1、专题能力训练8利用导数解不等式及参数的取值范围专题能力训练第22页一、能力突破训练1.(2018全国,理21)已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.(1)若a=0,证明:当-1x0时,f(x)0时,f(x)0;(2)若x=0是f(x)的极大值点,求a的值.答案:(1)证明当a=0时,f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x,f(x)=ln(1+x)-x1+x,设函数g(x)=f(x)=ln(1+x)-x1+x,则g(x)=x(1+x)2,当-1x0时,g(x)0时,g(x)0.故当x-1时,g(x)g(0)=0,且仅当x=0时,g(x)=0,从而f(x)0,且仅当x=0时,
2、f(x)=0.所以f(x)在区间(-1,+)内单调递增.又f(0)=0,故当-1x0时,f(x)0时,f(x)0.(2)解若a0,由(1)知,当x0时,f(x)(2+x)ln(1+x)-2x0=f(0),这与x=0是f(x)的极大值点矛盾.若a0,设函数h(x)=f(x)2+x+ax2=ln(1+x)-2x2+x+ax2.由于当|x|0,故h(x)与f(x)符号相同.又h(0)=f(0)=0,故x=0是f(x)的极大值点当且仅当x=0是h(x)的极大值点.h(x)=11+x-2(2+x+ax2)-2x(1+2ax)(2+x+ax2)2=x2(a2x2+4ax+6a+1)(x+1)(ax2+x+
3、2)2.若6a+10,则当0x-6a+14a,且|x|0,故x=0不是h(x)的极大值点.若6a+10,则a2x2+4ax+6a+1=0存在根x10,故当x(x1,0),且|x|min1,1|a|时,h(x)0;当x(0,1)时,h(x)0成立,求实数k的取值范围;(3)当nm1(m,nN*)时,证明:nmmnmn.答案:(1)解f(x)=ax+xlnx,f(x)=a+lnx+1.又f(x)的图象在点x=e处的切线的斜率为3,f(e)=3,即a+lne+1=3,a=1.(2)解由(1)知,f(x)=x+xlnx,若f(x)kx2对任意x0成立,则k1+lnxx对任意x0成立.令g(x)=1+l
4、nxx,则问题转化为求g(x)的最大值,g(x)=1xx-(1+lnx)x2=-lnxx2.令g(x)=0,解得x=1.当0x0,g(x)在区间(0,1)内是增函数;当x1时,g(x)0),h(x)0,h(x)是区间(1,+)内的增函数.nm1,h(n)h(m),即nlnnn-1mlnmm-1,mnlnn-nlnnmnlnm-mlnm,即mnlnn+mlnmmnlnm+nlnn,lnnmn+lnmmlnmmn+lnnn.整理,得ln(mnn)mln(nmm)n.(mnn)m(nmm)n,nmmnmn.3.设函数f(x)=ax2-a-ln x,其中aR.(1)讨论f(x)的单调性;(2)确定a的
5、所有可能取值,使得f(x)1x-e1-x在区间(1,+)内恒成立(e=2.718为自然对数的底数).解:(1)f(x)=2ax-1x=2ax2-1x(x0).当a0时,f(x)0时,由f(x)=0,有x=12a.此时,当x0,12a时,f(x)0,f(x)单调递增.(2)令g(x)=1x-1ex-1,s(x)=ex-1-x.则s(x)=ex-1-1.而当x1时,s(x)0,所以s(x)在区间(1,+)内单调递增.又由s(1)=0,有s(x)0,从而当x1时,g(x)0.当a0,x1时,f(x)=a(x2-1)-lnxg(x)在区间(1,+)内恒成立时,必有a0.当0a1.由(1)有f12a0,
6、所以此时f(x)g(x)在区间(1,+)内不恒成立.当a12时,令h(x)=f(x)-g(x)(x1).当x1时,h(x)=2ax-1x+1x2-e1-xx-1x+1x2-1x=x3-2x+1x2x2-2x+1x20.因此,h(x)在区间(1,+)内单调递增.又因为h(1)=0,所以当x1时,h(x)=f(x)-g(x)0,即f(x)g(x)恒成立.综上,a12,+.4.设函数f(x)=aln x,g(x)=12x2.(1)记g(x)为g(x)的导函数,若不等式f(x)+2g(x)(a+3)x-g(x)在x1,e内有解,求实数a的取值范围;(2)若a=1,对任意的x1x20,不等式mg(x1)
7、-g(x2)x1f(x1)-x2f(x2)恒成立.求m(mZ,m1)的值.解:(1)不等式f(x)+2g(x)(a+3)x-g(x),即alnx+2x(a+3)x-12x2,化简,得a(x-lnx)12x2-x.由x1,e知x-lnx0,因而a12x2-xx-lnx.设y=12x2-xx-lnx,则y=(x-1)(x-lnx)-1-1x12x2-x(x-lnx)2=(x-1)12x+1-lnx(x-lnx)2.当x(1,e)时,x-10,12x+1-lnx0,y0在x1,e时成立.由不等式有解,可得aymin=-12,即实数a的取值范围是-12,+.(2)当a=1时,f(x)=lnx.由mg(
8、x1)-g(x2)x1f(x1)-x2f(x2)恒成立,得mg(x1)-x1f(x1)mg(x2)-x2f(x2)恒成立,设t(x)=m2x2-xlnx(x0).由题意知x1x20,则当x(0,+)时函数t(x)单调递增,t(x)=mx-lnx-10恒成立,即mlnx+1x恒成立.因此,记h(x)=lnx+1x,得h(x)=-lnxx2.函数在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+)内单调递减,函数h(x)在x=1处取得极大值,并且这个极大值就是函数h(x)的最大值.由此可得h(x)max=h(1)=1,故m1,结合已知条件mZ,m1,可得m=1.5.已知函数f(x)=-2(x+a)ln x
9、+x2-2ax-2a2+a,其中a0.(1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;(2)证明:存在a(0,1),使得f(x)0在区间(1,+)内恒成立,且f(x)=0在区间(1,+)内有唯一解.答案:(1)解由已知,函数f(x)的定义域为(0,+),g(x)=f(x)=2(x-a)-2lnx-21+ax,所以g(x)=2-2x+2ax2=2x-122+2a-14x2.当0a0,(e)=-e(e-2)1+e-1-2e-21+e-120.故存在x0(1,e),使得(x0)=0.令a0=x0-1-lnx01+x0-1,u(x)=x-1-lnx(x1).由u(x)=1-1x0知,函数u(
10、x)在区间(1,+)内单调递增.所以0=u(1)1+1u(x0)1+x0-1=a0u(e)1+e-1=e-21+e-11.即a0(0,1).当a=a0时,有f(x0)=0,f(x0)=(x0)=0.由(1)知,f(x)在区间(1,+)内单调递增,故当x(1,x0)时,f(x)f(x0)=0;当x(x0,+)时,f(x)0,从而f(x)f(x0)=0.所以,当x(1,+)时,f(x)0.综上所述,存在a(0,1),使得f(x)0在区间(1,+)内恒成立,且f(x)=0在区间(1,+)内有唯一解.二、思维提升训练6.已知函数f(x)=13x3+x2+ax+1(aR).(1)求函数f(x)的单调区间
11、;(2)当a0时,试讨论是否存在x00,1212,1,使得f(x0)=f12.解:(1)f(x)=x2+2x+a,方程x2+2x+a=0的判别式为=4-4a,当a1时,0,则f(x)0,此时f(x)在R上是增函数;当a0,解得x-1+1-a,解不等式x2+2x+a0,解得-1-1-ax-1+1-a,此时,函数f(x)的单调递增区间为(-,-1-1-a)和(-1+1-a,+),单调递减区间为(-1-1-a,-1+1-a).综上所述,当a1时,函数f(x)的单调递增区间为(-,+);当a1时,函数f(x)的单调递增区间为(-,-1-1-a)和(-1+1-a,+),单调递减区间为(-1-1-a,-1
12、+1-a).(2)f(x0)-f12=13x03+x02+ax0+1-13123-122-a12-1=13x03-123+x02-122+ax0-12=13x0-12x02+x02+14+x0-12x0+12+ax0-12=x0-12x023+x06+112+x0+12+a=112x0-12(4x02+14x0+7+12a).若存在x00,1212,1,使得f(x0)=f12,则4x02+14x0+7+12a=0在0,1212,1内有解.由a0,故方程4x02+14x0+7+12a=0的两根为x1=-7-21-48a4,x2=-7+21-48a4.由x00,得x0=x2=-7+21-48a4,依题意,0-7+21-48a41,即721-48a11,所以4921-48a121,即-2512a-712,又由-7+21-48a4=12得a=-54,故要使满足题意的x0存在,则a-54.综上,当a-2512,-54-54,-712时,存在唯一的x00,1212,1满足f(x0)=f12,当a-,-2512-54-712,0时,不存在x00,1212,1满足f(x0)=f12.