1、第三章 指数运算与指数函数微专题集训三 指数运算及指数函数的应用专题1指数运算1.%0￥74￥9*%(2020合肥一中月考)已知x-23=4,则x等于()。A.18 B.8 C.344 D.232答案：A解析：由题意,可知x-23=4,可得13x2=4,即3x2=14,所以x2=164,解得x=18。故选A。2.%*￥9449#%(2020上饶一中月考)已知集合A=x|0x1,B=x|2x1,设全集U=R,则U(AB)=()。A.(-,1)B.(1,+)C.(-,1D.1,+)答案：B解析：B=x|2x1=x|2x1=20=x|x0,AB=x|x1。全集U=R,U(AB)=(1,+),故选B。
2、3.%*6*188%(2020九江中学月考)式子a-1a经过化简可得到()。A.-aB.aC.-aD.-a答案：D解析：因为a-1a,所以a0且a1)与函数y=(a-1)x2-2x-1在同一个坐标系内的图像可能是()。A. B. C. D.图3-1答案：C解析：两个函数分别为指数函数和二次函数,其中二次函数的图像过(0,-1)点,故排除A,D。二次函数的对称轴为直线x=1a-1,当0a1时,指数函数递减,1a-11时,指数函数递增,1a-10,B不合题意,故选C。8.%8*78*#6%(2020华师一附中月考)函数y=ax-2+1(a0且a1)的图像必经过点()。A.(0,1)B.(1,1)C
3、.(2,1)D.(2,2)答案：D解析： y=ax-2+1(a0且a1),当x=2时,y=a2-2+1=a0+1=1+1=2,故y的图像必过点(2,2)。故选D。9.%#20*90%(2020江西师大附中检测)若函数f(x)=|2x-4|-a存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a的取值范围为()。A.(0,4)B.(0,+)C.(3,4)D.(3,+)答案：C解析：如图,若f(x)=|2x-4|-a存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a(3,4)。故选C。10.%5*700%(2020芜湖一中期中)已知函数g(x)=3x+t的图像不经过第二象限,则t的取值范围为()。A.t-1
4、B.ta4x-1(a0且a1)中x的取值范围。答案：解:设y=ax(a0且a1),若0aa4x-12x-7-3;若a1,则y=ax为增函数,a2x-7a4x-12x-74x-1,解得x-3,综上,当0a1时,x的取值范围是(-,-3)。12.%9￥#0#9#5%(2020陕师大附中期中)求函数y=13x2-4x,x0,5)的值域。答案：解:令u=x2-4x,x0,5),则-4u5,当-4u5时,y=13u是减函数,则135y13-4,1243y81,即值域为1243,81。13.%959￥#7￥%(2020黄冈中学月考)已知函数f(x)=4x4x+2。(1)若0a1,求f(a)+f(1-a)的
5、值;答案：解:f(a)+f(1-a)=4a4a+2+41-a41-a+2=4a4a+2+44+2-4a=4a4a+2+24a+2=1;(2)求f12 013+f22 013+f2 0122 013的值。答案：由(1)可得f12 013+f2 0122 013=f22 013+f2 0112 013=1,所以f12 013+f22 013+f2 0122 013=11 006=1 006。专题3指数函数的应用14.%38￥7￥8#*%(2020临川一中月考)某种细胞在生长过程中,每10 min分裂一次(由一个分裂为两个),经过2 h后,此细胞可由一个分裂成()。A.511个B.512个C.211
6、个D.212个答案：D解析：依题知,10 min后个数为21个,20 min后个数为22个,所以2 h后即为120 min后个数应为212个。故选D。15.%*054*￥8#%(2020合肥168中学检测)春天,池塘中小荷尖角渐露,已知每一天荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍,若荷叶30天可以完全覆盖池塘水面,则当荷叶覆盖水面面积一半时,荷叶已生长了()。A.15天B.20天C.29天D.30天答案：C解析：荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系式为y=2x,当x=30时,长满水面,所以生长29天时,布满水面的一半。故选C。16.%036￥*5%(2020枣庄八中检测)已知函数f(x)=4x-2x
7、+1-a没有零点,则实数a的取值范围是()。A.a0),则原函数可化为y=t2-2t-a=(t-1)2-1-a-1-a0a2时,函数的解析式为y=15t30-a,将点(2,1)代入得a=115,所以y=15t30-115。综上有y=12t,0t2,15t30-115,t2。(2)当容器中的溶液少于8 mL时,试验结束,则从注入溶液开始,至少需要经过多少分钟才能结束试验?答案：由题可得y0.008=1125,即得12t1125,0t2或15130t-1151125,t2,所以0t2125或t92。由题意知至少需要经过92 min后,试验才能结束。18.%￥7#7￥9￥2%(2020武汉中学期中)
8、已知定义在R上的函数f(x)=3x-93x。(1)若f(x)=8,求x的值;答案：解:f(x)=3x-93x=8,即(3x)2-83x-9=0,则3x=9或3x=-1(舍去),所以x=2。(2)对于任意的x0,2,f(x)-33x+13-m0恒成立,求实数m的取值范围。答案：由题意知,mf(x)-33x+13=3x-93x-33x+13=3x2-33x+4。设y=3x2-33x+4,令t=3x,由x0,2,知t1,9,故y=t2-3t+4,当t=32时,y取得最小值74,m74。19.%92￥3*#4%(2020团风中学月考)已知函数f(x)=ex-e-x2,g(x)=ex+e-x2。(1)试
9、判断函数f(x)与g(x)的奇偶性;答案：由题意,函数f(x)=ex-e-x2,g(x)=ex+e-x2,可得定义域为R,f(-x)=e-x-ex2=-f(x),g(-x)=e-x+ex2=g(x),所以函数f(x)为奇函数,g(x)为偶函数。(2)若M(x)=f(x)2+g(x)2,求函数M(x)的最小值。答案：M(x)=f(x)2+g(x)2=ex-e-x22+ex+e-x22=e2x+e-2x2=(ex-e-x)2+221,当x=0时上式取得等号,则函数M(x)的最小值为1。20.%#￥98￥9￥9%(2020黄冈调考)设aR,函数f(x)=3x+a3x+1。(1)求a的值,使得f(x)为奇函数;答案：解:根据题意,函数f(x)=3x+a3x+1,其定义域为R,若f(x)为奇函数,则f(0)=30+a30+1=0,解得a=-1(经检验适合),故a=-1。(2)若f(x)a+33对任意的xR成立,求a的取值范围。答案：根据题意,f(x)a+33,即3x+a3x+1a+33,变形可得a-13x+1a3,即3(a-1)a(3x+1),分3种情况讨论:当a=0时,变形为-30时,变形为3a-3a3x+1,若3a-3a3x+1恒成立,必有3a-3a1,解得a32,此时a的取值范围为0,32;当a3x+1,不可能恒成立。综上可得a0,32。