1、江西省南昌市南昌县莲塘第一中学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 理（含解析）一、选择题（仅有一个选项是正确的.）1.已知复数z满足，则z的共轭复数是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案【详解】由得到 故选A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题2.观察下列各式：，可以得出的一般结论是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，由上述式子可以归纳：左边每一个
2、式子均有2n-1项，且第一项为n，则最后一项为3n-2右边均为2n-1的平方故选C点睛：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）3. ( )A. B. 2eC. D. 【答案】D【解析】由微积分基本定理可得：，故选D.4.“”是“直线的倾斜角大于”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设直线的倾斜角为，则.若，得，可知倾斜角大于；由倾斜角大于得，或，即或，所以“”是“直线的倾斜角大于”的充分而不必要条件，故选A.5.函数的单调递减区间是
3、（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意，可得和定义域，由，即可求解函数的递减区间.【详解】由题意，可得，令，即，解得，即函数的递减区间为.【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，其中根据函数的解析式求得函数的导数，利用求解，同时注意函数的定义域是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6.若函数仅在处有极值，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求导函数，要保证函数仅在处有极值，必须满足在两侧异号【详解】由题意，要保证函数仅在x0处有极值，必须满足在x0两侧异号，所以要恒成立，由判别式有：，a的取值范围是故选A【点睛】本题考查导数
4、知识的运用，考查函数的极值，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题7.下列命题正确的是( )A. “”是“”的必要不充分条件B. 若给定命题,使得,则,均有C. 若为假命题,则均为假命题D. 命题“若,则”的否命题为“若,则”【答案】B【解析】因为，所以，因此“”是“”的充分不必要条件；命题,使得的否定为,均有；若为假命题,则为假命题；命题“若,则”的否命题为“若,则”；选B.8.曲线，（为参数）的对称中心（ ）A. 在直线上B. 在直线上C. 在直线上D. 在直线上【答案】B【解析】试题分析：参数方程所表示的曲线为圆心在，半径为1的圆，其对称中心为，逐个代入选项可知，点满足，故选B.考点：圆
5、的参数方程，圆的对称性，点与直线的位置关系，容易题.9.若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质下列函数中具有性质的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】若函数yf（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数yf（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为1，进而可得答案详解】解：函数yf（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数yf（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为1，当ysinx时，ycosx，满足条件；当ylnx时，y0恒成立，不满足条件；当yex时，yex0恒
6、成立，不满足条件；当yx3时，y3x20恒成立，不满足条件；故选A考点：导数及其性质.10.已知函数，若在定义域内不大于0，则实数的取值范围为（ ）.A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由上恒成立，分离参数上恒成立，设，只需，求，求出单调区间，进而求出极值，最大值，即可求解.【详解】依题意上恒成立，即上恒成立，设，只需， ，令，当，当，单调递增区间是，单调递减区间是，所以时，取得极大值为，也是最大值，所以.故选:A.【点睛】本题考查函数恒成立问题，分离参数，构造函数，转化为参数与函数的最值关系，考查应用导数求最值，属于中档题.11.定义在上的偶函数的导函数为，若对任意的实数，都有
7、恒成立，则使成立的实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意构造函数，结合函数的单调性和函数的奇偶性求解实数的取值范围即可.【详解】是上的偶函数，则函数也是上的偶函数，对任意的实数，都有恒成立，则.当时，当时，即偶函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，不等式即，据此可知，则或.即实数的取值范围为.本题选择B选项.【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全
8、面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.12.已知函数，对任意的，关于的方程在上有实数根，则实数的取值范围为（ ）（其中为自然对数的底数）.A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设的值域为，通过求导数法，求出，设的值域为，由已知可得，当，只需函数在上的最大值，用导数法求的最大值，解关于的不等式，即可求出结论.【详解】,令，当时，当时，当时取得极大值为，也是最大值，设的值域为，则，设的值域为，对任意的，关于的方程在上
9、有实数根，所以.当，所以只需，令或（舍去），当时，在上是增函数， 解得，当时，在上单调递增，在上单调递减，令，在单调递增，而， 于是，解得.综上，.故选:C.【点睛】本题考查方程的根，等价转化为两个函数的值域关系，考查用导数求函数的最值，考查分类讨论思想，属于较难题.二、填空题（把正确答案填写在横线上.）13.比较大小：_【答案】【解析】【详解】试题分析：要比较、的大小，只须比较、，要比较、两数的大小，只须比较的大小，显然，从而考点：1数或式的大小比较；2分析法14.=_【答案】【解析】【分析】由结合复数的除法运算求解即可.【详解】解法一：解法二：【点睛】本题主要考查了复数的基本运算，属于基础
10、题.15.若在R上可导, ,则_.【答案】-18【解析】【分析】先求，再令求出后得到，最后根据莱布尼兹公式计算定积分.【详解】，令，则，从而，故填.【点睛】定积分的计算，需要找出被积函数的原函数，因此知道一些常见函数的原函数是求定积分的基础，比如的原函数为，的原函数为，的原函数为.16.对于函数，若存在区间，当时的值域为，则称为倍值函数.若是上倍值函数，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由已知可得，当时，值域为，而在上单调递增，所以有，为在上的两个解，即在由两个解，显然不是方程的解，分离参数可得，设，转化为的图像有两个交点，通过求导，求出的单调区间，极值，分析函数值的变化趋势，即可
11、求出的取值范围.【详解】在上单调递增，依题意，所以为在上的两个解，即在有两个解，显然不是方程的解，设，只需图像有两个交点，当时，或 当时，所以单调递减区间是，递增区间是，所以时，取得极小值为，当时，当时，当，要使的图像有两个交点，需.故答案为:.【点睛】本题考查新定义问题，等价转化为方程的解，分离参数，构造函数，利用导数求函数的单调区间、极值，考查数形结合思想，属于中档题.三、解答题（要求写出必要的文字说明、方程式和步骤.）17.设命题，（1）若，且为假，为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）时，； ，解得根据为假，为真
12、，可得与必然一真一假（2）是的充分不必要条件，则，解得范围【详解】（1）当时，因为为假，为真，所以“，”一真一假真假时，得，假真时，得，综上，实数的取值范围是（2）由得若是的充分不必要条件，则，即，所以【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18.已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同，曲线的极坐标方程为 （1）求曲线的直角坐标方程；（2）直线为参数）与曲线交于两点，于轴交于点，求的值【答案】（1） （2）【解析】【详解】（1）则的直角坐标方程为，即（2）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，设点对应的
13、参数分别为，则19.设函数f(x)ax(a，bZ)，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y3.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点的切线与直线x1和直线yx所围三角形的面积为定值，并求出此定值【答案】(1) f(x)x；(2)证明见解析【解析】【详解】(1)解f(x)a，解得或因为a，bZ，故f(x)x.(2)在曲线上任取一点，由f(x0)1知，过此点的切线方程为y1 (xx0)令x1，得y， 切线与直线x1的交点为 (1,)；令yx，得y2x01，切线与直线yx的交点为(2x01,2x01)；直线x1与直线yx的交点为(1,1)，从而所围三角形的面积为|2x
14、011|2.所以，所围三角形的面积为定值2.20.已知函数（1）当时，方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围；（2）若函数在区间内单调递增，求实数取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）当时令，利用导数求出函数极值，即可得到参数的取值范围.（2）分和两种情况讨论，参变分离即可求出参数的取值范围.【详解】解：（1）当时令，令或，易得：，欲使方程有三个不同的实数解，（2）令，在上为增函数，若，则在上为减函数，即在上恒成立，即在上恒成立，又因为在上恒成立，此时，若，则在上为增函数，须使在上恒成立，即在上恒成立，即，不合题意，故舍去综上，【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性、极值、最值
15、问题，属于中档题.21.设椭圆的中心在坐标原点，其中一个焦点为圆的圆心，右顶点是圆与轴的一个交点.已知椭圆与直线相交于、两点，延长与椭圆交于点.（1）求椭圆的方程；（2）求面积的最大值.【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）求出圆心，以及与轴的的交点（圆心右侧），为椭圆的右顶点，即可求出椭圆方程；（2）根据椭圆的对称性，设，直线过，椭圆方程与直线方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，求出关于为变量的函数，运用换元法，结合求导，求出函数的最值，即为面积的最大值.【详解】（1）圆，化为，圆心，与轴交点坐标，右顶点为，所求的椭圆方程为.（2）设，由得，.，令，则，设，恒成立，单
16、调递增，当时，取得最小值，此时取得最大值为3.【点睛】本题考查椭圆的标准方程和三角形面积的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查用函数思想求最值，正确表示三角形的面积是关键，属于中档题.22.已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若函数在上单调递增，求的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）【解析】【分析】（1）求，对参数分类讨论，求出的解的区间，即可得出结论；（2）根据条件即求在恒成立的取值范围，求出，即，分离参数，在恒成立，构造函数，只需，通过二次求导判断的正负，进而判断的单调性，求出；或，则至少有，然后求，求出单调区间，进而求出，解不等式，即可得出结论.【详解】（1）的定义域为，当时，在上恒成立，所以在上递减；当时，令，当时，当时，则在上递减，在上递增.（2）在恒成立，所以，即 令，则有，令，则有在上恒成立.故在上为减函数，所以在上为减函数，则，故.另解令，则至少有.当时，则有，令，开口向上，对称轴，故在上为增函数，所以在上为增函数，则，故.【点睛】本题考查导数在研究函数中的综合应用，涉及到单调区间、最值，解题的关键要注意等价转化构造函数，考查分类讨论思想，属于较难题.