1、学案20两角和与差的正弦、余弦和正切公式导学目标： 1.会用向量数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式.4.熟悉公式的正用、逆用、变形应用自主梳理1(1)两角和与差的余弦cos()_，cos()_.(2)两角和与差的正弦sin()_，sin()_.(3)两角和与差的正切tan()_，tan()_.(，均不等于k，kZ)其变形为：tan tan tan()(1tan tan )，tan tan tan()(1tan tan )2辅助角公式asin bcos sin()，其中角称为辅助角自我检测
2、1cos 43cos 77sin 43cos 167的值为_2已知tan()3，tan()5，则tan 2_.3cossin_.4(1tan 17)(1tan 18)(1tan 27)(1tan 28)的值是_5已知cossin ，则sin的值是_探究点一给角求值问题(三角函数式的化简、求值)例1求值：(1)2sin 50sin 10(1tan 10)；(2)sin(75)cos(45)cos(15)变式迁移1求值：(1)；(2)tan()tan()tan()tan()探究点二给值求值问题(已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值)例2已知0，cos，sin，求sin()的值变式迁移2(20
3、10广州高三二模)已知tan2，tan .(1)求tan 的值；(2)求的值探究点三给值求角问题(已知某角的三角函数值，求另一角的值)例3已知0，tan ，cos().(1)求sin 的值；(2)求的值变式迁移3若sin A，sin B，且A、B均为钝角，求AB的值转化与化归思想例(14分)已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，|ab|.(1)求cos()的值；(2)若0，且sin ，求sin 的值【答题模板】解(1)|ab|，a22abb2.2分又a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，a2b21，abcos cos sin sin cos()，4分故cos
4、().7分(2)0，0.cos()，sin().9分又sin ，0，cos .11分故sin sin()sin()cos cos()sin .14分【突破思维障碍】本题是三角函数问题与向量的综合题，唯一一个等式条件|ab|，必须从这个等式出发，利用向量知识化简再结合两角差的余弦公式可求第(1)问，在第(2)问中需要把未知角向已知角转化再利用角的范围来求，即将变为().本节主要应用转化与化归思想，即异角化同角未知角向已知角转化，非特殊角向特殊角转化【易错点剖析】|ab|平方逆用及两角差的余弦公式是易错点，把未知角转化成已知角并利用角的范围确定三角函数符号也是易错点1转化思想是实施三角变换的主导思
5、想，变换包括：函数名称变换，角的变换，“1”的变换，和积变换2变换则必须熟悉公式分清和掌握哪些公式会实现哪种变换，也要掌握各个公式的相互联系和适用条件3恒等变形前需已知式中角的差异，函数名称的差异，运算结构的差异，寻求联系，实现转化4基本技巧：切割化弦，异名化同，异角化同或尽量减少名称、角数(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1已知a(，0)，sin ，则tan()_.2(2011盐城模拟)已知cos()，则sin2()cos()的值是_3(2010东北育才中学一模)已知、均为锐角，且tan ，则tan()_.4函数ysin(x)cos(x)的最大值为_5求值：_.6在ABC中，
6、3sin A4cos B6,4sin B3cos A1，则C的大小为_7函数f(x)asin(x)3sin(x)是偶函数，则a_.8已知tan 、tan 是方程x23x40的两根，且、，则tan()_，的值为_二、解答题(共42分)9(14分)(1)已知，且sin()，cos .求sin ；(2)已知，(0，)，且tan()，tan ，求2的值10(14分)(2010四川)(1)证明两角和的余弦公式C()：cos()cos cos sin sin ；由C()推导两角和的正弦公式S()：sin()sin cos cos sin .(2)已知ABC的面积S，3，且cos B，求cos C.11(1
7、4分)(2010济南高三三模)设函数f(x)ab，其中向量a(2cos x,1)，b(cos x，sin 2x)，xR.(1)若函数f(x)1，且x，求x；(2)求函数yf(x)的单调增区间，并在给出的坐标系中画出yf(x)在区间0，上的图象答案 自主梳理1(1)cos cos sin sin cos cos sin sin (2)sin cos cos sin sin cos cos sin (3)自我检测12.3.4.45.课堂活动区例1解题导引在三角函数求值的问题中，要注意“三看”口诀，即(1)看角，把角尽量向特殊角或可计算的角转化，合理拆角，化异为同；(2)看名称，把算式尽量化成同一名
8、称或相近的名称，例如把所有的切都转化为弦，或把所有的弦都转化为切；(3)看式子，看式子是否满足三角函数的公式如果满足则直接使用，如果不满足需转化一下角或转换一下名称，就可以使用解(1)原式sin 80sin 80cos 10cos 102cos 10cos 102sin 602.(2)原式sin(45)30cos(45)cos(45)30sin(45)cos(45)cos(45)cos(45)sin(45)0.变式迁移1解(1)原式.(2)原式tan()()1tan()tan()tan()tan().例2解题导引对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，关键在
9、于“变角”，使“所求角”变为“已知角”，若角所在象限没有确定，则应分类讨论应注意公式的灵活运用，掌握其结构特征，还要学会拆角、拼角等技巧解cossin，0，.cos，cos.sin()sinsincoscossin.sin().变式迁移2解(1)由tan2，得2，即1tan 22tan ，tan .(2)tan().例3解题导引(1)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵循以下原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好(2)解这类问题的一般步骤：求角的某一个三角函数值
10、；确定角的范围；根据角的范围写出所求的角解(1)tan ，sin sin2sin cos .(2)0，sin ，cos .又0，0.由cos()，得sin().sin sin()sin()cos cos()sin .由得.(或求cos ，得)变式迁移3解A、B均为钝角且sin A，sin B，cos A，cos B.cos(AB)cos Acos Bsin Asin B.又A，B，AB2.由，知AB.课后练习区12.3.14.252解析原式tan 15tan(4530)2.6.解析两式平方相加得91624sin(AB)37，sin(AB)sin C，所以C或.如果C，则0A，3cos A1与4
11、sin B3cos A1矛盾，故C.73解析f(x)asin(x)3sin(x)asin xacos x(sin xcos x)(a3)sin x(a3)cos x，因为是偶函数，则f(x)f(x)，代入得：(a3)sin x0，所以a3.8.解析tan()，又、，、，0，.9解(1)，cos ，sin .(2分)又0，又sin()，cos() ，(5分)sin sin()sin()cos cos()sin .(7分)(2)tan tan()，(10分)tan(2)tan()1.(12分)，(0，)，tan 1，tan 0，0，20，A，cos A3sin A，(10分)又sin2Acos2A1，sin A，cos A，由cos B，得sin B.cos(AB)cos Acos Bsin Asin B.(12分)故cos Ccos(AB)cos(AB).(14分)11解(1)依题设得f(x)2cos2xsin 2x1cos 2xsin 2x2sin1.由2sin11，得sin.(3分)x，2x.2x，即x.(6分)(2)2k2x2k (kZ)，即kxk (kZ)，得函数单调增区间为 (kZ)(10分)列表：x0y2320102描点连线，得函数图象如图所示： (14分)
