1、6.4.3余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理课后篇巩固提升基础巩固1.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=13,b=3,A=60,则c=() A.1B.2C.4D.6答案C解析由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,即13=9+c2-3c,即c2-3c-4=0,解得c=4(负值舍去).2.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2-c2+b2=ab,则sin C的值为()A.12B.22C.32D.33答案C解析由余弦定理,得cos C=a2+b2-c22ab=12.因为C(0,),所以C=3,sin C=32.故选C.3.在ABC中,a,b,c分别是
2、内角A,B,C的对边,则下列等式正确的是()A.a=bcos C+ccos BB.a=bcos C-ccos BC.a=bsin C+csin BD.a=bsin C-csin B答案A解析bcos C+ccos B=ba2+b2-c22ab+ca2+c2-b22ac=2a22a=a.4.如果将直角三角形的三边增加同样的长度,那么新三角形的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度确定答案A解析设直角三角形的三条边长分别为a,b,c,且a2+b2=c2,三条边均增加同样的长度m,三边长度变为a+m,b+m,c+m,此时最长边为c+m,设该边所对角为,则由余弦定理,得c
3、os =(a+m)2+(b+m)2-(c+m)22(a+m)(b+m)=m2+2m(a+b-c)2(a+m)(b+m).因为m20,a+b-c0,所以cos 0,所以为锐角,其他各角必为锐角,故新三角形是锐角三角形.5.在ABC中,AB=3,BC=13,AC=4,则边AC上的高为()A.322B.332C.32D.33答案B解析在ABC中,AB=3,BC=13,AC=4,由余弦定理,得cos A=AB2+AC2-BC22ABAC=32+42-13234=12,A=60.边AC上的高h=ABsin A=3sin 60=332.故选B.6.在ABC中,a=3,b=5,c=7,则其最大内角为.答案2
4、3解析由题意,得cba,则角C最大.cos C=a2+b2-c22ab=32+52-72235=-12,且0Cb,ac,即a是最长边,所以角A最大.由余弦定理,得cos 120=(a-4)2+(a-8)2-a22(a-4)(a-8),解得a=14(a=4舍去),所以b=10,c=6,故ABC的周长为30.最小内角为C,cos C=142+102-6221410=26021410=1314.9.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=3ac,则角B的度数为.答案60或120解析由余弦定理,得2accos Btan B=3ac,整理,得sin B=32,所
5、以B=60或120.10.在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边长,若(a+b+c)(sin A+sin B-sin C)=3asin B, 求角C的大小.解由题意,得(a+b+c)(a+b-c)=3ab,整理,得a2+2ab+b2-c2=3ab,即a2+b2-c22ab=12,所以cos C=12,所以C=60.能力提升1.在ABC中,BD为ABC的平分线,AB=3,BC=2,AC=7,则sinABD=.答案12解析因为BD为ABC的平分线,所以ABD=12ABC.由余弦定理,得cosABC=AB2+BC2-AC22ABBC=32+22-(7)2232=12,所以cosABC=1-
6、2sin2ABD=12,所以sinABD=12.2.如图,在ABC中,已知点D在边BC上,ADAC于点A,sinBAC=223,AB=32,AD=3,则BD的长为.答案3解析因为sinBAC=223,且ADAC,所以sin2+BAD=223,所以cosBAD=223.在BAD中,由余弦定理,得BD=AB2+AD2-2ABADcosBAD=(32)2+32-2323223=3.3.若2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边长,求实数a的取值范围.解因为2a+1,a,2a-1是三角形的三边长,所以2a+10,a0,2a-10,解得a12,此时2a+1最大.要使2a+1,a,2a-1是三角形的三边长,还需a+2a-12a+1,解得a2.设最长边2a+1所对的角为,则90,所以cos =a2+(2a-1)2-(2a+1)22a(2a-1)=a(a-8)2a(2a-1)0,解得12a8.综上可知实数a的取值范围是(2,8).