1、第7讲 空间角的计算课标要求考情分析1.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).2.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用在近年高考中，立体几何常常以锥体或柱体为载体，命题呈现一题两法的新格局.一直以来立体几何解答题都是让广大考生又喜又忧.为之而喜是只要能建立直角坐标系，基本上可以处理立体几何绝大多数的问题；为之而忧就是对于不规则的图形来讲建系的难度较大，问题不能得到很好的解决.比较容易建系的就用空间向量(有三线两两垂直或面面垂直的)，否则还是利用传统的推理与证明1.异面直线所成的角过空间任一点 O 分别作异面直线 a 与
2、b 的平行线 a与 b.那么直线 a与 b所成的锐角或直角，叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)，其范围是_.(0，902.直线与平面所成的角(1)如果直线与平面平行或者在平面内，则直线与平面所成的角等于 0.(2)如果直线和平面垂直，则直线与平面所成的角等于_.90(3)平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线与平面所成的角，其范围是(0，90).斜线与平面所成的线面角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.3.二面角直二面角从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫做二面角.从二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫
3、做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做_.题组一走出误区1.(多选题)下列结论错误的是()A.两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角B.若两平面的法向量平行，则两平面平行C.直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角D.两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角答案：ACD题组二走进教材2.(选修21P104第2题改编)平面经过三点A(1,0,1)，B(1,1,2)，C(2，1,0)，则平面的法向量 u 可以是_.答案：(0,1，1)A.5B.6C.4D.8答案：A题组三真题展现4.(必修2P117A 组第4 题)如图871所示，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)A
4、BCA1B1C1的底面边长为2，则棱长为2，则 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为_.图 871解析：方法一，如图 D82，以 C 为原点建立直角坐标系，图 D825.在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的二面角的余弦值为_.解析：建立空间直角坐标系如图 D83，图 D83设正方体的棱长为2，则D(2,0,0)，A1(0,0,2)，E(0,2,1)，考点 1 线面所成角的计算 自主练习解析：方法一，连接A1C1交B1D1于O点，由已知条件得C1OB1D1，且平面BDD1B1平面A1B1C1D1，所以C1O平面BDD1B1，连接BO，则B
5、O为BC1在平面BDD1B1上的射影，方法二，如图 D84，以 A 为原点，AB，AD，AA1 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，图 D84答案：C2.在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BCAA11，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为_.解析：如图 D85，建立空间直角坐标系 Dxyz，则 D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，A1(1,0,1)，B(1,2,0)，图 D85设平面A1BC1的一个法向量为n(x，y，z)，解析：取 A1C1 的中点为 E，AC 的中点为 F，并连接 EF，则 EB1，EC1，EF 三条直线两两垂直，则分别以这三条直线为 x 轴，
6、y 轴，z 轴建立如图 D86 所示空间直角坐标系，图 D86设 AB2，则 AA12，答案：BC【题后反思】求直线与平面所成的角，大致有两种基本方法：(1)传统立体几何的综合推理法：通过射影转化法作出直线与平面所成的线面角，然后在直角三角形中求角的大小.找射影的基本方法是过直线上一点作平面的垂线，连接垂足和斜足得到直线在平面内的射影；有时也可通过找到经过斜线且垂直于已知平面的垂面来确定斜线在平面内的射影，此时平面与垂面的交线即为射影.(2)空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，然后利用向量的夹角公式通过坐标运算求得直线和平面所成的角.考点 2 面面所成角的计算师生互动例 1(2020
7、年全国)如图 872，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AEAD.ABC 是底面的内接正三角形，P 为 DO 上一点，PODO.(1)证明：PA 平面 PBC；(2)求二面角 BPCE 的余弦值.图 872(2)解：过O作ONBC交AB于点N，因为PO平面ABC，以 O 为坐标原点，OA 为 x 轴，ON 为 y 轴，OD 为 z 轴建立如图 873 所示的空间直角坐标系，图 873【题后反思】求二面角，大致有两种基本方法：(1)传统立体几何的综合推理法：定义法；垂面法；三垂线定理法；射影面积法.(2)空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，分别求出两个平面的法向量
8、，通过求两个法向量的夹角得出二面角的大小.【考法全练】图 874(2019年全国)如图874，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.(1)证明：MN平面C1DE；(2)求二面角AMA1N的正弦值.图 D87利用空间向量求空间角例 2(2020 年新高考)如图 875，四棱锥 PABCD 的底面为正方形，PD底面 ABCD.设平面 PAD 与平面 PBC 的交线为 l.(1)证明：l平面 PDC；(2)已知 PDAD1，Q 为 l 上的点，求PB 与平面 QCD 所成角的正弦值的最大值.图 875(1)证明：在正方
9、形 ABCD 中，ADBC，因为 AD 平面 PBC，BC平面 PBC，所以 AD平面 PBC，又因为 AD平面 PAD，平面 PAD 平面 PBCl，所以 ADl，因为在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，所以ADDC，lDC，且 PD平面 ABCD，所以 ADPD，lPD，因为 CDPDD，所以 l平面 PDC.【策略指导】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及的知识点有线面平行的判定和性质，线面垂直的判定和性质，利用空间向量求线面角，利用基本不等式求最值，属于中档题目.图 876【高分训练】图 D88一点注意：用向量来求空间角，都需将各类角转化成对应向量的夹角来计算，问题的关键在于确定对应线段的向量.两点防范：1.利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角.因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同.2.求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角.