1、第5课时瞬时变化率导数(2) 教学过程一、 问题情境跳水运动员从10m跳台腾空到入水的过程中,不同时刻的速度是不同的.假设ts后运动员相对于水面的高度为H(t)=-4.9t2+6.5t+10,试确定运动员在某个时刻t0的瞬时速度.如果将上述问题中的函数H(t)用y=f(x)来表示,那么函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率又该如何表示呢?二、 数学建构问题1高台跳水运动中,运动员在某个时刻t0的瞬时速度如何表示?解如果当t无限趋近于0时,运动物体位移h(t)的平均变化率无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在时的瞬时速度,也就是位移对于时间的瞬时变化率.问题2将上述问题中的函数H(t)用y
2、=f(x)来表示,那么函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率又该如何表示呢?解如果当x无限趋近于0时,函数y=f(x)的平均变化率无限趋近于一个常数,那么这个常数称为函数在x=x0处的瞬时变化率.概念生成设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x0(a,b),若x无限趋近于0时,比值=无限趋近于一个常数A,则称f(x)在x=x0处可导,并称该常数A为f(x)在x=x0处的导数,记作f(x0).1巩固概念问题3导数f(x0)的几何意义是什么?解导数f(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率.问题4通过概念中导数的形式能否概括出求f(x)在x=x0处的导数的
3、一般步骤?解求y;求;当x无限趋近于0时,比值=无限趋近于一个常数A,则常数A即为f(x)在x=x0处的导数.问题5f(x)是不是一个函数?解若函数y=f(x)在区间(a,b)内任一点都可导,则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数,该函数称为f(x)的导函数,记作f(x).在不引起混淆时,导函数f(x)也称为f(x)的导数.问题6运动物体的位移S(t)对于时间t的导数是什么? 运动物体的速度v(t)对于时间t的导数是什么?解瞬时速度是运动物体的位移S(t)对于时间t的导数,瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间t的导数.问题7如何理解f(x)在x=x0处的
4、导数f(x0)?解f(x)在x=x0处的导数f(x0)就是函数f(x)在x=x0处的函数值,而不是f(x0)的导数.三、 数学运用【例1】(教材第13页例3)已知 f(x)=x2+2.(见学生用书P9)(1) 求f(x)在x=1处的导数;(2) 求f(x)在x=a处的导数.处理建议本题要求学生表述格式规范化.规范板书解(1) 因为=2+x,当x0时,2+x2,所以f(x)在x=1处的导数等于2.(2) 因为=2a+x,当x0时,2a+x2a,所以f(x)在x=a处的导数等于2a.题后反思巩固强化导数的内涵,使学生理解导数概念的本质.通过此例,我们由函数f(x)在x=x0处的导数引出函数在区间(
5、a,b)上的导函数的概念.变式求函数y=在x=2处的导数.规范板书解因为=-,当x0时,-,所以f(x)在x=2处的导数等于-.【例2】在曲线y=x3上一点P处作切线,使该切线与直线y=-5垂直,求此切线的方程.(见学生用书P10)处理建议曲线在某点的切线的斜率等于函数在切点处的导数值,本题结合两垂直直线的斜率关系进行解题.规范板书解设点P(x,x3),=3x2+3xx+(x)2,当x0时,3x2+3xx+(x)23x2,所以f(x)在点P处的导数等于3x2.由题可知,3x2=3x=1或-1,所以切线方程为3x-y-2=0或3x-y+2=0.题后反思本题应利用导数的几何意义解题.【例3】已知f
6、(x)=x3-2x+1,求f(x)及f(2).(见学生用书P10)处理建议学生学习一种新的记号需要一个理解适应的过程,因此,对于本题,给予学生时间思考.规范板书解因为=3x2-2+3xx+(x)2,当x0时,3x2-2+3xx+(x)23x2-2,所以f(x)=3x2-2,f(2)=10.题后反思f(x)在x=2处的导数f(2)就是函数f(x)在x=2处的函数值.变式已知成本c与产量q的函数关系式为c(q)=3q+4q2,则当产量q=6时,求边际成本c(6).规范板书解=3+8q+4q,当q0时,3+8q+4q3+8q,即c(q)=3+8q,c(6)=51.题后反思c(x)在x=a处的导数c(
7、a)称为生产规模为a时的边际成本值.*【例4】已知f(-x)=f(x)对任意实数x都成立,且f(-x0)=-k(k0),求f(x0).处理建议本题利用导数的概念进行推导.规范板书解=.当x0时,上式无限逼近于-f(x0),所以f(x0)=k.变式已知f(x+1)-f(1)=2x2+x,求f(1).规范板书解=2x+1,当x0时,2x+11,所以f(1)=1.四、 课堂练习1. 设f(x)=ax2+3,若f(1)=2,则a=1.提示f(x)=2ax,由f(1)=2得a=1.2. 函数f(x)=2x2+3x的导数为f(x)=4x+3.提示因为=4x+3+2x.当x0时,4x+3+2x4x+3,即f(x)=4x+3.3. 若函数y=f(x)在点x(-1,1)内的导函数为f(x),则下列说法正确的是.(填序号)在x=x0处的导数为f(x0);在x=1处的导数为f(1);在x=-1处的导数为f(-1);在x=0处的导数为f(0).五、 课堂小结1. 导数的几何意义.2. 导数的物理意义.3. 由定义求导数的步骤.