1、课时跟踪检测 (三十九)数学归纳法一保高考，全练题型做到高考达标1若f(n)1(nN*)，则f(1)为()A1BC1 D非以上答案解析：选C等式右边的分母是从1开始的连续的自然数，且最大分母为6n1，则当n1时，最大分母为5，故选C2利用数学归纳法证明“(n1)(n2) (nn)2n13(2n1)，nN*”时，从“nk”变到“nk1”时，左边应增乘的因式是()A2k1 B2(2k1)C D解析：选B当nk(kN*)时，左式为(k1)(k2) (kk)；当nk1时，左式为(k11)(k12)(k1k1)(k1k)(k1k1)，则左边应增乘的式子是2(2k1)3用数学归纳法证明“n3(n1)3(n
2、2)3(nN*)能被9整除”，利用归纳法假设证明nk1时，只需展开()A(k3)3 B(k2)3C(k1)3 D(k1)3(k2)3解析：选A假设nk时，原式k3(k1)3(k2)3能被9整除，当nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k3)3展开，让其出现k3即可4平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为()An1 B2nC Dn2n1解析：选C1条直线将平面分成11个区域；2条直线最多可将平面分成1(12)4个区域；3条直线最多可将平面分成1(123)7个区域；n条直线最多可将平面分成1(123n)1个区域5用数学归纳法证明12
3、3n2，则当nk1时左端应在nk的基础上加上的项为_解析：当nk时左端为123k(k1)(k2)k2，则当nk1时，左端为123k2(k21)(k22)(k1)2，故增加的项为(k21)(k22)(k1)2答案：(k21)(k22)(k1)26设数列an的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有：(Sn1)2anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn_解析：由(S11)2S得，S1；由(S21)2(S2S1)S2得，S2；由(S31)2(S3S2)S3得，S3猜想Sn答案：7用数学归纳法证明等式12223242(1)n1n2(1)n1证明：(1)当n1时，左边121，右边(1)01，左边右边，
4、原等式成立(2)假设nk(kN*)时，等式成立，即有12223242(1)k1k2(1)k1那么，当nk1时，则有12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1(1)k(k1)2(1)kk2(k1)(1)knk1时，等式也成立，由(1)(2)知对任意nN*有12223242(1)n1n2(1)n18已知点Pn(an，bn)满足an1anbn1，bn1(nN*)，且点P1的坐标为(1，1)(1)求过点P1，P2的直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于nN*，点Pn都在(1)中的直线l上解：(1)由题意得a11，b11，b2，a21，P2直线l的方程为，即2xy1(2)证明：当n
5、1时，2a1b121(1)1成立假设nk(k1且kN*)时，2akbk1成立则2ak1bk12akbk1bk1(2ak1)1，当nk1时，2ak1bk11也成立由知，对于nN*，都有2anbn1，即点Pn在直线l上9已知数列，当n2时，an1，又a10，aan11a，求证：当nN*时，an1a2(2)假设当nk(kN*)时，ak1ak，aa(aak21)(aak11)(ak2ak1)(ak2ak11)，ak10，又ak2ak111(1)11，ak2ak10，ak2ak1，即当nk1时，命题成立由(1)(2)可知，当nN*时，an1an二上台阶，自主选做志在冲刺名校1设等差数列an的公差d0，且
6、a10记Tn(1)用a1，d分别表示T1，T2，T3，并猜想Tn；(2)用数学归纳法证明你的猜想解：(1)T1；T2；T3由此可猜想：Tn(2)证明：当n1时，T1结论成立假设当nk(kN*)时结论成立，即Tk则当nk1时，Tk1Tk即nk1时，结论成立由可知，Tn对于一切nN*恒成立2已知数列an满足a1a2，an(n2，nN*)(1)求证：对任意nN*，an2恒成立；(2)判断数列an的单调性，并说明你的理由；(3)设Sn为数列an的前n项和，求证：当a3时，Sn2n解：(1)证明：用数学归纳法证明an2(nN*)：当n1时，a1a2，结论成立；假设nk(k1)时结论成立，即ak2，则nk1时，ak12，所以nk1时，结论成立故由及数学归纳法原理，知对一切的nN*，都有an2成立(2)an是单调递减的数列因为aaan2a(an2)(an1)，又an2，所以aa0，所以an1an这说明an是单调递减的数列(3)证明：由an1，得aan2，所以a4an2根据(1)知an2(nN*)，所以，所以an12(an2)2(an12)n(a12)所以，当a3时，an12n，即an1n2当n1时，S132，当n2时，Sn3a2a3an332(n1)2n12n综上，当a3时，Sn2n(nN*)
