1、第13讲抽象函数课标要求考情分析1.结合具体函数，了解奇偶性的含义.2.体会指数函数、对数函数是重要的函数类型，探索并理解指数函数、对数函数的单调性与特殊点从近几年的高考试题来看，对本节内容的考查主要是与周期性、单调性相结合，求函数值、比较大小等，重点探讨幂函数型、指数函数型、对数函数型抽象函数的解析式及基本性质题组一走出误区1.(多选题)给出下列三个等式：f(xy)f(x)f(y)，f(xy)f(x)f(y)f(x)f(y)，f(xy)1f(x)f(y).下列函数中，满足其中任何一个等式的是()A.f(x)3xC.f(x)log2xB.f(x)sin xD.f(x)tan x解析：选项 A，
2、函数满足 f(xy)f(x)f(y)；选项 B 不满足其中任何一个等式；选项 C，函数满足 f(xy)f(x)f(y)；选项 D，函数满足 f(xy)f(x)f(y)1f(x)f(y).答案：ACD题组二走进教材2.(选修 12P46 第 3 题改编)下列四类函数中，有性质“对任意的 x0，y0，函数 f(x)满足 f(xy)f(x)f(y)”的是()A.幂函数C.指数函数B.对数函数D.余弦函数解析：假设 f(x)ax，f(x)f(y)axayaxyf(xy).答案：C3.已知 f(x y)f(x y)2f(x)f(y)，且 f(x)0，则 f(x)是()A.奇函数C.非奇非偶函数B.偶函数
3、D.不确定解析：令 xy0，则 2f(0)2f(0)2，因为 f(x)0，所以f(0)1.令 x0，则 f(y)f(y)2f(y)，f(y)f(y)，f(x)为偶函数.故选 B.答案：B题组三真题展现4.(2008 年四川)函数 f(x)满足 f(x)f(x2)13，若 f(1)2，则 f(99)()A.13B.2C.132D.213答案：C5.(2014 年陕西)下列函数中，满足“f(xy)f(x)f(y)”的)单调递增函数是(A.f(x)x3B.f(x)3x解析：由 f(xy)(xy)3，f(x)f(y)x3y3(xy)3，得 f(xy)f(x)f(y)，所以 A 错误；又函数 f(x)3
4、x 是定义在 R 上的增函数.故选 B.答案：B由 f(xy)3xy，f(x)f(y)3x3y3xy，得 f(xy)f(x)f(y).考点 1 正比例函数型抽象函数自主练习1.已知定义在 R 上的函数 f(x)对任意实数 x，y，恒有 f(x)(1)求证：f(x)为奇函数；(2)求证：f(x)在 R 上是减函数；(3)求 f(x)在3，6上的最大值与最小值.(1)证明：令 xy0，可得 f(0)f(0)f(00)f(0)，从而f(0)0.令 yx，可得 f(x)f(x)f(xx)f(0)0，即 f(x)f(x)，故 f(x)为奇函数.(2)证明：对任意 x1，x2R，不妨设 x1x2，则 x1
5、x20，于是 f(x1x2)0，从而 f(x1)f(x2)f(x1 x2)x2f(x2)f(x1 x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)0，所以 f(x)在 R 上是减函数.(3)解：由(2)知，所求函数在3，6上的最大值为 f(3)，最小值为 f(6).因为 f(3)f(3)f(2)f(1)2f(1)f(1)3f(1)2，f(6)f(6)f(3)f(3)4.所以 f(x)在3，6上的最大值为 2，最小值为4.【题后反思】(1)利用赋值法解决抽象函数问题时需把握如下三点：一是注意函数的定义域，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“f”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“f”.(2)解决
6、正比例函数型抽象函数的一般步骤为：f(0)0f(x)是奇函数f(xy)f(x)f(y)单调性.(3)判断单调性小技巧：设 x10f(x2x1)0f(x2)f(x2 x1 x1)f(x2 x1)f(x1)1 时，f(x)0.(1)求 f(1)，f(1)；(2)求证：函数 f(x)为偶函数；(5)判断函数 f(x)的单调性；(6)求不等式 f(x)f(x3)2 的解集.(1)解：在中令 xy1，得 f(1)f(1)f(1)f(1)0，令 xy1，得 f(1)f(1)f(1)f(1)0.(2)证明：再令 y1，得 f(x)f(x)f(1)f(x)，f(x)为偶函数.偶函数图象关于 y 轴对称，f(x
7、)在(，0)上是减函数.方法二，任取 x1，x2，设 x2x10，f(x)在(0，)上是增函数.偶函数图象关于 y 轴对称，f(x)在(，0)上是减函数.(6)解：f(x(x3)f(x)f(x3)2，由得 211f(2)f(2)f(4)f(4)，.若 x(x3)0，f(x)在(0，)上为增函数，.若 x(x3)0，f(x)在(，0)上为减函数；由 f(x(x3)f(4)原不等式的解集为：x|1x0 x|0 x3 x|31，且对任意的 a，bR，有 f(ab)f(a)f(b).(1)求证：f(0)1；(2)求证：对任意的 xR，恒有 f(x)0；(3)求证：f(x)1f(x)(4)求证：f(xy
8、)f(x)f(y)；(5)求证：f(x)是 R 上的增函数；(6)若 f(x)f(2xx2)1，求实数 x 的取值范围.f(0)f(x)f(x)1.f(x)(1)证明：令 ab0，则 f(0)f(0)2.f(0)0，f(0)1.(2)证明：当 x0 时，x0，1f(x)0.又当 x0 时，f(x)10，xR 时，恒有 f(x)0.(3)证明：f(0)f(xx)f(x)f(x)1，f(x)1.f(x)1.f(x1)f(x2).(4)证明：f(xy)f(x)f(y)f(x).f(y)(5)证明：方法一，设 x1x2，x1x20.则 f(x1x2)1.即 f(x1x2)f(x1)f(x2)f(x)是
9、 R 上的增函数.方法二，设 x1x2，则 x2x10.f(x2)f(x2x1x1)f(x2x1)f(x1).x2x10，f(x2x1)1.又 f(x1)0，f(x2x1)f(x1)f(x1).f(x2)f(x1).f(x)是 R 上的增函数.f(0)1f(x)f(xy)(6)解：由 f(x)f(2xx2)1，f(0)1，得 f(3xx2)f(0).f(x)是 R 上的增函数，3xx20.0 x3.实数 x 的取值范围是x|0 xx2，x1x20，则 f(x1x2)1，f(x1)f(x2x1x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)，得到函数f(x)是增函数.【考法全练】已知定义在 R 上的函数
10、 f(x)，对任意实数 x，y 满足：f(xy)f(x)f(y)，若 x(0，)时，0f(x)1 恒成立，则满足不等式 f(x24)1 的实数 x 的取值范围是_.解析：采用特值法，不妨设 f(x)ax(0a1)，满足 f(xy)f(x)f(y)，且 x(0，)时，0f(x)1 恒成立，则不等式 f(x24)1 等价于 f(x24)0，解得 x2.答案：(，2)(2，)利用转化与化归思想解答抽象函数例 3(2020 年天津南开区校级模拟)已知定义在 R 上的函数f(x)，若函数 yf(x2)为偶函数，且 f(x)对任意 x1，x2 2，的取值范围是()解析：根据题意，函数 yf(x2)为偶函数
11、，则函数 f(x)的图象关于 x2 对称，f(x)对任意x1，x22，)(x1x2)，都有 f(x2)f(x1)x2x10，给出下列命题：其中所有正确命题为()A.f(3)0B.直线 x6 是函数 yf(x)的图象的一条对称轴C.函数 yf(x)在9，6上为增函数D.函数 yf(x)在9，9上有四个零点解析：A 选项：令 x3，则由 f(x6)f(x)f(3)，函数 yf(x)是定义在 R 上的偶函数，可得：f(3)f(3)f(3)2f(3)，故 f(3)0，故 A 正确；B 选项：由 f(3)0 可得：f(x6)f(x)，故函数 f(x)是周期等于 6 的周期函数，f(x)是偶函数，y 轴是
12、对称轴，故直线 x6 是函数 yf(x)的图象的一条对称轴，故 B 正确；0，f(x1)f(x2)C 选项：当 x1，x20，3，且 x1x2 时，x1x2故 f(x)在0，3上为增函数，f(x)是偶函数，故 f(x)在3，0上为减函数，函数 f(x)是周期等于 6 的周期函数，故 f(x)在9，6上为减函数，故 C 错误；D 选项：函数 f(x)是周期等于 6 的周期函数，f(9)f(3)f(3)f(9)0，故函数 yf(x)在9，9上有四个零点，故 D 正确.故选 ABD.答案：ABD f(x1x2)f(x1)f(x2)，f(x1x2)f(x1)f(x2)，f(x1x2)f(x1)f(x2)分别是正比例、对数、指数函数的抽象形式，解题时可以由具体函数的性质指导我们思考的方式及解题的步骤，但不能用具体函数来代替抽象的解析式.
