1、第16讲 圆锥曲线中的变量问题基础过关1.已知抛物线C:x2=2py(p0)上一点M(m,9)到其焦点F的距离为10.(1)求抛物线C的方程;(2)设过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,且抛物线在A,B两点处的切线分别交x轴于点P,Q,求|AP|BQ|的取值范围.2.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的短轴长为42,离心率为13.(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A,B,点M,N为椭圆C上位于x轴上方的两点,且F1MF2N,记直线AM,BN的斜率分别为k1,k2,若3k1+2k2=0,求直线F1M的方程.3.已知椭圆C:x2a2+y
2、2b2=1(ab0),点(1,e)和2,22都在椭圆C上,其中e为椭圆C的离心率.(1)求椭圆C的方程;(2)若过原点的直线l1:y=kx与椭圆C交于A,B两点,且在直线l2:2kx-y+k-2=0上存在点P,使得PAB是以P为直角顶点的直角三角形,求实数k的取值范围.4.已知ABC的两个顶点是B(-23,0),C(23,0),ABC的周长为8+43,O是坐标原点,点M满足OA=-2AM.(1)求点M的轨迹E的方程;(2)设不过原点的直线l与曲线E交于P,Q两点,若直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,求OPQ面积的取值范围.能力提升5.已知M:(x-1)2+y2=14,直线l:x=-12
3、,动圆P与M相外切,且与直线l相切.设动圆圆心P的轨迹为C.(1)求C的方程;(2)过点D(-1,0)的直线与C交于A,B两点(点A在点D,B之间),点Q满足QA=3AM,求ABM与ADQ的面积之和取得最小值时直线AB的方程.6.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为32,过抛物线C2:x2=4by的焦点F的直线交抛物线于M,N两点(M在N的左侧),连接NO,MO并延长,分别交C1于点A,B,连接AB,OMN与OAB的面积分别记为S1,S2,且=S1S2.当|MF|=74时,M点在x轴上的射影为F1.(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程;(2)求的取
4、值范围.限时集训(十六)1.解:(1)M(m,9)到焦点F的距离为10,点M到抛物线C的准线的距离为10.抛物线C的准线方程为y=-p2,9+p2=10,解得p=2,抛物线C的方程为x2=4y.(2)由题知直线l的斜率存在,设l的斜率为k,F(0,1),l的方程为y=kx+1.设Ax1,x124,Bx2,x224,由y=kx+1,x2=4y消去y得x2-4kx-4=0,x1+x2=4k,x1x2=-4.由y=14x2,得y=12x,则kPA=12x1,直线PA的方程为y-x124=12x1(x-x1),令y=0,解得x=12x1,P12x1,0,从而|AP|=14x12(4+x12).同理可得
5、,|BQ|=14x22(4+x22),|AP|BQ|=116(x1x2)2(4+x12)(4+x22)=116(x1x2)216+4(x12+x22)+(x1x2)2=21+k2,k20,|AP|BQ|的取值范围为2,+).2.解:(1)由题意,得2b=42,ca=13.又a2-c2=b2,a=3,b=22,c=1,椭圆C的方程为x29+y28=1.(2)由(1)可知A(-3,0),B(3,0),F1(-1,0).根据题意,设直线F1M的方程为x=my-1,直线F1M与椭圆C的另一交点为M,M(x1,y1)(y10),M(x2,y2).又F1MF2N,根据椭圆的对称性,得N(-x2,-y2).
6、由8x2+9y2=72,x=my-1,消去x,得(8m2+9)y2-16my-64=0,y1+y2=16m8m2+9,y1y2=-648m2+9.由3k1+2k2=0,得3y1my1+2+2y2my2+2=0,即5my1y2+6y1+4y2=0.由,解得y1=128m8m2+9,y2=-112m8m2+9,y10,m0,由y1y2=128m(-112m)(8m2+9)2=-648m2+9,解得m=612,直线F1M的方程为x=612y-1,即26x-y+26=0.3.解:(1)由题设知a2=b2+c2,e=ca,由点(1,e)在椭圆C上,得1a2+c2a2b2=1,解得b2=1.又点2,22在
7、椭圆C上,2a2+12b2=1,即2a2+12=1,解得a2=4,椭圆C的方程是x24+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由y=kx,x24+y2=1得x2=41+4k2,x1+x2=0,x1x2=-41+4k2,y1+y2=0,y1y2=-4k21+4k2.设P(x0,y0),则y0=2kx0+k-2,依题意得PAPB,故kPAkPB=-1,y0-y1x0-x1y0-y2x0-x2=-1,即-y0(y1+y2)+y02+y1y2+x02+x1x2-x0(x1+x2)=0,y02+x02+y1y2+x1x2=0,(1+4k2)x02+4k(k-2)x0+(k-2)2-4(1
8、+k2)1+4k2=0有解,=16k2(k-2)2-4(1+4k2)(k-2)2-4(1+k2)1+4k20,化简得3k2+4k0,k0或k-43.4.解:(1)由题知|AB|+|AC|=8|BC|,所以点A的轨迹是以B,C分别为左、右焦点的椭圆(不含左、右顶点).因为2a=8,c=23,所以a=4,b=2,所以点A的轨迹方程为x216+y24=1(y0).设M(x,y),A(x0,y0)(y00),由OA=-2AM得x0=2x,y0=2y,又x0216+y024=1,所以(2x)216+(2y)24=1,故点M的轨迹E的方程为x24+y2=1(y0).(2)由题意可知,直线l的斜率存在且不为
9、0,故可设直线l的方程为y=kx+m(k0,m0),P(x1,y1),Q(x2,y2).由y=kx+m,x24+y2=1,消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,则=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)=16(4k2-m2+1)0,即4k2-m2+10,且x1+x2=-8km1+4k2,x1x2=4(m2-1)1+4k2,故y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.因为直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,所以y1x1y2x2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2x1x2=k2,即-8k2m21+4k2+m2=0,又m0,所
10、以k2=14,即k=12.由0及直线OP,OQ的斜率存在,得0m20),kOM=m,则mm=y2x2y1x1=116x1x2=-14,所以m=-14m.由y=mx,x2=4y,解得x2=4m,所以|ON|=1+m2|x2|=4m1+m2,同理可得|OM|=1m1+116m2.由y=mx,x24+y2=1,解得xA=-24m2+1,所以|OA|=1+m2|xA|=21+m24m2+1,同理可得|OB|=21+116m214m2+1.所以=S1S2=|ON|OM|OA|OB|=4m1+m21m1+116m221+m24m2+121+116m214m2+1=4m2+114m2+1=4m2+2+14m2=2m+12m2,当且仅当m=12时等号成立,所以的取值范围为2,+).