1、习题课1正、余弦函数的图象与性质课后篇巩固提升基础达标练1.(2020山东日照一模)函数y=cos2x+4是()A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的偶函数C.最小正周期为2的奇函数D.最小正周期为2的偶函数解析函数y=cos2x+4=-sin2x,故是奇函数且最小正周期为22=.故选A.答案A2.(2019广东佛山期末)函数y=sinx+4+cos4-x的最大值为()A.2B.3C.2D.1解析因为cos4-x=sinx+4,所以y=sinx+4+cos4-x=2sinx+4,显然其最大值为2.故选A.答案A3.已知函数f(x)=2sin x(0)在区间-3,4上的最小值是-2,则的最小
2、值等于()A.23B.32C.2D.3解析因为0,-3x4,所以-3x4.由已知条件知-3-2,所以32.答案B4.简谐运动y=4sin5x-3的相位为,初相为.解析相位是5x-3,当x=0时的相位为初相即-3.答案5x-3-35.(2019贵州黔南期末)设函数f(x)=cosx-6(0),若f(x)f3对任意的实数x都成立,则的最小值为.解析因为f(x)f3对任意的实数x都成立,所以f3为函数f(x)的最大值.令3-6=2k,解得=6k+12(kZ).又0,所以当k=0时,取得最小值为12.答案126.已知函数f(x)=2sin2x+3+1.(1)当x=43时,求f(x)的值;(2)若存在区
3、间a,b(a,bR,且ab),使得y=f(x)在区间a,b上至少含有6个零点,在满足上述条件的a,b中,求b-a的最小值.解(1)当x=43时,f(x)=2sin243+3+1=2sin(3)+1=2sin+1=1.(2)f(x)=0sin2x+3=-12x=k-4,kZ或x=k-712,kZ,即f(x)的零点间隔依次为3和23.故若y=f(x)在a,b上至少含有6个零点,则b-a的最小值为223+33=73.能力提升练1.若函数f(x)=cos(2x+)的图象关于点43,0成中心对称,且-22,则函数y=fx+3为()A.奇函数且在0,4内单调递增B.偶函数且在0,2内单调递增C.偶函数且在
4、0,2内单调递减D.奇函数且在0,4内单调递减解析因为函数f(x)=cos(2x+)的图象关于点43,0中心对称,所以83+=k+2,kZ,即=k-136,kZ.又因为-22,所以=-6,则y=fx+3=cos2x+3-6=cos2x+2=-sin2x,所以该函数为奇函数且在区间0,4上单调递减,故选D.答案D2.(2019全国卷)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论:f(x)是偶函数f(x)在区间2,内单调递增f(x)在-,有4个零点f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是()A.B.C.D.解析因为函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=sin|-
5、x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sinx|=f(x),所以f(x)为偶函数,故正确.当2x时,f(x)=2sinx,它在区间2,内单调递减,故错误.当0x时,f(x)=2sinx,它有两个零点0和;当-x0时,f(x)=sin(-x)-sinx=-2sinx,它有两个零点-和0;故f(x)在区间-,上有3个零点-,0和,故错误.当x2k,2k+(kN*)时,f(x)=2sinx;当x(2k+,2k+2(kN*)时,f(x)=sinx-sinx=0.又f(x)为偶函数,所以f(x)的最大值为2,故正确.综上可知正确,故选C.答案C3.(多选)(2020山东烟台高三期末)已知函数f(x)
6、=sin(3x+)-22的图象关于直线x=4对称,则()A.函数fx+12为奇函数B.函数f(x)在12,3上单调递增C.若|f(x1)-f(x2)|=2,则|x1-x2|的最小值为3D.函数f(x)的图象向右平移4个单位长度得到函数y=-cos 3x的图象解析因为直线x=4是f(x)=sin(3x+)-22的对称轴,所以34+=2+k(kZ),则=-4+k(kZ),当k=0时,=-4,满足-22,则f(x)=sin3x-4.fx+12=sin3x+12-4=sin3x,因为sin(-3x)=-sin3x,所以fx+12为奇函数,故A正确.-2+2k3x-42+2k(kZ),即-12+2k3x
7、4+2k3(kZ),当k=0时,f(x)在区间-12,4上单调递增,故B错误.若|f(x1)-f(x2)|=2,则|x1-x2|最小为半个周期,即2312=3,故C正确.函数f(x)的图象向右平移4个单位长度,即sin3x-4-4=sin(3x-)=-sin3x,故D错误.答案AC4.(2020山东师范大学附中月考)已知函数f(x)=sin(2x+),其中0f(),则等于.解析由f(x)f6对xR恒成立可知x=6是函数f(x)的对称轴,所以26+=2+k,kZ,即=6+k,kZ,由f2f(),得sin(+)sin(2+),所以-sinsin,即sin0,又02,所以0时,2a+a+b=8,b=5,所以a=32-3,b=5.当a0时,b=8,2a+a+b=5,所以a=3-32,b=8.