1、第3讲导数的应用(二)基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(2014湖南卷)若0x1x21，则()Aex2ex1ln x2ln x1 Bex2ex1ln x2ln x1Cx2ex1x1ex2 Dx2ex1x1ex2解析令f(x)，则f(x).当0x1时，f(x)0，即f(x)在(0,1)上单调递减，0x1x21，f(x2)f(x1)，即，x2ex1x1ex2，故选C.答案C2某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的函数关系是RR(x)则总利润最大时，每年生产的产品是()A100 B150 C200 D300解析由题
2、意得，总成本函数为CC(x)20 000100x，总利润P(x)又P(x)令P(x)0，得x300，易知x300时，总利润P(x)最大答案D3(2015金华十校联考)若函数f(x)2x39x212xa恰好有两个不同的零点，则a可能的值为()A4 B6 C7 D8解析由题意得f(x)6x218x126(x1)(x2)，由f(x)0得x1或x2，由f(x)0得1x2，所以函数f(x)在(，1)，(2，)上单调递增，在(1,2)上单调递减，从而可知f(x)的极大值和极小值分别为f(1)，f(2)，若欲使函数f(x)恰好有两个不同的零点，则需使f(1)0或f(2)0，解得a5或a4，而选项中只给出了4
3、，所以选A.答案A4设函数f(x)的定义域为R，x0(x00)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()AxR，f(x)f(x0)Bx0是f(x)的极小值点Cx0是f(x)的极小值点Dx0是f(x)的极小值点解析A错，因为极大值未必是最大值；B错，因为函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于y轴对称，x0应是f(x)的极大值点；C错，函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于x轴对称，x0应为f(x)的极小值点；D正确，函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点对称，x0应为yf(x)的极小值点答案D5(2014新课标全国卷)已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0
4、0，则a的取值范围是()A(2，) B(1，)C(，2) D(，1)解析(1)当a0时，显然f(x)有两个零点，不符合题意(2)当a0时，f(x)3ax26x，令f(x)0，解得x10，x2.当a0时，0，所以函数f(x)ax33x21在(，0)和上为增函数，在上为减函数，因为f(x)存在唯一零点x0，且x00，则f(0)0，即10，不成立当a0时，0，所以函数f(x)ax33x21在和(0，)上为减函数，在上为增函数，因为f(x)存在唯一零点x0，且x00，则f0，即a310，解得a2或a2，又因为a0，故a的取值范围为(，2)答案C二、填空题6(2014唐山模拟)已知a0，函数f(x)x3
5、ax2bxc在区间2,2上单调递减，则4ab的最大值为_解析f(x)x3ax2bxc，f(x)3x22axb，函数f(x)在区间2,2上单调递减，即即4ab12，4ab的最大值为12.答案127(2015湖州质检)已知函数f(x)ax33x1对x(0,1总有f(x)0成立，则实数a的取值范围是_ .解析当x(0,1时不等式ax33x10可化为a，设g(x)，x(0,1，g(x).g(x)与g(x)随x的变化情况如下表：xg(x)0g(x) 极大值4 因此g(x)的最大值为4，则实数a的取值范围是4，)答案4，)8已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m，n1,1，则f(m)f(n)的
6、最小值是_解析对函数f(x)求导得f(x)3x22ax，由函数f(x)在x2处取得极值知f(2)0，即342a20，a3.由此可得f(x)x33x24，f(x)3x26x，易知f(x)在(1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，当m1,1时，f(m)minf(0)4.又f(x)3x26x的图象开口向下，且对称轴为x1，当n1,1时，f(n)minf(1)9.故f(m)f(n)的最小值为13.答案13三、解答题9(2014衢州一模)设函数f(x)ln x，g(x)ax，函数f(x)的图象与x轴的交点也在函数g(x)的图象上，且在此点有公切线(1)求a，b的值；(2)试比较f(x)与g(x)的
7、大小解(1)f(x)ln x的图象与x轴的交点坐标是(1,0)，依题意，得g(1)ab0，又f(x)，g(x)a，又f(x)与g(x)在点(1,0)处有公切线，g(1)f(1)1，即ab1，由得a，b.(2)令F(x)f(x)g(x)，则F(x)ln xln xx(x0)，F(x)20.F(x)在(0，)上为减函数，且F(1)0，当0x1时，F(x)F(1)0，即f(x)g(x)；当x1时，F(x)F(1)0，即f(x)g(x)；当x1时，F(x)F(1)0，即f(x)g(x)综上可知，当0xg(x)；当x1时，f(x)g(x)；当x1时，即f(x)g(x)10(2014新课标全国卷)已知函数
8、f(x)x33x2ax2，曲线yf(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为2.(1)求a；(2)证明：当k1时，曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点(1)解f(x)3x26xa，f(0)a，曲线yf(x)在点(0,2)处的切线方程为yax2.由题设得2，所以a1.(2)证明由(1)知，f(x)x33x2x2.设g(x)f(x)kx2x33x2(1k)x4.由题设知1k0.当x0时，g(x)3x26x1k0，g(x)单调递增，g(1)k10，g(0)4，所以g(x)0在(，0上有唯一实根当x0时，令h(x)x33x24，则g(x)h(x)(1k)xh(x)h(x)3x26x3x(x2
9、)，h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增，所以g(x)h(x)h(2)0.所以g(x)0在(0，)上没有实根综上，g(x)0在R上有唯一实根，即曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点能力提升题组(建议用时：35分钟)11(2014辽宁卷)当x2,1时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是()A5，3 B.C6，2 D4，3解析由题意知x2,1都有ax3x24x30，即ax3x24x3在x2,1上恒成立当x0时，ax3x24x30恒成立，即30，aR.当0x1时，a.令t(t1)，g(t)3t34t2t，因为g(t)9t28t10(t1)，所以g(t)在1，)上
10、单调递减，g(t)maxg(1)6(t1)，所以a6.当2x0时，a，同理，g(t)在(，1上递减，在上递增因此g(t)ming(1)2，所以a2.综上，6a2.答案C12(2014大连模拟)已知函数f(x)x3ax2xc(xR)，下列结论错误的是()A函数f(x)一定存在极大值和极小值B若函数f(x)在(，x1)，(x2，)上是增函数，则x2x1C函数f(x)的图象是中心对称图形D函数f(x)一定存在三个零点解析对于A，f(x)3x22ax1，4a2120，因此函数f(x)3x22ax1恒有两个相异零点x3，x4(其中x3x4)，易知函数f(x)的递增区间是(，x3)与(x4，)，递减区间是
11、(x3，x4)，函数f(x)一定存在极大值与极小值，选项A正确对于B，由A知，x3x4，x3x4，则x4x3，又x1x3，x4x2，因此x2x1x4x3，选项B正确对于C，函数f(x)的解析式可以通过配方的方法化为形如(xm)3n(xm)h的形式，通过平移函数图象，函数的解析式可以化为yx3nx的形式，这是一个奇函数，其图象关于坐标原点对称，故函数f(x)的图象是中心对称图形，所以C正确对于D，取ac1，得f(x)x3x2x1(x1)2(x1)，此时函数f(x)仅有两个相异零点，因此选项D不正确综上所述，选D.答案D13已知f(x)xex，g(x)(x1)2a，若x1，x2R，使得f(x2)g
12、(x1)成立，则实数a的取值范围是_解析f(x)exxexex(1x)当x1时，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x1时，f(x)0，函数f(x)单调递减所以函数f(x)的最小值为f(1).而函数g(x)的最大值为a，则由题意，可得a，即a.答案14(2013北京卷)已知函数f(x)x2xsin xcos x.(1)若曲线yf(x)在点(a，f(a)处与直线yb相切，求a与b的值；(2)若曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点，求b的取值范围解由f(x)x2xsin xcos x，得f(x)2xsin xx(sin x)sin xx(2cos x)(1)因为曲线yf(x)在点(a，f(a)处
13、与直线yb相切，所以f(a)a(2cos a)0，bf(a)解得a0，bf(0)1.(2)设g(x)f(x)bx2xsin xcos xb.令g(x)f(x)0x(2cos x)0，得x0.当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0，)g(x)0g(x) 1b所以函数g(x)在区间(，0)上单调递减，在区间(0，)上单调递增，且g(x)的最小值为g(0)1b.当1b0时，即b1时，g(x)0至多有一个实根，曲线yf(x)与yb最多有一个交点，不合题意当1b1时，有g(0)1b4b2b1b0.yg(x)在(0,2b)内存在零点，又yg(x)在R上是偶函数，且g(x)在(0，
14、)上单调递增，yg(x)在(0，)上有唯一零点，在(，0)也有唯一零点故当b1时，yg(x)在R上有两个零点，则曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点综上可知，如果曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，)15(2014四川卷)已知函数f(x)exax2bx1，其中a，bR，e2.718 28为自然对数的底数(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间0,1上的最小值；(2)若f(1)0，函数f(x)在区间(0,1)内有零点，证明：e2a1.(1)解由f(x)exax2bx1，有g(x)f(x)ex2axb，所以g(x)ex2a.当x0,1时，g(x)1
15、2a，e2a，当a时，g(x)0，所以g(x)在0,1上单调递增，因此g(x)在0,1上的最小值是g(0)1b；当a时，g(x)0，所以g(x)在0,1上单调递减因此g(x)在0,1上的最小值是g(1)e2ab；当a时，令g(x)0，得xln (2a)(0,1)，所以函数g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间(ln(2a)，1上单调递增于是，g(x)在0,1上的最小值是g(ln(2a)2a2aln(2a)b.综上所述，当a时，g(x)在0,1上的最小值是g(0)1b；当a时，g(x)在0,1上的最小值是g(ln(2a)2a2aln(2a)b；当a时，g(x)在0,1上的最小值是g(1
16、)e2ab.(2)证明设x0为f(x)在区间(0,1)内的一个零点，则由f(0)f(x0)0可知f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1，同理，g(x)在区间(x0,1)内存在零点x2，所以g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点由(1)知，当a时，g(x)在0,1上单调递增，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点当a时，g(x)在0,1上单调递减，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点，所以a.此时g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间(ln(2a)，1上单调递增，因此x1(0，ln(2a)，x2(ln(2a)，1)，必有g(0)1b0，g(1)e2ab0.由f(1)0有abe12，有g(0)ae20，g(1)1a0，解得e2a1.所以函数f(x)在区间(0,1)内有零点时，e2a1.