1、5从力做的功到向量的数量积课时目标1通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义2体会平面向量的数量积与向量射影的关系3掌握向量数量积的运算律1两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个_a和b，作a，b，则_ (0180)叫作向量a与b的夹角范围：向量a与b的夹角的范围是_当0时，a与b_当180时，a与b_(2)垂直：如果a与b的夹角是_，则称a与b垂直，记作_2射影的概念_叫作向量b在a方向上的射影_叫作向量a在b方向上的射影3向量的数量积的定义已知两个向量a与b，它们的夹角为，则把_叫作a与b的_(或_)，记作_，即_4数量积的基本性质设a与b都是非零向量，为a与b的夹角(
2、1)ab_；(2)当a与b同向时，ab_，当a与b反向时，ab_；(3)aa_或|a|；(4)cos _(|a|b|0)；(5)|ab|_(当且仅当ab时等号成立)5平面向量数量积的运算律(1)abba(交换律)；(2)(a)b(ab)a(b)；(3)(ab)cacbc一、选择题1|a|2，|b|4，向量a与向量b的夹角为120，则向量a在向量b方向上的射影等于()A3 B2 C2 D12已知ab，|a|2，|b|3，且3a2b与ab垂直，则等于()A B C D13已知向量a，b满足ab0，|a|1，|b|2，则|2ab|等于()A0 B2 C4 D84在边长为1的等边ABC中，设a，b，c
3、，则abbcca等于()A B0 C D35若非零向量a，b满足|a|b|，(2ab)b0，则a与b的夹角为()A30 B60 C120 D1506若向量a与b的夹角为60，|b|4，(a2b)(a3b)72，则向量a的模为()A2 B4 C6 D12二、填空题7已知向量a与b的夹角为120，且|a|b|4，那么b(2ab)的值为_8给出下列结论：若a0，ab0，则b0；若abbc，则ac；(ab)ca(bc)；ab(ac)c(ab)0其中正确结论的序号是_9设非零向量a、b、c满足|a|b|c|，abc，则a，b_10已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b(ab)0，则|b|的取值范围是_
4、三、解答题11已知|a|4，|b|3，当(1)ab；(2)ab；(3)a与b的夹角为60时，分别求a与b的数量积12已知|a|b|5，向量a与b的夹角为，求|ab|，|ab|能力提升13已知|a|1，|b|1，a，b的夹角为120，计算向量2ab在向量ab方向上的射影14设n和m是两个单位向量，其夹角是60，求向量a2mn与b2n3m的夹角1两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a0，b0,090时)，也可以为负(当a0，b0,90180时)，还可以为0(当a0或b0或90时)2数量积对结合律一般不成立，因为(ab)c|a|b|cosa，bc是一个与c共线的向量，而(a
5、c)b|a|c|cosa，cb是一个与b共线的向量，两者一般不同3向量b在a上的射影不是向量而是数量，它的符号取决于角，注意a在b方向上的射影与b在a方向上的射影是不同的，应结合图形加以区分5从力做的功到向量的数量积 答案知识梳理1(1)非零向量AOB0，同向反向(2)90ab2|b|cos |a|cos 3|a|b|cos 数量积内积abab|a|b|cos 4(1)ab0(2)|a|b|a|b|(3)|a|2(4)(5)|a|b|作业设计1Da在b方向上的射影是|a|cos 2cos 12012A(3a2b)(ab)3a2(23)ab2b23a22b2121803B|2ab|2(2ab)2
6、4|a|24ab|b|2414048，|2ab|24Aab|cos 60同理bc，ca，abbcca5C由(2ab)b0，得2abb20，设a与b的夹角为，2|a|b|cos |b|20cos ，1206Cab|a|b|cos 602|a|，(a2b)(a3b)|a|26|b|2ab|a|22|a|9672|a|670解析b(2ab)2ab|b|2244cos 1204208解析因为两个非零向量a、b垂直时，ab0，故不正确；当a0，bc时，abbc0，但不能得出ac，故不正确；向量(ab)c与c共线，a(bc)与a共线，故不正确；正确，ab(ac)c(ab)(ab)(ac)(ac)(ab)0
7、9120解析abc，|c|2|ab|2a22abb2又|a|b|c|，2abb2，即2|a|b|cosa，b|b|2cosa，b，a，b120100,1解析b(ab)ab|b|2|a|b|cos |b|20，|b|a|cos cos (为a与b的夹角)，0，0|b|111解(1)当ab时，若a与b同向，则a与b的夹角0，ab|a|b|cos 43cos 012若a与b反向，则a与b的夹角为180，ab|a|b|cos 18043(1)12(2)当ab时，向量a与b的夹角为90，ab|a|b|cos 904300(3)当a与b的夹角为60时，ab|a|b|cos 6043612解ab|a|b|cos 55|ab|5|ab|513解(2ab)(ab)2a22ababb22a2abb221211cos 12012|ab|1|2ab|cos2ab，ab|2ab|向量2ab在向量ab方向上的射影为14解|n|m|1且m与n夹角是60，mn|m|n|cos 6011|a|2mn| ，|b|2n3m| ，ab(2mn)(2n3m)mn6m22n26121设a与b的夹角为，则cos 又0，故a与b的夹角为