()A.MPOM0 B.MP0OM0 D.OMMP0【解析】选D.角 的余弦线、正弦线相等,结合图象可知角=的余弦线和 正弦线满足OMMP0.5453.已知 的正弦线为MP,正切线为AT,则有()A.MP与AT的方向相同 B.|MP|=|AT|C.MP0,AT0 D.MP0【解析】选A.三角函数线的方向和三角函数值的符号是一致的.MP=sin 0,AT=tan 0.1161161164.若角 的余弦线长度为0,则它的正弦线的长度为_.【解析】若角 的余弦线长度为0,则终边与y轴重合,此时正弦线的长度为1.答案:1 5.在单位圆中画出适合cos -的角 终边的范围,并由此写出角 的集 合.【解析】作直线x=-,交单位圆于C,D两点,连接OC与OD,则OC与OD围成的区域(图中的阴影部分)即为角的终边的范围.故 满足条件的角的集合为 121224|2k2kkZ.33 ，