1、第3讲等比数列及其前n项和基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1在等比数列an中，an0，且a1a1027，log3a2log3a9()A9 B6 C3 D2解析因为a2a9a1a1027，所以log3a2log3a9log3a2a9log3273.答案C2(2014福州质量检测)记等比数列an的前n项积为n，若a4a52，则8()A256 B81C16 D1解析依题意得8(a1a8)(a2a7)(a3a6)(a4a5)(a4a5)42416.答案C3在正项等比数列an中，an1an，a2a86，a4a65，则()A. B. C. D.解析设公比为q，则由题意知0q1，由得a43，a6
2、2，所以.答案D4(2014江西统一检测)已知等比数列an的前n项和为Sn，a4a178，S339，设bnlog3an，那么数列bn的前10项和为()Alog371 B. C50 D55解析设等比数列an的公比为q，由a4a1a1(q31)78，S3a1a2a3a1(1qq2)39，所以q12，解得q3，a13，所以an3n，bnlog33nn，则数列bn是等差数列，前10项的和为55，故选D.答案D5(2015兰州模拟)已知数列an满足log3an1log3an1(nN)，且a2a4a69，则log(a5a7a9)的值是()A B5 C5 D.解析由log3an1log3an1(nN)，得l
3、og3an1log3an1且an0，即log31，解得3，所以数列an是公比为3的等比数列因为a5a7a9(a2a4a6)q3，所以a5a7a993335.所以log(a5a7a9)log35log3355.答案B二、填空题6(2014安徽卷)数列an是等差数列，若a11，a33，a55构成公比为q的等比数列，则q_.解析设an公差为d，则a3a12d，a5a14d，所以(a12d3)2(a11)(a14d5)，解得d1，所以q1.答案17(2014杭州质量检测)设数列an是各项均为正数的等比数列，若a1a2n14n，则数列an的通项公式是_解析设数列an的公比为q，则由题意知a10，q0.由
4、a1a2n14n得a1a1q2n24n，即(a1qn1)2(2n)2，所以a1qn12n，所以数列an的通项公式为an2n.答案An2n8(2014西安调研)已知各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若S43S2，a32，则a7_.解析设等比数列an的首项为a1，公比为q，显然q1且q0，因为S43S2，所以，解得q22，因为a32，所以a7a3q42228.答案8三、解答题9已知an是等差数列，满足a13，a412，数列bn满足b14，b420，且bnan为等比数列(1)求数列an和bn的通项公式；(2)求数列bn的前n项和解(1)设等差数列an的公差为d，由题意得d3.所以ana1(
5、n1)d3n(nN)设等比数列bnan的公比为q，由题意得q38，解得q2.所以bnan(b1a1)qn12n1.从而bn3n2n1(nN)(2)由(1)知bn3n2n1(nN)数列3n的前n项和为n(n1)，数列2n1的前n项和为12n1.所以数列bn的前n项和为n(n1)2n1.10已知在正项数列an中，a12，点An(，)在双曲线y2x21上，数列bn中，点(bn，Tn)在直线yx1上，其中Tn是数列bn的前n项和(1)求数列an的通项公式；(2)求证：数列bn是等比数列(1)解由已知点An在y2x21上知，an1an1，数列an是一个以2为首项，以1为公差的等差数列，ana1(n1)d
6、2n1n1.(2)证明点(bn，Tn)在直线yx1上，Tnbn1，Tn1bn11(n2)，两式相减得bnbnbn1(n2)，bnbn1，bnbn1(n2)令n1，得b1b11，b1，bn是一个以为首项，以为公比的等比数列能力提升题组(建议用时：25分钟)11数列an中，已知对任意nN，a1a2a3an3n1，则aaaa等于()A(3n1)2 B.(9n1)C9n1 D.(3n1)解析a1a2an3n1，nN，n2时，a1a2an13n11，当n2时，an3n3n123n1，又n1时，a12适合上式，an23n1，故数列a是首项为4，公比为9的等比数列因此aaa(9n1)答案B12(2013福建
7、卷)已知等比数列an的公比为q，记bnam(n1)1am(n1)2am(n1)m，cnam(n1)1am(n1)2am(n1)m(m，nN*)，则以下结论一定正确的是()A数列bn为等差数列，公差为qmB数列bn为等比数列，公比为q2mC数列cn为等比数列，公比为qm2D数列cn为等比数列，公比为qmm解析bnam(n1)(qq2qm)qm(常数)bn1bn不是常数又cn(am(n1)mq12mm，m(qm)mqm2(常数)cn1cn不是常数选C.答案C13已知数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值是_解析1，a1，a2，4成等差数列，设公差为d，则a2a
8、1d(4)(1)1，1，b1，b2，b3，4成等比数列，b(1)(4)4，b22，若设公比为q，则b2(1)q2，b20.b22，.答案14等比数列cn满足cn1cn104n1(nN)，数列an的前n项和为Sn，且anlog2cn.(1)求an，Sn；(2)数列bn满足bn，Tn为数列bn的前n项和，是否存在正整数m，k(1mk)，使得T1，Tm，Tk成等比数列？若存在，求出所有m，k的值；若不存在，请说明理由解(1)设数列cn的公比为q，由题意知，c1c210，c2c3c1qc2q40，即解得所以cn24n122n1，所以anlog222n12n1，Snn2.(2)由(1)知bn，于是Tn.假设存在正整数m，k(1mk)，使得T1，Tm，Tk成等比数列，则2，可得0，所以2m24m10，从而有1m1，由mN，m1，得m2，此时k12.当且仅当m2，k12时，T1，Tm，Tk成等比数列