1、第2讲平面向量基本定理及坐标表示课标要求考情分析1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件从近几年的高考试题看，向量的线性运算、共线问题是高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，属中低档题目1.平面向量基本定理如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数1，2，使 a1e12e2，其中不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模：设 a(x1，y
2、1)，b(x2，y2)，则 ab(x1x2，y1y2)，ab(x1 x2，y1 y2)，a_(R)，|a|(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.(x1，y1)3.共线向量及其坐标表示(1)向量 a(a0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得 ba.(2)设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0，当且仅当x1y2x2y10 时，向量 a，b 共线.题组一走出误区1.(多选题)已知向量 i(1，0)，j(0，1)，对平面内的任一向量 a，下列结论中错误的是()A.存在唯一的一对实数 x，y，使得 a(x，y)B.若 x1，x2，y1，y2R，a(
3、x1，y1)(x2，y2)，则 x1x2，且 y1y2C.若 x，yR，a(x，y)，且 a0，则 a 的起点是原点 OD.若 x，yR，a0，且 a 的终点坐标是(x，y)，则 a(x，y)解析：由平面向量基本定理，可知 A 中结论正确；若 a(1，0)(1，3)，则 11，03，故 B 中结论错误；因为向量可以平移，所以 a(x，y)与 a 的起点是不是原点无关，故 C 中结论错误；当 a 的终点坐标是(x，y)时，a(x，y)是以 a 的起点是原点为前提的，故 D 中结论错误.故选 BCD.答案：BCD题组二走进教材2.(必修 4P97 例 4 改编)(2014 年北京)已知向量 a(2
4、，4)，)b(1，1)，则 2ab(A.(5，7)C.(3，7)B.(5，9)D.(3，9)解析：因为 2a(4，8)，所以 2ab(4，8)(1，1)(5，7)，故选 A.答案：A3.(必修 4P101A 组第 5 题改编)(2020 年四川内江模拟)下列)各组向量中，可以作为基底的是(A.e1(0，0)，e2(1，2)B.e1(1，2)，e2(5，7)C.e1(3，5)，e2(6，10)解析：A 选项中，零向量与任意向量都共线，故其不可以作为基底；B 选项中，不存在实数，使得 e1e2，故两向量不共线，故其可以作为基底；C 选项中，e22e1，两向量共线，故其不可以作为基底；D 选项中，e
5、14e2，两向量共线，故其不可以作为基底.故选 B.答案：B题组三真题展现4.(2017 年山东)已知向量 a(2，6)，b(1，)，若 ab，则 _.解析：由 ab，得 26，3.答案：35.(2020 年全国)设向量 a(1，1)，b(m1，2m4)，若 ab，则 m_.解析：由 ab 可得 ab0，又因为 a(1，1)，b(m1，2m4)，所以 ab1(m1)(1)(2m4)0，即 m5.答案：5考点 1 平面向量基本定理的应用自主练习答案：B2.(2019 年河北衡水调研)一直线 l 与平行四边形 ABCD 中的两边 AB，AD 分别交于点 E，F，且交其对角线 AC 于点 M，若()
6、A.12B.1C.32D.3答案：A图 4-2-1A.19B.13C.1D.3答案：A【题后反思】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.考点 2 平面向量的坐标运算师生互动A.(7，4)C.(1，4)B.(7，4)D.(1，4)4).故选 A.答案：A(2)(2015 年江苏)已知向量 a(2，1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，则 mn 的值为_.解析：由题意，得 2mn9，m2n8m2，
7、n5.mn3.答案：3(3)(多选题)已知 a(1，0)，|b|1，c(0，1)，满足3akb7c0，则实数 k 的值可能为()解析：由题意可得 kb3a7c3(1，0)7(0，1)(3，7)，故选 AB.答案：AB(2)设实数t满足(ABtOC)OC0，求t的值.【考法全练】在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1，2)，B(2，3)，C(2，1).(1)求以线段 AB，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；考点 3 向量共线的坐标表示多维探究A.23B.43C.12D.13答案：A2ab(4，2)，c(2ab)42，.(2)(2018 年全国)已知向量 a(1，2)，b(2，2)，
8、c(1，).若 c(2ab)，则_.解析：12答案：12(3)已知向量 a(1，1),b(3，m),a(ab)，则 m()A.2B.2C.3D.3解析：向量 a(1，1)，b(3，m)，ab(2，m1)，a(ab)，(m1)2，m3.答案：C【题后反思】明确两向量相等的充要条件，它们的对应坐标相等，其实质为平面向量基本定理的应用.向量共线的充要条件的坐标表示：若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10.向量垂直的充要条件的坐标表示：若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1x2y1y20.【考法全练】(多选题)已知向量 a(sin，cos)，b(1，2)，则下列
9、命题正确的是()A.若 ab，则 tan 12B.若 ab ，则 tan 12C.若 f()ab 取得最大值，则 tan 12D.|ab|的最大值为1解析：若 ab，则 2sin cos 0，(ab)2a2b22ab152(sin 2cos)故选 ACD.答案：ACD利用方程的思想求解平面向量问题例 3在ABC 中，已知 AMAB13，ANAC1【策略指导】(1)学生的易错点：找不到问题的切入口，即想不到利用待定系数法求解.(2)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方
10、法与技巧.如本题很多学生易忽视 M，P，C 共线和B，P，N 共线这两个几何特征.【高分训练】(2019 年江苏启东模拟)如图 4-2-2，G 是OAB 的重心，P，Q 分别是边 OA，OB 上的动点，且 P，G，Q 三点共线.图 4-2-2由得两个充要条件：(1)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件是 x1y2x2y10.(2)设向量 a，b，其中 b0，则 a 与 b 共线的充要条件是有且只有唯一的实数，使得 ab.三个运算：设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1).三点注意：(1)点的坐标与向量的坐标虽然在形式上完全相同，但意义完全不同，向量坐标中含有既有大小又有方向的信息.(2)解题时适当选取基底，将其他向量用基底表示，减少向量，简化问题.(3)向量问题坐标化可使几何问题转化为代数问题.