1、浙江省绍兴市2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1已知集合Mx|2x5，Nx|3x3，则MN（）Ax|2x3Bx|3x2Cx|3x5Dx|3x52复数z（其中i为虚数单位）的实部是（）A2B1C1D23双曲线1的渐近线方程是（）AyxByxCy2xDyx4若实数x，y满足约束条件，则z2xy的取值范围是（）A2，0B0，2C2，2D2，+）5已知向量，则在方向上的投影是（）A1B0C1D36“30”是“sin”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7函数y|x|sinx+x|cosx|在区间，上
2、的图象可能是（）ABCD8已知正方体ABCDA1B1C1D1，E是棱BC的中点，则在棱CC1上存在点F，使得（）AAFD1EBAFD1ECAF平面C1D1EDAF平面C1D1E9已知a，bR，当x1，2时恒有（|x+a|b）（x2+x2）0，则（）Aa1Ba1Cb1Db110已知递增数列an的前100项和为S100，且a10，a1002，若当1ij100时，ajai仍是数列an中的项（其中n，i，jN*），则（）Aa1，且S100100Ba1，且S100101Ca1，且S100100Da1，且S100101二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11圆（x1）2+
3、（y3）22的圆心坐标是 ，半径长是 12我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理，成就了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形已知大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，则一个直角三角形的面积是 ，直角三角形中最小边的边长是 13已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中正视图和侧视图均为等腰三角形，则该几何体的体积是 cm3，侧面积是 cm214已知实数x，y满足x+y1，则x2+4xy的最大值是 15在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若a，b2，A60，则sinB ，c 16已
4、知平面向量，满足2，则的最小值是 17已知a1，函数f（x）若函数yf（x）1有三个不同的零点，则a的取值范围是 三、解答题（本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18已知函数f（x）sinx+cosx（0）（）当2时，求的值；（）若f（x）的周期为8，求f（x）在区间0，4上的最大值和最小值19如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是梯形，ABCD，BCCD，PAB是等边三角形，E是棱AB的中点，ABPD2，BCCD1（）证明：PE平面ABCD；（）求直线PA与平面PCD所成角的正弦值20已知等差数列an满足a11，a2+a4a3+5，nN*（）求数列an的通项公式
5、；（）若数列bn满足b11，bn+1an+2bnan（nN*），求数列bn的前n项和21如图，已知直线l与抛物线M：x24y和椭圆N：都相切，切点分别为A，B（）求抛物线M的焦点坐标和准线方程；（）若A（4，4），P是椭圆N上异于B的一点，求PAB面积的最大值22已知aR，函数f（x）（）当a0时，求曲线f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（）若f（x）在区间（0，+）上存在两个不同的极值点，（）求a的取值范围；（）若当x0时恒有f（x）t成立，求实数t的取值范围（参考数据：ln20.69，ln31.10）参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1已知集合Mx|2x5，Nx|
6、3x3，则MN（）Ax|2x3Bx|3x2Cx|3x5Dx|3x5解：集合Mx|2x5，Nx|3x3，MNx|2x3故选：A2复数z（其中i为虚数单位）的实部是（）A2B1C1D2解：因为z12i，所以复数z的实部为1，故选：C3双曲线1的渐近线方程是（）AyxByxCy2xDyx解：双曲线y21的a，b1，由双曲线1的渐近线方程为yx，则所求渐近线方程为yx故选：B4若实数x，y满足约束条件，则z2xy的取值范围是（）A2，0B0，2C2，2D2，+）解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，A（1，0），B（1，0），作出直线y2x，由图可知，平移直线y2x至A时，直线在y轴上的截距最大，z
7、有最小值为2；平移直线y2x至B时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2z2xy的取值范围是2，2故选：C5已知向量，则在方向上的投影是（）A1B0C1D3解：3，cos，向量在向量方向上的投影为|cos3故选：D6“30”是“sin”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：因为sin30，而sin时，可得30+k360，kZ，或者150+k360，kZ，则“30”是“sin”的充分不必要条件，故选：A7函数y|x|sinx+x|cosx|在区间，上的图象可能是（）ABCD解：函数y|x|sinx+x|cosx|在区间，上是奇函数，x（0，时，函数值恒大于0
8、，排除选项A、B、C，故选：D8已知正方体ABCDA1B1C1D1，E是棱BC的中点，则在棱CC1上存在点F，使得（）AAFD1EBAFD1ECAF平面C1D1EDAF平面C1D1E解：正方体ABCDA1B1C1D1，E是棱BC的中点，在棱CC1上存在点F，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，对于A，DE与平面ACC1相交，AF平面ACC1，AF与D1E不平行，故A错误；对于B，当F为CC1中点时，A（2，0，0），D1（0，0，2），E（1，2，0），F（0，2，1），（2，2，1），（1，2，2），2+420，A
9、FD1E，故B正确；对于C，C（0，2，0），C1（0，2，2），D1（0，0，2），E（1，2，0），设F（0，2，t），（0t2），（2，2，t），（1，2，2），（1，0，2），设平面C1D1E的法向量（x，y，z），则，取z1，得（2，0，1），0t2，4+t0，AF与平面C1D1E不平行，故C错误；对于D，由C得（2，2，t），平面C1D1E的法向量（2，0，1），与不平行，AF与平面C1D1E不垂直，故D错误故选：B9已知a，bR，当x1，2时恒有（|x+a|b）（x2+x2）0，则（）Aa1Ba1Cb1Db1解：令f（x）x2+x2，所以x1，1时，f（x）0，则|x+a|b0，
10、即b（|x+a|）maxx1，2时，f（x）0，则|x+a|b0，即b（|x+a|）min，若当x1，2时恒有（|x+a|b）（x2+x2）0，则必须同时满足，令h（x）|x+a|，当a0时，h（x）|x|，h（x）在1，1上，最大值为1，所以b1，h（x）在1，2上，最小值为1，所以b1，所以b1，当a0时，h（x）在1，1上，最大值为|1+a|1+a，所以b1+a，h（x）在1，2上，h（x）x+a，最小值为|1+a|1+a，所以b1+a，所以b1+a1，当a0时，h（x）在1，1上，最大值为|1+a|1a，所以b1a0，h（x）在1，2上，h（x）最小值为0或h（1）|1+a|或h（2）
11、|2+a|，所以b0或b|1+a|或b|2+a|，但是1a0，1a|1+a|，1a|2+a|，所以此时不能同时满足，综上所述，b1，故选：D10已知递增数列an的前100项和为S100，且a10，a1002，若当1ij100时，ajai仍是数列an中的项（其中n，i，jN*），则（）Aa1，且S100100Ba1，且S100101Ca1，且S100100Da1，且S100101解：由题意可得：a1a2a3a100，a100a99a100a98a100a1，当1ij100时，ajai仍是数列an中的项，a100a99、a100a98、a100a1都在an中，a10，a100a100a1，a100
12、a1a100，a1a100a99，a2a100a98，a99a100a1，S100a1+a2+a1002100（S1002）202S100，S100101，又a1+a99a2+a98a49+a51a1002，2a502，50a1a501，a1，故选：B二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11圆（x1）2+（y3）22的圆心坐标是 （1，3），半径长是 解：根据题意，圆（x1）2+（y3）22，其圆心为（1，3），半径r；故答案为：（1，3），12我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理，成就了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”如图，它是
13、由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形已知大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，则一个直角三角形的面积是 4，直角三角形中最小边的边长是 2解：设直角三角形的直角边长度为：m，n（mn0），由题意可得：，据此可得：，即：一个直角三角形的面积是4，直角三角形中最小边的边长是2故答案为：4，213已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中正视图和侧视图均为等腰三角形，则该几何体的体积是 cm3，侧面积是 cm2解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面半径为1，高为2的圆锥；如图所示：故；故答案为：14已知实数x，y满足x+y1，则x2+4xy的最大值是
14、解：实数x，y满足x+y1，则x2+4xyx2+4x（1x）4x3x2，由二次函数的性质可知，当x时，函数取得最大值，最大值为：4故答案为：15在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若a，b2，A60，则sinB，c3解：在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，ca，b2，A60，由正弦定理得：，即，解得sinB由余弦定理得：cos60，解得c3或c1（舍），sinB，c3故答案为：，316已知平面向量，满足2，则的最小值是 4解：，又，所以不妨设，故，所以，设，则，当P，A，B三点共线时等号成立故 的最小值为 4故答案为：417已知a1，函数f（x）若函数yf（x）1有三个不
15、同的零点，则a的取值范围是 解：若函数yf（x）1有三个不同的零点，则yf（x）与y1有3个交点，当x1时，f（x）xln（x+a），f（x）1，因为a1，所以x+a0，令f（x）0，得x1a，若1a1，即a0时，在（1，+）上，f（x）0，f（x）单调递增，所以f（x）min1ln（1+a），因为此时a0，则1+a1，所以ln（1+a）0，所以f（x）min1ln（1+a）1，此时在1，+）上，f（x）与y1有1个交点，若1a1，即a0时，在（1，1a）上，f（x）0，f（x）单调递减，在（1a，+）上，f（x）0，f（x）单调递增，所以f（x）minf（1a）1aln（1a+a）1a，此时
16、a0，则1a0，所以在1，+）上，f（x）与y1没有交点，若yf（x）与y1有3个交点，则当x1，f（x）必然与y1有一个交点，即a0，所以当x1，f（x）只能与y1有两个交点，又当x1时，f（x）x2ax+a2，对称轴x，所以，即，解得1a，所以a的取值范围为（1，）故答案为：（1，）三、解答题（本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18已知函数f（x）sinx+cosx（0）（）当2时，求的值；（）若f（x）的周期为8，求f（x）在区间0，4上的最大值和最小值解：（）由题意可得，f（x）sin2x+cos2x，得（）因为，所以，周期，解得，所以因为0x4，所以5于
17、是，当，即x1时，f（x）取得最大值；当，即x4时，f（x）取得最小值1所以，f（x）在区间0，4上的最大值是，最小值是119如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是梯形，ABCD，BCCD，PAB是等边三角形，E是棱AB的中点，ABPD2，BCCD1（）证明：PE平面ABCD；（）求直线PA与平面PCD所成角的正弦值【解答】（）证明：因为BECD，BECD1，所以四边形BCDE是平行四边形，所以DEBC1在等边PAB中，E是AB中点，AB2，所以在PDE中，PD2，所以DE2+PE2PD2，所以PEDE又因为PEAB，ABDEE，所以PE平面ABCD（）解法1：在PDE中，作EFPD，垂足为
18、F因为AECD，所以AE平面PCD，所以点A，E到平面PCD的距离相等因为PE平面ABCD，所以CDPE，又因为BCCD，BCDE，所以CDDE，所以CD平面PDE，CD平面PCD，所以平面PCD平面PDE，所以EF平面PCD，所以点A到平面PCD的距离即为设直线PA与平面PCD所成角为，则，所以直线PA与平面PCD所成角的正弦值为解法2：因为PE平面ABCD，所以三棱锥PACD的体积为设点A到平面PCD的距离为d，又DCDP，所以三棱锥APCD的体积为由VPACDVAPCD，得，所以设直线PA与平面PCD所成的角为，则，所以直线PA与平面PCD所成角的正弦值为解法3：因为PE平面ABCD，D
19、EAB，所以，以E为原点，分别以射线ED，EB，EP为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz，则A（0，1，0），C（1，1，0），D（1，0，0），设平面PCD的一个法向量为取z1，得设直线PA与平面PCD所成角为，则所以直线PA与平面PCD所成角的正弦值为20已知等差数列an满足a11，a2+a4a3+5，nN*（）求数列an的通项公式；（）若数列bn满足b11，bn+1an+2bnan（nN*），求数列bn的前n项和解：（）设等差数列an的公差为d，则a21+d，a31+2d，a41+3d因为a2+a4a3+5，所以2+4d1+2d+5，解得d2所以数列an的通项公式
20、为ana1+（n1）d2n1（）因为bn+1an+2bnan，所以所以，当n2时，即又b11适合上式，所以因为，数列bn的前n项和为21如图，已知直线l与抛物线M：x24y和椭圆N：都相切，切点分别为A，B（）求抛物线M的焦点坐标和准线方程；（）若A（4，4），P是椭圆N上异于B的一点，求PAB面积的最大值解：（）抛物线x24y的焦点坐标为（0，1），准线方程为y1（）由得，因为直线l与抛物线的切点为A（4，4），所以直线l的斜率为2，所以直线l的方程为y2x4，联立方程组消去y整理得（4+a2）x216x+16a20，因为直线l和椭圆相切，所以1624（4+a2）（16a2）0，解得a212
21、于是，点B的横坐标为，所以，因此，要使得PAB面积取得最大值，只需椭圆上的点P到直线l的距离达到最大，由椭圆的对称性可知，当P与B关于原点对称时，过点P且与l平行的直线y2x+4和椭圆相切，此时两平行线间的距离即为点P到直线l距离的最大值，所以，点P到直线l的最大距离为因此，PAB面积的最大值为22已知aR，函数f（x）（）当a0时，求曲线f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（）若f（x）在区间（0，+）上存在两个不同的极值点，（）求a的取值范围；（）若当x0时恒有f（x）t成立，求实数t的取值范围（参考数据：ln20.69，ln31.10）解：（）当a0时，所以f（0）0，f（0）4，所
22、以，所求的切线方程为y4x（）（），设f（x）在区间（0，+）上的极值点为x1，x2（x1x2），则x1，x2是方程x2（a1）x+4a0的两正根，所以，解得：3a4，即a的取值范围是（3，4）；（）由（）知：当0xx1时，f（x）0，所以f（x）单调递增，当x1xx2时，f（x）0，所以f（x）单调递减，当xx2时，f（x）0，所以f（x）单调递增；所以要使得当x0时恒有f（x）t成立，只需满足tminf（0），f（x2），因为，3a4，所以x2（1，3），又因为，所以，x2（1，3），设，x（1，3），则，因为x（1，3），所以F（x）0，F（x）在（1，3）上单调递减，所以，从而，由ln20.69，得，又因为f（0）0，所以，即t的取值范围是（，8ln2