1、专题能力训练10三角变换与解三角形一、能力突破训练1.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知c=3+1,b=2,A=3,则B=()A.34B.6C.4D.4或342.已知cos(-2)sin-4=-22,则sin +cos 等于()A.-72B.72C.12D.-123.在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A),则A=()A.34B.3C.4D.64.在ABC中,cos C2=55,BC=1,AC=5,则AB=()A.42B.30C.29D.255.已知a,b,c分别是ABC的内角A,B,C的对边,若cbcos A,则ABC的
2、形状为()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形6.函数f(x)=sin2x+32-3cos x的最小值为.7.公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分割值约为0.618,这一数值也可以表示为m=2sin 18.若m2+n=4,则m+nsin63=.8.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin 2B=3bsin A.(1)求角B;(2)若cos A=13,求sin C的值.9.已知A,B,C是ABC的内角,a,b,c分别是角A,B,C的对边.若cos2B-sin2A-sin Asin B=cos2C.(1)求角
3、C;(2)若A=6,ABC的面积为3,M为BC的中点,求AM的长.10.设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A,且B为钝角.(1)证明:B-A=2;(2)求sin A+sin C的取值范围.11.设函数f(x)=sin x,xR.(1)已知0,2),函数f(x+)是偶函数,求的值;(2)求函数y=f(x+12)2+f(x+4)2的值域.二、思维提升训练12.若02,-20,cos4+=13,cos4-2=33,则cos+2等于()A.33B.-33C.539D.-6913.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin C,c
4、os A=-14,则bc=()A.6B.5C.4D.314.已知角的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2=23,则|a-b|=()A.15B.55C.255D.115.在ABC中,AB=AC=4,BC=2,点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则BDC的面积是,cosBDC=.16.在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边.已知cos2A-cos2B+sin2C=sin Bsin C=14,且ABC的面积为3,则a的值为.17.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsi
5、n C,b2+c2-a2=8,则ABC的面积为.18.已知向量a=2sin(x-4,3sin x),b=(sin(x+4),2cos x),函数f(x)=ab.(1)求函数f(x)的单调递减区间;(2)若f2=25,求sin2+6的值.专题能力训练10三角变换与解三角形一、能力突破训练1.C解析:由余弦定理,可得a=b2+c2-2bccosA=4+(3+1)2-2(3+1)=6.由正弦定理,可得sinB=bsinAa=2326=22.ba,B为锐角,B=4.2.D解析:cos(-2)sin-4=-cos2sin-4=sin2-2sin-4=2cos-4=2cos+2sin=-22,sin+co
6、s=-12,故选D.3.C解析:由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA,又因为b=c,所以a2=b2+b2-2bbcosA=2b2(1-cosA).由已知a2=2b2(1-sinA),所以sinA=cosA,因为A(0,),所以A=4.4.A解析:cosC=2cos2C2-1=-35,AB2=BC2+AC2-2BCACcosC=1+25+21535=32.AB=42.5.A解析:由cbcosA,得sinCsinBcosA.因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA,所以sinAcosB+sinBcosAsinBcosA,即sinAcosB0,所以cosB0,所以
7、角B为钝角,所以ABC为钝角三角形.6.-4解析:f(x)=sin2x+32-3cosx=-cos2x-3cosx=-2cos2x-3cosx+1=-2cosx+342+178.-1cosx1,当cosx=1时,f(x)取得最小值,且f(x)min=-4.故函数f(x)的最小值是-4.7.22解析:因为m=2sin18,m2+n=4,所以n=4-m2=4-4sin218=4cos218,所以m+nsin63=2sin18+2cos18sin63=22sin(18+45)sin63=22.8.解(1)在ABC中,由asinA=bsinB,可得asinB=bsinA,又由asin2B=3bsinA
8、,得2asinBcosB=3bsinA=3asinB,所以cosB=32,得B=6.(2)由cosA=13,可得sinA=223,则sinC=sin-(A+B)=sin(A+B)=sinA+6=32sinA+12cosA=26+16.9.解(1)由cos2B-sin2A-sinAsinB=cos2C,得sin2A+sinAsinB=sin2C-sin2B.由正弦定理,得c2-b2=a2+ab,即a2+b2-c2=-ab,所以cosC=a2+b2-c22ab=-ab2ab=-12.又0C0,所以A0,4,于是sinA+sinC=sinA+sin2-2A=sinA+cos2A=-2sin2A+si
9、nA+1=-2sinA-142+98.因为0A4,所以0sinA22,因此22-2sinA-142+9898.由此可知sinA+sinC的取值范围是22,98.11.解(1)因为f(x+)=sin(x+)是偶函数,所以,对任意实数x都有sin(x+)=sin(-x+),即sinxcos+cosxsin=-sinxcos+cosxsin,故2sinxcos=0,所以cos=0.又0,2),因此=2或32.(2)y=f(x+12)2+f(x+4)2=sin2(x+12)+sin2(x+4)=1-cos(2x+6)2+1-cos(2x+2)2=1-12(32cos2x-32sin2x)=1-32co
10、s(2x+3).故所求函数的值域是1-32,1+32.二、思维提升训练12.C解析:cos4+=13,02,sin4+=223.又cos4-2=33,-20,即tan=55,由三角函数定义得a=55,b=255,故|a-b|=55.15.152104解析:如图,取BC的中点E,DC的中点F,由题意知AEBC,BFCD.在RtABE中,cosABE=BEAB=14,cosDBC=-14,sinDBC=1-116=154.SBCD=12BDBCsinDBC=152.cosDBC=1-2sin2DBF=-14,且DBF为锐角,sinDBF=104.在RtBDF中,cosBDF=sinDBF=104.
11、综上可得,BCD的面积是152,cosBDC=104.16.23解析:在ABC中,由cos2A-cos2B+sin2C=sinBsinC=14,得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,即b2+c2-a2=bc.由余弦定理,得cosA=b2+c2-a22bc=12.A(0,),A=3.由正弦定理,得bcsinBsinC=a2sin2A,即bc14=a2sin23,化简得a2=3bc.ABC的面积SABC=12bcsinA=3,bc=4,a2=12,解得a=23.17.233解析:由正弦定理及条件,得bc+cb=4absinC,所以csinC=2a,设ABC的外接圆半径为R,则cs
12、inC=2R,所以a=R.因为b2+c2-a2=80,所以cosA0,0A2,因为asinA=2R,所以sinA=12,A=6,所以cosA=b2+c2-a22bc=32,所以bc=833,所以SABC=12bcsinA=233.18.解(1)f(x)=ab=2sinx-4sinx+4+23sinxcosx=2sinx-4sinx-4+2+23sinxcosx=2sinx-4cosx-4+23sinxcosx=sin2x-2+3sin2x=-cos2x+3sin2x=232sin2x-12cos2x=2sin2x-6.由2+2k2x-632+2k,kZ,得3+kx56+k,kZ,所以f(x)的单调递减区间为3+k,56+k,kZ.(2)f2=25,2sin-6=25,sin-6=15,sin2+6=cos2+6-2=cos2-3=cos2-6=1-2sin2-6=1-2152=2325.
