1、第三篇导数及其应用第1讲导数的概念及运算知 识 梳 理1函数yf(x)在xx0处的导数(1)定义：设函数yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，当x无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称f(x)在xx0处可导，并称常数A为函数f(x)在点xx0处的导数，记作f(x0)可表示为“当x0时，A”(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是过曲线yf(x)上点(x0，f(x0)的切线的斜率2函数f(x)的导函数若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数该函数称为f(x)的导函数，记作f
2、(x)3基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)C(C为常数)f(x)0f(x)xn(nQ*)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)exf(x)exf(x)ax(a0，a1)f(x)axln_af(x)ln xf(x)f(x)logax (a0，a1)f(x)4.导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)5复合函数的导数若yf(u)，uaxb，则yxyuux，即yxyua.辨 析 感 悟1对导数概念的理解(1)f
3、(x0)是函数yf(x)在xx0附近的平均变化率()(2)f(x0)与f(x0)表示的意义相同()(3)f(x0)是导函数f(x)在xx0处的函数值()2导数的几何意义与物理意义(4)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点()(5)物体的运动方程是s4t216t，在某一时刻的速度为0，则相应时刻t0.()(6)(2012广东卷改编)曲线yx3x3在点(1,3)处的切线方程为2xy10.()3导数的计算(7)若f(x)a32axx2，则f(x)3a22x.()(8)(教材习题改编)函数yxcos xsin x的导函数是yxsin x()(9)f(axb)f(axb)()感悟提升1“过某点”与“在某
4、点”的区别曲线yf(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，如(6)中点(1,3)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点2导数运算及切线的理解应注意的问题一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点，如(4)三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积，如(9).学生用书第37页考点一导数的计算【例1】 分别求下列
5、函数的导数：(1)yexcos x；(2)yxsin cos ；(3)y.解(1)y(ex)cos xex(cos x)excos xexsin x.(2)yxsin cos xsin x，y1cos x.(3)y.规律方法 (1)本题在解答过程中常见的错误有：商的求导中，符号判定错误；不能正确运用求导公式和求导法则，在第(3)小题中，忘记对内层函数2x1进行求导(2)求函数的导数应注意：求导之前利用代数或三角变换先进行化简，减少运算量；根式形式，先化为分数指数幂，再求导复合函数求导先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理【训练1】 (1)(2013江西卷改编)设函数f(x)在(0，
6、)内可导，且f(ex)xex，则f(1)_.(2)若f(x)e2x，则f(x)_.解析(1)令ext，则xln t，f(t)ln tt，即f(x)ln xx.因此f(x)(ln xx)1，于是f(1)112.(2)f(x)(3x)(3x)e2x(2x)(3x)2e2x.考点二导数的几何意义【例2】 (1)(2013广东卷)若曲线ykxln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k_.(2)设f(x)xln x1，若f(x0)2，则f(x)在点(x0，y0)处的切线方程为_解析(1)函数ykxln x的导函数yk，由导数y|x10，得k10，则k1.(2)因为f(x)xln x1，所以f(x)l
7、n xxln x1.因为f(x0)2，所以ln x012，解得x0e，所以y0e1.由点斜式得，f(x)在点(e，e1)处的切线方程为y(e1)2(xe)，即2xye10.答案(1)1(2)2xye10规律方法 (1)导数f(x0)的几何意义就是函数yf(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率第(1)题要能从“切线平行于x轴”提炼出切线的斜率为0，进而构建方程，这是求解的关键，考查了分析问题和解决问题的能力(2)在求切线方程时，应先判断已知点Q(a，b)是否为切点，若已知点Q(a，b)不是切点，则应求出切点的坐标，利用切点坐标求出切线斜率，进而用切点坐标表示出切线方程【训练2】 (1)(201
8、2新课标全国卷)曲线yx(3ln x1)在点(1,1)处的切线方程为_(2)若函数f(x)excos x，则此函数图象在点(1，f(1)处的切线的倾斜角为_(锐角、直角、钝角)解析(1)yx(3ln x1)，y3ln x1x3ln x4，ky|x14，所求切线的方程为y14(x1)，即4xy30.(2)f(x)excos xexsin xex(cos xsin x)，f(1)e(cos 1sin 1)1.而由正余弦函数性质可得cos 1sin 1.f(1)0，即f(x)在(1，f(1)处的切线的斜率k0对x0且x1恒成立研究函数yg(x)的性质获得结论解(1)设f(x)，则f(x).f(1)1
9、，即切线l的斜率k1.由l过点(1,0)，得l的方程为yx1.(2)令g(x)x1f(x)，则除切点之外，曲线C在直线l的下方等价于g(x)0(x0，x1)g(x)满足g(1)0，且g(x)1f(x).当0x1时，x210，ln x0，g(x)1时，x210，ln x0，g(x)0，g(x)单调递增所以，g(x)g(1)0(x0，x1)所以除切点之外，曲线C在直线l的下方规律方法 (1)准确求切线l的方程是本题求解的关键；第(2)题将曲线与切线l的位置关系转化为函数g(x)x1f(x)在区间(0，)上大于0恒成立的问题，进而运用导数研究，体现了函数思想与转化思想的应用(2)当曲线yf(x)在点
10、P(x0，f(x0)处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，切线方程为xx0；当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解.学生用书第38页【训练3】 (2014济南质检)设函数f(x)aexb(0a0.当0xln 时，f(x)ln ，f(x)0.f(x)在上递减，在上递增从而f(x)在0，)上的最小值f2b.(2)yf(x)在点(2，f(2)处的切线为yx，f(2)3，且f(2)，解之得b且a.1理解导数的概念时，要注意f(x0)，(f(x0)与f(x)的区别：f(x)是函数yf(x)的导函数，f(x0)是f(x)在xx0处的导数值，是常量但不一定为0，(f(x0)是常数一定为0，即(f(
11、x0)0.2对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误3求曲线的切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别 易错辨析3求曲线切线方程考虑不周【典例】 (2014杭州质检)若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)x33x22x和yx2a都相切，则a的值是_错解点O(0,0)在曲线f(x)x33x22x上，直线l与曲线yf(x)相切于点O.则kf(0)2，直线l的方程为y2x.又直线l与曲线yx2a相切，x2a2x0满足44a0，a1.答案1错因(1)
12、片面理解“过点O(0,0)的直线与曲线f(x)x33x22x相切”这里有两种可能：一是点O是切点；二是点O不是切点，但曲线经过点O，解析中忽视后面情况(2)本题还易出现以下错误：一是当点O(0,0)不是切点，无法与导数的几何意义沟通起来；二是盲目设直线l的方程，导致解题复杂化，求解受阻正解易知点O(0,0)在曲线f(x)x33x22x上，(1)当O(0,0)是切点时，同上面解法(2)当O(0,0)不是切点时，设切点为P(x0，y0)，则y0x3x2x0，且kf(x0)3x6x02.又kx3x02，由，联立，得x0(x00舍)，所以k，所求切线l的方程为yx.由得x2xa0.依题意，4a0，a.
13、综上，a1或a.答案a1或防范措施(1)求曲线的切线方程应首先确定已知点是否为切点是求解的关键，分清过点P的切线与在点P处的切线的差异(2)熟练掌握基本初等函数的导数，导数的运算法则，正确进行求导运算【自主体验】函数yln x(x0)的图象与直线yxa相切，则a等于_解析设切点为(x0，y0)，且y，y|xx0，则x02，y0ln 2.又点(2，ln 2)在直线yxa上，ln 22a，aln 21.答案ln 21基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，则f(1)等于_解析f(x)4ax32bx，f(x)为奇函数且f(1)2，f(1)2.答案22
14、.如图，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是yx8，则f(5)f(5)_.解析如图可知，f(5)3，f(5)1，因此f(5)f(5)2.答案23(2014济南质检)设曲线y在点(3,2)处的切线与直线axy10垂直，则a_.解析y，y|x3，a2，即a2.答案24已知曲线yx23ln x的一条切线的斜率为，则切点横坐标为_解析设切点坐标为(x0，y0)，yx，y|xx0x0，即xx060，解得x02或3(舍)答案25(2014湛江调研)曲线ye2x1在点(0,2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为_解析y|x0(2e2x)|x02，故曲线ye2x1在点(0,2)处的切线方程为y2
15、x2，易得切线与直线y0和yx的交点分别为(1,0)，故围成的三角形的面积为1.答案6已知函数f(x)fcos xsin x，则f的值为_解析f(x)fsin xcos x，ffsin cos ，f1，f(1)cos sin 1.答案17(2013南通一调)曲线f(x)exf(0)xx2在点(1，f(1)处的切线方程为_解析f(x)exf(0)xf(1)e1f(0)1f(0)1.在函数f(x)exf(0)xx2中，令x0，则得f(1)e.所以f(1)e，所以f(x)在(1，f(1)处的切线方程为ye(x1)f(1)ex，即yex.答案yex8若以曲线yx3bx24xc(c为常数)上任意一点为切
16、点的切线的斜率恒为非负数，则实数b的取值范围是_解析yx22bx4，y0恒成立，4b2160，2b2.答案2,2二、解答题9已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a，bR)(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为3，求a，b的值；(2)若曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围解f(x)3x22(1a)xa(a2)(1)由题意得解得b0，a3或1.(2)曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线，关于x的方程f(x)3x22(1a)xa(a2)0有两个不相等的实数根，4(1a)212a(a2)0，即4a24a10，a.a的取值范围是.10已知函数f(x)x3
17、ax210.(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)在区间1,2内至少存在一个实数x，使得f(x)x，设g(x)x(1x2)，g(x)1，1x2，g(x)，即实数a的取值范围是.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1(2014北京西城质检)已知P，Q为抛物线x22y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为_解析依题意，得P(4,8)，Q(2,2)由y，得yx.在点P处的切线方程为y84(x4)，即y4x8.在点Q处的切线方程为y22(x2)，即y2x2.联立，得点A(1，4)答案42已知f(x)lo
18、gax(a1)的导函数是f(x)，记Af(a)，Bf(a1)f(a)，Cf(a1)，则A、B、C的大小关系为_解析记M(a，f(a)，N(a1，f(a1)，则由于Bf(a1)f(a)，表示直线MN的斜率，Af(a)表示函数f(x)logax在点M处的切线斜率；Cf(a1)表示函数f(x)logax在点N处的切线斜率由图象得，ABC.答案ABC3(2014武汉中学月考)已知曲线f(x)xn1(nN*)与直线x1交于点P，设曲线yf(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2 013x1log2 013x2log2 013x2 012的值为_解析f(x)(n1)xn，kf(1)n1，点
19、P(1,1)处的切线方程为y1(n1)(x1)，令y0，得x1，即xn，x1x2x2 012，则log2 013x1log2 013x2log2 013x2 012log2 013(x1x2x2 012)1.答案1二、解答题4(2013福建卷改编)已知函数f(x)xaln x(aR)(1)当a2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程；(2)当实数a0时，求函数f(x)的极值解函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.(1)当a2时，f(x)x2ln x，f(x)1(x0)，因而f(1)1，f(1)1，所以曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y1(x1)，即xy20.
20、(2)由f(x)1，x0.令f(x)0，得xa0.当x(0，a)时，f(x)0.从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值学生用书第39页第2讲利用导数研究函数的单调性、极值与最值知 识 梳 理1函数的单调性与导数的关系已知函数f(x)在某个区间(a，b)内可导，(1)如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单凋递增；(2)如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减2函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(
21、x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值(2)求可导函数极值的步骤求f(x)；求方程f(x)0的根；检查f(x)在方程f(x)0的根左右值的符号如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点3函数的最值与导数设函数f(x)在a，b上连续且在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求f(x)在(a，b)内的极值；将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值辨 析 感 悟1对函数的单调性与导数关系的理解(1)若函数f(x)在(a，b)
22、内恒有f(x)0，那么f(x)在(a，b)上单调递增；反之若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f(x)0.()(2)函数在其定义域内的离散的点处导数为0不影响函数的单调性()(3)(2012辽宁卷改编)函数yx2ln x的单调减区间为(1,1)()2对函数极值、最值概念的理解(4)导数为0的点一定是极值点()(5)函数f(x)x有极值()(6)(教材习题改编)函数f(x)x34x4在(0,3)上的最大值为4，最小值为.()感悟提升1一点提醒函数最值是“整体”概念，而函数极值是个“局部”概念，极大值与极小值没有必然的大小关系2两个条件一是f(x)0在(a，b)上成立，是f(x)在(a
23、，b)上单调递增的充分不必要条件，如(1)二是对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件，如(4)3三点注意一是求单调区间时应遵循定义域优先的原则二是函数的极值一定不会在定义域区间的端点处取到三是求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.考点一利用导数研究函数的单调性【例1】 (2013广东卷改编)设函数f(x)(x1)exkx2.(1)当k1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x0，)上是增函数，求实数k的取值范围解(1)当k1时，f(x)(x1)exx2，f(x)ex(x1)ex2xx(ex2
24、)令f(x)0，即x(ex2)0，xln 2或x0.令f(x)0，即x(ex2)0，0x0)，f(x).令f(x)0，解得x1或(舍去)当x(0,1)时，f(x)0.f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，)上是增函数故f(x)在x1处取得极小值f(1)3，f(x)无极大值规律方法 (1)可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值【训练2】 已知a，b是实数，1和1是函数f(x)x3ax2bx的两个极值点(1)求a和b的值；
25、(2)设函数g(x)的导函数g(x)f(x)2，求g(x)的极值点解(1)f(x)3x22axb.又1和1是函数f(x)的两个极值点，解得，a0，b3.(2)由(1)知，f(x)x33x，g(x)x33x2.由g(x)0，得(x1)2(x2)0，g(x)0的根为x2或1.当x2时，g(x)0；当2x0.x2是函数g(x)的极小值点当2x1时，g(x)0，故1不是g(x)的极值点所以g(x)的极小值点为2，无极大值点考点三利用导数求函数的最值【例3】 (2012重庆卷)已知函数f(x)ax3bxc在x2处取得极值为c16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在3,3上的最
26、小值审题路线(1)a，b的值；(2)求导确定函数的极大值求得c值求得极大值、极小值、端点值求得最值解(1)因f(x)ax3bxc，故f(x)3ax2b，由于f(x)在点x2处取得极值c16，故有即化简得解得(2)由(1)知f(x)x312xc，f(x)3x212.令f(x)0，得x2或2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x3(3，2)2(2,2)2(2,3)3f(x)00f(x)9c极大值 极小值 9c由表知f(x)在x2处取得极大值f(2)16c，f(x)在x2处取得极小值f(2)c16.由题设条件知，16c28，解得c12，此时f(3)9c21，f(3)9c3，f(2)c1
27、64，因此f(x)在3,3上的最小值为f(2)4.规律方法 在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别求解函数的最值时，要先求函数yf(x)在a，b内所有使f(x)0的点，再计算函数yf(x)在区间内所有使f(x)0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.学生用书第41页【训练3】 设函数f(x)xax2bln x，曲线yf(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.(1)求a，b的值；(2)令g(x)f(x)2x2，求g(x)在定义域上的最值解(1)f(x)12ax(x0)，又f(x)过点P(1,0)，且在点P处的切线斜率为2，即解得a1，b3.(2)由(1)知，f(x)xx
28、23ln x，其定义域为(0，)，g(x)2xx23ln x，x0，则g(x)12x.当0x0；当x1时，g(x)0，区间Ix|f(x)0(1)求I的长度(注：区间(，)的长度定义为)；(2)给定常数k(0,1)，当1ka1k时，求I长度的最小值突破：由理解区间长度的意义，转化为求不等式f(x)0的解集由求I的长度最小值，即求以a为自变量的区间长度d(a)，a1k,1k构成的函数的最小值，利用导数求解解(1)因为方程ax(1a2)x20(a0)有两个实根x10，x2，故f(x)0的解集为x|x1x0)令d(a)0，得a1.由于0k1，故当1ka1时，(1k)2a20，d(a)单调递增；当11，
29、d(a)0，d(a)单调递减所以当1ka1k时，d(a)的最小值必定在a1k或a1k处取得而1，故d(1k)d(1k)因此当a1k时，d(a)在区间1k,1k上取得最小值.反思感悟 (1)本题以不等式的解集构成的区间长度为命题背景，将导数求最值和含参数的不等式解法交汇，命题情境创新(2)解法创新，从不等式出发，构造函数利用导数判断函数的单调性，根据单调性确定最值d(1k)与d(1k)，并借助不等式性质比较二者的关系，体现了转化与化归的思想【自主体验】已知函数f(x)x2ex.(1)求f(x)的极小值和极大值；(2)当曲线yf(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围解易知f(x)
30、的定义域R，且f(x).令f(x)0，得x0或2.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x) 0 4e2由以上表知，f(x)的极小值为f(0)0；f(x)的极大值为4e2.(2)设切点为(t，f(t)，则l的方程为yf(t)(xt)f(t)所以l在x轴上的截距为m(t)ttt23.由已知和得t(，0)(2，)令h(x)x(x0)，则当x(0，)时，h(x)的取值范围是2，)；当x(，2)时，h(x)的取值范围是(，3)所以当t(，0)(2，)时，m(t)的取值范围是(，0)23，)综上，l在x轴上的截距的取值范围是(，0)23，).基础
31、巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1.已知函数yf(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数yf(x)的图象如右图所示，则该函数的图象是_(填序号)解析由yf(x)的图象知，yf(x)的图象为增函数，且在区间(1,0)上增长速度越来越快，而在区间(0,1)上增长速度越来越慢答案2(2014青岛模拟)函数f(x)x33x22在区间1,1上的最大值是_解析f(x)3x26x，令f(x)0，得x0或2.f(x)在1,0)上是增函数，f(x)在(0,1上是减函数f(x)maxf(x)极大值f(0)2.答案23(2014苏州模拟)函数yxex的最小值是_解析yexxex(1x)ex，令y0，则x1
32、，因为x1时，y0，x1时，y0，所以x1时，ymin.答案4(2013威海期末考试)函数yln xx2的极值点为_解析函数的定义域为(0，)，函数的导数为y2x，令y0，解得x，当x时，y0，当0x时，y0，所以当x时，函数取得极大值，故函数的极值点为.答案5(2013福建卷改编)设函数f(x)的定义域为R，x0(x00)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是_(填序号)xR，f(x)f(x0)x0是f(x)的极小值点x0是f(x)的极小值点x0是f(x)的极小值点解析错，因为极大值未必是最大值；错，因为函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于y轴对称，x0应是f(x)的极大值点；错，函
33、数yf(x)与函数yf(x)的图象关于x轴对称，x0应为f(x)的极小值点；正确，函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点对称，x0应为yf(x)的极小值点答案6若函数f(x)在x1处取极值，则a_.解析由f(x)0，x22xa0，x1，又f(x)在x1处取极值，x1是x22xa0的根，a3.答案37函数f(x)的单调递减区间是_解析f(x)，令f(x)0得ln x10，且ln x0.0x1或1xe，故函数的单调递减区间是(0,1)和(1，e)答案(0,1)，(1，e)8已知函数f(x)x24x3ln x在t，t1上不单调，则t的取值范围是_解析由题意知f(x)x4，由f(x)0得函数f(x)
34、的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，函数f(x)在区间t，t1上就不单调，由t1t1或t3t1，得0t1或2t0)，f(x)x5.令f(x)0，解得x2或3.当0x3时，f(x)0，故f(x)在(0,2)，(3，)上为增函数；当2x3时，f(x)0，故f(x)在(2,3)上为减函数由此可知f(x)在x2处取得极大值f(2)6ln 2，在x3处取得极小值f(3)26ln 3.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1(2014杭州质检)函数f(x)x22axa在区间(，1)上有最小值，则函数g(x)在区间(1，)上一定_(填序号)有最小值有最大值是减函数是增函
35、数解析由函数f(x)x22axa在区间(，1)上有最小值，可得a0，所以g(x)在(1，)上为增函数答案2(2013湖北卷改编)已知a为常数，函数f(x)x(ln xax)有两个极值点x1，x2(x1x2)，则下列结论正确的是_(填序号)f(x1)0，f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)0，f(x2)解析f(x)ln x12ax(x0)，依题意ln x12ax0有两个正实数根x1，x2(x1x2)设g(x)ln x12ax；则g(x)2a，显然当a0时不合题意，必有a0.令g(x)0，得x，于是g(x)在上是增函数，在上是减函数，所以g(x)在x处取得极大值，所
36、以fln0，即1,0a，且应有x1x2.于是f(x1)x1ln x1axx1(2ax11)axaxx1x1(ax11)0.又x时f(x)0，x(x2，)时f(x)0，所以x2是f(x)的极大值点，所以f(x2)f(1)a.答案3设直线xt，与函数f(x)x2，g(x)ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为_解析当xt时，f(t)t2，g(t)ln t，y|MN|t2ln t(t0)y2t.当0t时，y0；当t时，y0.y|MN|t2ln t在t时有最小值答案二、解答题4(2014兰州模拟)已知函数f(x)x2axln x(aR)(1)当a3时，求函数f(x)在上的最大值
37、和最小值；(2)当函数f(x)在上单调时，求a的取值范围解(1)a3时，f(x)2x3，令f(x)0，解得x或1.当x(1，)时，f(x)0，故f(x)在上单调递增，所以函数f(x)在区间上仅有极大值点x1，故这个极大值点也是最大值点，故函数f(x)在上的最大值是f(1)2.又f(2)f(2ln 2)2ln 20，故f(2)0，ax2(3a1)xa0恒成立的充要条件是a.()(2)(2011辽宁卷改编)已知函数f(x)ex2xa有零点，则a的取值范围是(，2ln 22()2关于实际应用问题(3)实际问题中函数定义域要由实际问题的意义和函数解析式共同确定()(4)若实际问题中函数定义域是开区间，
38、则不存在最优解()(5)(2014贵阳调研改编)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件()感悟提升1两个转化一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理，如(2)2两点注意一是注意实际问题中函数定义域，由实际问题的意义和解析式共同确定，如(3)二是在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么可直接根据实际意义判定是最大值还是最小值，如(4)若在开区间内有极值，则一定有最优解.考
39、点一导数在方程(函数零点)中的应用【例1】 (2013北京卷)已知函数f(x)x2xsin xcos x.(1)若曲线yf(x)在点(a，f(a)处与直线yb相切，求a与b的值；(2)若曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点，求b的取值范围审题路线(1)由导数的几何意义，知f(a)0且f(a)b，解方程得a，b的值(2)两曲线的交点问题，转化为方程x2xsin xcos xb0.通过判定零点个数来求解解由f(x)x2xsin xcos x，得f(x)2xsin xx(sin x)sin xx(2cos x)(1)因为曲线yf(x)在点(a，f(a)处与直线yb相切，所以f(a)a(2cos a
40、)0，bf(a)解得a0，bf(0)1.(2)设g(x)f(x)bx2xsin xcos xb.令g(x)f(x)0x(2cos x)0，得x0.当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0，)g(x)0g(x)1b所以函数g(x)在区间(，0)上单调递减，在区间(0，)上单调递增，且g(x)的最小值为g(0)1b.当1b0时，即b1时，g(x)0至多有一个实根，曲线yf(x)与yb最多有一个交点，不合题意当1b1时，有g(0)1b4b2b1b0.yg(x)在(0,2b)内存在零点，又yg(x)在R上是偶函数，且g(x)在(0，)上单调递增，yg(x)在(0，)上有唯一零点
41、，在(，0)也有唯一零点故当b1时，yg(x)在R上有两个零点，则曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点综上可知，如果曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，)规律方法 (1)在解答本题(2)问时，可转化为判定f(x)b有两个实根时实数b应满足的条件，并注意g(x)的单调性、奇偶性、最值的灵活应用另外还可作出函数yf(x)的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证(2)该类问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一.学生用书第43页【训练1
42、】 (2012天津卷节选)已知函数f(x)x3x2axa，xR，其中a0.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围解(1)f(x)x2(1a)xa(x1)(xa)由f(x)0，得x1或a(a0)当x变化时f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，a)a(a，)f(x)00f(x) 极大值极小值 故函数f(x)的单调递增区间是(，1)，(a，)；单调递减区间是(1，a)(2)由(1)知f(x)在区间(2，1)内单调递增；在区间(1,0)内单调递减从而函数f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点，当且仅当解得0a.所以，a的取值范
43、围是.考点二导数在不等式中的应用【例2】 (2013新课标全国卷)已知函数f(x)exln(xm)(1)设x0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(2)当m2时，证明f(x)0.审题路线(1)由极值点确定出实数m的值，然后利用导数求出函数的单调区间；(2)当m2时，转化为求f(x)min，证明f(x)min0.解(1)易知f(x)ex.由x0是f(x)的极值点得f(0)0，所以m1.于是f(x)exln(x1)，定义域为(1，)，f(x)ex在(1，)上是增函数，且f(0)0.当x(1,0)时，f(x)0时，f(x)0.故f(x)在(1,0)上单调递减，在(0，)上单调递增(2)
44、当m2，xm时，ln(xm)ln(x2)故只需证明当m2时，f(x)0.当m2时，f(x)ex在(2，)上单调递增又f(1)10.所以f(x)0在(2，)上有唯一实根x0，且1x00；二是依据f(x0)0，准确求f(x)exln(x2)的最小值(2)对于该类问题，可从不等式的结构特点出发，构造函数，借助导数确定函数的性质，借助单调性或最值实现转化【训练2】 (2014郑州一模)已知函数f(x)a(x21)ln x.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若对任意a(4，2)及x1,3，恒有maf(x)a2成立，求实数m的取值范围解(1)由已知，得f(x)2ax(x0)当a0时，恒有f(x)0，则
45、f(x)在(0，)上是增函数当a0时，若0x0，故f(x)在上是增函数；若x ，则f(x)0，故f(x)在上是减函数综上，当a0时，f(x)在(0，)上是增函数；当aa2成立，等价于maa2f(x)max.因为a(4，2)，所以 2a，即ma2.因为a(4，2)，所以2a20，即m2.所以实数m的取值范围是(，2考点三导数与生活中的优化问题【例3】 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的
46、费用为y万元(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？解(1)设需新建n个桥墩，则(n1)xm，即n1，所以yf(x)256n(n1)(2)x256(2)xmm2m256.(2)由(1)知，f(x)mx(x512)令f(x)0，得x512，所以x64.当0x64时，f(x)0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当64x0，f(x)在区间(64,640)内为增函数所以f(x)在x64处取得最小值此时n119.故需新建9个桥墩才能使工程的费用y最小规律方法 求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用
47、求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.学生用书第44页【训练3】 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大解(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh
48、200rh元，底面的总成本为160r2元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又根据题意200rh160r212 000，所以h(3004r2)，从而V(r)r2h(300r4r3)因为r0，又由h0可得r0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，V(r)0，g(x)1e2.规范解答(1)由f(x)，得f(x)，x(0，)由于曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线与x轴平行，所以f(1)0，因此k1.(3分)(2)由(1)知，f(x)，x(0，)设h(x)ln x1，则h(x)0，即h(x)在(0，)上是减函数，(5分)由h(1)0知，当0x0，从而f(x)0，当x1时
49、，h(x)0，从而f(x)0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，)(8分)(3)由(2)可知，当x1时，g(x)xf(x)01e2，故只需证明g(x)1e2在0x1时成立(9分)当0x1，且g(x)0，g(x)0，当x(e2,1)时，F(x)0，所以当xe2时，F(x)取得最大值F(e2)1e2.所以g(x)0，g(x)1e2.(13分)反思感悟 一是不能抓住f(x)的特征，联系导数的几何意义，求f(x)0的实根x1，导致思维受阻；二是第(3)问中，未将x的范围细化为0x1”这一条件，将g(x)变为：g(x)1xln xx.答题模板第一步：利用导数的几何意义求k
50、的值；第二步：求g(x)，构造函数F(x)；第三步：将问题转化为证明F(x)1e2；第四步：对F(x)求导，判断其单调性，求最大值；第五步：将问题再转化为原问题从而得到欲证明的不等式【自主体验】(2013辽宁卷)已知函数f(x)(1x)e2x，g(x)ax12xcos x当x0,1时，(1)求证：1xf(x)；(2)若f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围(1)证明要证x0,1时，(1x)e2x1x，只需证明(1x)ex(1x)ex.记h(x)(1x)ex(1x)ex，则h(x)x(exex)当x(0,1)时，h(x)0，因此h(x)在0,1上是增函数，故h(x)h(0)0.所以f(x)1
51、x，x0,1要证x0,1时，(1x)e2x，只需证明exx1.记K(x)exx1，则K(x)ex1，当x(0,1)时，K(x)0，因此K(x)在0,1上是增函数，故K(x)K(0)0.所以f(x)，x0,1综上，1xf(x)，x0,1(2)解f(x)g(x)(1x)e2x1xax12xcos xx.设G(x)2cos x，则G(x)x2sin x.记H(x)x2sin x，则H(x)12cos x.当x(0,1)时，H(x)0，于是G(x)在0,1上是减函数，从而当x(0,1)时，G(x)G(0)0，故G(x)在0,1上是减函数于是G(x)G(0)2，从而a1G(x)a3.所以，当a3时，f(
52、x)g(x)在0,1上恒成立下面证明，当a3时，f(x)g(x)在0,1上不恒成立f(x)g(x)1ax2xcos xax2xcos xx，记I(x)a2cos xaG(x)，则I(x)G(x)，当x(0,1)时，I(x)0，故I(x)在0,1上是减函数，于是I(x)在0,1上的值域为a12cos 1，a3因为当a3时，a30，所以存在x0(0,1)，使得I(x0)0，此时f(x0)g(x0)，即f(x)g(x)在0,1上不恒成立综上，实数a的取值范围是(，3.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1已知函数f(x)mx2ln x2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是_解析f(x)
53、mx20对一切x0恒成立，m2，令g(x)2，则当1时，函数g(x)取最大值1，故m1.答案1，)2若f(x)xsin xcos x，则f(3)，f，f(2)的大小关系为_解析函数f(x)为偶函数，因此f(3)f(3)又f(x)sin xxcos xsin xxcos x，当x时，f(x)f(2)f(3)f(3)答案f(3)f(2)f3若直线ym与y3xx3的图象有三个不同的交点，则实数m的取值范围是_解析y3(1x)(1x)，由y0，得x1.y极大值2，y极小值2，2m2.答案(2,2)4若关于x的不等式x33x29x2m对任意x2,2恒成立，则m的取值范围是_解析令f(x)x33x29x2
54、，则f(x)3x26x9，令f(x)0，得x1或3(舍去)f(1)7，f(2)0，f(2)20.f(x)的最小值为f(2)20，故m20.答案(，205从边长为10 cm16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为_解析设盒子容积为y cm3，盒子的高为x cm，则x(0,5)则y(102x)(162x)x4x352x2160 x，y12x2104x160.令y0，得x2或(舍去)，ymax6122144 (cm3)答案144 cm36(2013浙江卷改编)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)(ex1)(x1)k(k1,2)，则下列结论正确的是_
55、(填序号)当k1时，f(x)在x1处取到极小值当k1时，f(x)在x1处取到极大值当k2时，f(x)在x1处取到极小值当k2时，f(x)在x1处取到极大值解析当k1时，f(x)exx1，f(1)0，x1不是函数f(x)的极值点当k2时，f(x)(x1)(xexex2)，显然f(1)0，且x在1的左边附近f(x)0，f(x)在x1处取得极小值答案7.在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式xf(x)0，由xf(x)0，得x0，x1.(2)当x(1,1)时，f(x)是减函数，f(x)0.由xf(x)0，0x1.故xf(x)0.由(x)0，得x3.当0x3时，(x)3时，(x)0.(
56、x)在(0，)上有极小值(3)16ln 30.故y(x)的图象与x轴有两个交点，则方程f(x)g(x)0有两个实根答案2二、解答题9某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(6x11)，年销售为u万件，若已知u与2成正比，且售价为10元时，年销量为28万件(1)求年销售利润y关于售价x的函数关系式；(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润解(1)设uk2，售价为10元时，年销量为28万件，28k2，解得k2.u222x221x18.y(2x221x18)(x6)2x333x2108x108(6x0；当x(9,11)时，y1时，判断f(x)在0,2m上零点的个数，并说明理由解(1)依题意
57、，可知f(x)在R上连续，且f(x)exm1，令f(x)0，得xm.故当x(，m)时，exm1，f(x)1，f(x)0，f(x)单调递增故当xm时，f(m)为极小值也是最小值令f(m)1m0，得m1，即对任意xR ，f(x)0恒成立时，m的取值范围是(，1(2)当m1时，f(m)1m0，f(0)f(m)1时，g(m)em20，g(m)在(1，)上单调递增g(m)g(1)e20，即f(2m)0.f(m)f(2m)0，f(x)在(m,2m)上有一个零点故f(x)在0,2m上有两个零点能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1(2013潍坊模拟)已知函数yf(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时
58、，不等式f(x)xf(x)0成立，若a30.3f(30.3)，b(log3)f(log3)，cf，则a，b，c间的大小关系是_解析设g(x)xf(x)，则g(x)f(x)xf(x)0(x0)，当x0时，g(x)为增函数130.32,0log3g(30.3)g(log3)，即cab.答案cab2已知函数f(x)(其中e为自然对数的底数，且e2.718)若f(6a2)f(a)，则实数a的取值范围是_解析当xe时，f(x)2(3x)0；当xe时，f(x)10，f(x)在R上单调递增因此6a2a，解之得3a2.答案(3,2)3将边长为1 m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯
59、形，记S，则S的最小值是_解析如图所示，设ADx m(0x1)，则DEADx m，梯形的周长为x2(1x)13x (m)，又SADEx2(m2)，梯形的面积为x2(m2)，S(0x1)，S，令S0，得x或3(舍去)，当x时，S0，S递减；当x时，S0，S递增故当x时，S的最小值是.答案二、解答题4(2014湛江质检)已知函数f(x)sin x(x0)，g(x)ax(x0)(1)若f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(2)当a取(1)中的最小值时，求证：g(x)f(x)x3.解(1)令h(x)sin xax(x0)，则h(x)cos xa.若a1，h(x)cos xa0，h(x)sin
60、xax(x0)单调递减，h(x)h(0)0，则sin xax(x0)成立若0a0，h(x)sin xax(x(0，x0)单调递增，h(x)h(0)0，不合题意若a0，结合f(x)与g(x)的图象可知显然不合题意综上可知，a的取值范围是1，)(2)当a取(1)中的最小值为1时，g(x)f(x)xsin x.设H(x)xsin xx3(x0)，则H(x)1cos xx2.令G(x)1cos xx2，则G(x)sin xx0(x0)，所以G(x)1cos xx2在0，)上单调递减，此时G(x)1cos xx2G(0)0，即H(x)1cos xx20，所以H(x)xsin xx3在x0，)上单调递减所
61、以H(x)xsin xx3H(0)0，则xsin xx3(x0)所以，当a取(1)中的最小值时，g(x)f(x)x3.能力提升练导数及其应用(建议用时：90分钟)一、填空题1(2014襄阳调研)曲线yx32x4在点(1,3)处的切线的倾斜角为_解析由y3x22得y|x11，即曲线在点(1,3)处的切线斜率为1，所以切线的倾斜角为45.答案452函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x4的解集为_解析设g(x)f(x)2x4，由已知g(x)f(x)20，则g(x)在(，)上递增，又g(1)f(1)20，由g(x)f(x)2x40，知x1.答案(1，)3(201
62、4韶关模拟)曲线yex在点A处的切线与直线xy30平行，则点A的坐标为_解析直线xy30的斜率为1，所以切线的斜率为1，因为yex，所以由yex1，解得x0，此时ye01，即点A的坐标为(0,1)答案(0,1)4已知函数f(x)2ln xxf(1)，则曲线yf(x)在x1处的切线方程是_解析易知f(x)f(1)，令x1，得f(1)2f(1)，f(1)1，因此f(x)2ln xx，f(1)1，所求的切线方程为y11(x1)，即xy20.答案xy205(2014济南质检)若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于_解析f(x)12x22ax2b，4a296b
63、0，又x1是极值点，f(1)122a2b0，即ab6，且a0，b0，ab9，当且仅当ab时“”成立，所以ab的最大值为9.答案96(2014青岛模拟)幂指函数yf(x)g(x)在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得ln yg(x)ln f(x)，两边求导数得g(x)ln f(x)g(x)，于是yf(x)g(x).运用此法探求y的单调递增区间为_解析将函数yx两边求对数得ln yln x，两边求导数得ln x(1ln x)，所以yy(1ln x)(1ln x)令y0，即1ln x0，0x0，知f(x)在R上是增函数，f(0)120.函数f(x)的零点a(0,1)由g(x)10(x0
64、)，得g(x)在(0，)上单调递增又g(1)ln 1120，函数g(x)的零点b(1,2)，从而0a1b2，故f(a)f(1)f(b)答案f(a)f(1)0时，下列结论正确的是_(填序号)f(x)有极大值，无极小值f(x)有极小值，无极大值f(x)既有极大值又有极小值f(x)既无极大值也无极小值解析由条件，得f(x).令g(x)ex2x2f(x)，则g(x)ex2x2f(x)4xf(x)ex2(x2f(x)2xf(x)exex，令g(x)0，得x2.当x2时，g(x)0；当0x2时，g(x)0，f(x)在(0，)上单调递增，无极大(小)值答案11若曲线f(x)ax2ln x存在垂直于y轴的切线
65、，则实数a的取值范围是_解析依题意得，f(x)2ax0(x0)有实根，所以a0.答案(，0)12若曲线y2xx3在横坐标为1的点处的切线为l，则点P(3,2)到直线l的距离为_解析由题意得切点坐标为(1，1)，切线斜率为ky|x123x2|x123(1)21.故切线l的方程为y(1)x(1)，整理得xy20.点P(3,2)到直线l的距离为.答案13(2014山东省实验中学诊断)曲线yx3x在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为_解析yf(x)x21，在点的切线斜率为kf(1)2.所以切线方程为y2(x1)，即y2x，与坐标轴的交点坐标为，所以三角形的面积为.答案14设函数f(x)，g(x)，对
66、任意x1，x2(0，)，不等式恒成立，则正数k的取值范围是_解析因为对任意x1，x2(0，)，不等式恒成立，所以.因为g(x)xe2x，所以g(x)(xe2x)e2xxe2x(1)e2x(1x)当0x0；当x1时，g(x)0)当且仅当e2x，即x时取等号，故f(x)min2e.所以，应有，又k0，所以k1.答案1，)二、解答题15(2013新课标全国卷)已知函数f(x)ex(axb)x24x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y4x4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值解(1)f(x)ex(axab)2x4.由已知得f(0)4，f(0)4.故b4，
67、ab8.从而a4，b4.(2)由(1)知，f(x)4ex(x1)x24x，f(x)4ex(x2)2x44(x2).令f(x)0，得xln 2或2.从而当x(，2)(ln 2，)时，f(x)0；当x(2，ln 2)时，f(x)0)(1)求f(x)在0，)内的最小值；(2)设曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为yx，求a，b的值解(1)f(x)aex，令f(x)0，得xln a，令f(x)0，得xln a.所以f(x)在(ln a，)上递增，f(x)在(，ln a)上递减当0a0，f(x)在(0，ln a)上递减，在(ln a，)上递增，从而f(x)在0，)上的最小值为f(ln a)2b
68、.当a1时，ln a0，f(x)在0，)上递增，从而f(x)在0，)上的最小值为f(0)ab.(2)依题意f(2)3，f(2)ae2，解得ae22或(舍去)，因此a.代入f(2)3，得2b3，即b.故a，且b.17(2014南平质检)已知函数f(x)sin x，g(x)mx(m为实数)(1)求曲线yf(x)在点P处的切线方程；(2)求函数g(x)的单调递减区间；(3)若m1，证明：当x0时，f(x)g(x).解(1)由题意得所求切线的斜率kfcos.切点P，则切线方程为y即xy10.(2)g(x)mx2.当m0时，g(x)0，则g(x)的单调递减区间是(，)；当m0时，令g(x)0，解得x或x
69、，则g(x)的单调递减区间是(，)，(，)(3)当m1时，g(x)x.令h(x)g(x)f(x)xsin x，x0，)，h(x)1cos x0，则h(x)是0，)上的增函数故当x0时，h(x)h(0)0，即sin xx，f(x)g(x).18已知函数f(x)axxln x的图象在点xe(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.(1)求实数a的值；(2)若kZ，且k1恒成立，求k的最大值解(1)因为f(x)axxln x，所以f(x)aln x1.因为函数f(x)axxln x的图象在点xe处的切线斜率为3，所以f(e)3，即aln e13，所以a1.(2)由(1)知，f(x)xxln x，又k1恒成立，令g(x)，则g(x)，令h(x)xln x2(x1)，则h(x)10，所以函数h(x)在(1，)上单调递增因为h(3)1ln 30，所以方程h(x)0在(1，)上存在唯一实根x0，且满足x0(3,4)当1xx0时，h(x)0，即g(x)x0时，h(x)0，即g(x)0，所以函数g(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，所以g(x)ming(x0)x0，所以kg(x)minx0(3,4)，故整数k的最大值是3.学生用书第45页